高中物理模型&知识总结 200 例|第 21 期 相似三角形法

相似三角形法

适合：【高三一轮】

一、模型识别

三个力平衡，条件却全是长度——绳多长、杆多长、球多大、悬点多高，角度零碎得凑不出 30°、37°、45°。这时别去分解：把三个力首尾相接画成三角形，再到题目里找一个由真实尺寸构成的几何三角形，两者是相似的，边长之比就是力的大小之比。

识别信号：

• 恰好三个力，其中一个必定是重力
• 三个力的方向分别平行于某个几何三角形的三条边：竖直、沿绳、垂直接触面
• 已知量只有长度，没有能直接用上的角度
• 问的是"缓慢移动时哪个力变、哪个力不变"，而移动中恰好有几条长度不动

二、核心规律

为什么一定相似

三个力平衡，首尾相接就围成一个闭合的力三角形。这三个力的方向如果分别与某个几何三角形的三条边平行，那么对应边两两平行，两个三角形必然相似。于是

式中的 、、 是几何三角形里与重力、支持力、拉力平行的那三条边。左边全是力、右边全是长度，比例是个定值，单位是牛每米——图上每一米对应多少牛。

对应关系只有三条

• 重力竖直，配几何三角形里那条竖直的边
• 绳（杆）的拉力沿绳（杆），配那条沿绳的边
• 支持力（压力）垂直接触面，配那条垂直的边

变与不变，看边长就够了

三条边里哪一条不随位置改变，与它平行的那个力就不变；哪一条在变，对应的力就跟着变。动态平衡题问"哪个力不变"，先找哪条边是常数，比列方程快得多。

两个前提

• 三个力的方向必须与三条边分别平行，少一条都不成立
• 相似只回答"多大"，不回答"朝哪"，方向要单独判断

一句话：力往哪指，几何边就往哪走。三条边对上了，两个三角形就相似，边长之比就是力的大小之比。

三、例题 1

题如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定， 端用绞链固定，滑轮  在  点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略）， 端吊一重物 。现施拉力  将  端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到竖直前，下列说法中正确的是（　　）

A．绳子越来越容易断

B．绳子越来越不容易断

C．杆越来越不容易断

D．杆所受的压力不变

答案BD

解

AB．对  点进行受力分析如图所示，由相似三角形法知

得

 变小， 变小，绳子越来越不容易断，A 错误，B 正确；

CD．根据相似三角形

得

 不变， 不变，C 错误，D 正确。

四、例题 2

题如图所示，水平面上固定一光滑半球，球心  的正上方固定一个小滑轮，绳上拴一小球，小球置于半球面上的  点，绳绕过定滑轮，另一端用力  拉，现缓慢地将小球从  点释放到  点，则此过程中，小球对半球面的压力  以及细线拉力  的大小变化情况，以下说法正确的是（　　）

A． 变小； 不变

B． 变小； 变小

C． 变大； 不变

D． 变大； 变大

答案C

解

对小球受力分析，由  可得

得

缓慢地将小球从  点释放到  点过程中，、 不变， 变大，所以  变大， 不变。故选 C。

五、易错点

• 按长短配对：对应边不是"最长对最长"随口蒙，而是方向平行的边配对。重力配竖直边，拉力配沿绳边，支持力配垂直边。
• 相似比写反：写成边除力，单位成了"米每牛"，后面所有力全部报废。比例必须是力除长度。
• 三个点认错：例题 1 用的是 、、（铰链、滑轮、杆端），例题 2 用的是 、、（小球、球心、滑轮）。两题都有一个叫  的点，含义完全不同。
• 把拉绳的力当成第二个力：绳跨过光滑滑轮，两端张力大小相等。例题 1 的  就是绳中张力，受力图上再画一个"人拉的力"就多了一个力。
• 只抄大小不判方向：例题 2 的支持力大小不变，方向却随小球位置一直转。相似只回答"多大"。
• 硬套相似：再加一个斜向的力，方向就不平行于任何一条几何边，相似三角形法立刻失效，只能回正交分解。

一句话总结

相似三角形法一句话：力的方向照着几何三角形的三条边走——重力配竖直边、拉力配沿绳边、支持力配垂直边；三条边对上，边长之比就是力的大小之比，哪条边不变，哪个力就不变，三角函数一个都不用碰。