初中数学六年级数学知识点速记笔记(第三章有理数)免费领

01

正数和负数

数的第一次扩充：引入负数表示相反意义的量

• 正数
  ：大于 0 的数，如 6、2.5、3/4、1.2%。为了强调符号，可写成 +6、+2.5。
• 负数
  ：在正数前面加"－"号的数，如 -4、-1.2、-3/4、-2%。
• 零
  ：既不是正数，也不是负数；它是正数与负数的分界。
• 非负数
  ＝零和正数；非正数＝零和负数。
• 正、负数用来表示相反意义的量：如收入用"＋"、支出用"－"；零上温度用"＋"、零下温度用"－"。

例向东走 50 m 记作 +50 m，则向西走 30 m 记作 -30 m；海拔 8848.86 m 记作 +8848.86 m，低于海平面 155 m 记作 -155 m。

易错带"＋"号的不一定是正数？带"－"号的不一定是负数？——判断只看大小与 0 的关系：0 既非正也非负；"-a"当 a 为负数时反而是正数。

字母表示a > 0 表示 a 是正数；a < 0 表示 a 是负数；a ≥ 0 表示 a 是非负数；a ≤ 0 表示 a 是非正数。

02

有理数的定义与分类

掌握两种分类口径，会判断一个数是不是有理数

• 整数
  ＝正整数 + 零 + 负整数（如 26、0、-3）。
• 分数
  ＝正分数 + 负分数（如 1/4、3又1/5、2/7；-1/2、-4/9）。
• 有理数
  ＝整数 + 分数。
• 无限不循环小数（如 π）不是有理数
  ——它不能写成整数或分数。

有理数

按定义分

• 整数：包括正整数（6）零（0）负整数（-3）
• 分数：包括正分数（1/4）负分数（-1/2）

按符号分

• 正有理数：正整数、正分数
• 零：0
• 负有理数：负整数、负分数

技巧把整数看成分母为 1 的分数（如 3 = 3/1），在这个意义下，所有的有理数都是分数。

易错循环小数（如 0.333…、0.125125…）可以化为分数，属于有理数；只有无限不循环小数才不属于有理数。

例1 · 有理数分类 下列各数：1/2、12、0.012、1、-0.52、0、-3、1又1/31、0.23（2、3 循环）、-1/6。请指出其中的整数、正数、分数、非负数、有理数。整数：12、1、0、-3；　

正数：1/2、12、0.012、1、1又1/31、0.23（2、3循环）…；分数：1/2、0.012、-0.52、1又1/31、0.23（2、3循环）…、-1/6；　

非负数：1/2、12、0.012、1、0、1又1/31、0.23（2、3循环）…；有理数：以上 10 个数全部都是。要点：0.012 与 0.23（循环）都能化为分数，所以既是分数也是有理数；0 是非负数，但不是正数。

延伸 · 稠密性任何两个正有理数之间还有无数个正有理数；任何两个负有理数之间也有无数个负有理数（如 1/2 与 1/3 之间还有 5/12 等）。

03

数轴

用直线上的点表示数：数形结合的开端

• 三要素
  ：原点（0 的位置）、正方向（一般向右）、单位长度（统一刻度），三者缺一不可。
• 任意有理数都可用数轴上的一个点表示：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0 在原点。
• 反过来，数轴上的点并不都表示有理数（如 π 对应的点）。
• 数轴从左到右，表示的数越来越大——这是比较大小的几何依据。

示例：点A表示 -2又1/2，点B表示-1，点C表示0，点D表示3，点E表示5又1/2；原点右侧为正数，左侧为负数。

注意① 所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数；② 右边的点表示的数总比左边的大；③ 正数大于 0、负数小于 0、正数大于一切负数。

易错画数轴必须三要素齐全：缺原点、缺方向或刻度不等的都不是数轴。

04

相反数

"符号相反、距离相同"的一对数

• 定义
  ：只有符号不同的两个数互为相反数，如 3 与 -3；0 的相反数是 0。
• 数 a 的相反数记作 -a；a + b = 0 的充要条件是 a、b 互为相反数（即 a = -b）。
• 数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等（都是 |a|）。
• 多重符号化简
  ："-"号的个数为奇数个 → 结果为负，偶数个 → 结果为正（奇负偶正）。如 -(+3) = -3，-(-3) = 3。

-(-a) = a；　-[-(-2)] = -2

例3 的相反数是 -3；-1/2 的相反数是 1/2；0 的相反数是 0；2又1/4 的相反数是 -2又1/4；1/3 与 -1/3 互为相反数。

表示方法在一个数前添加"－"号就得到它的相反数：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是它本身；一个数的相反数的相反数是这个数本身，如 -(-4) = 4，4 的相反数的相反数仍是 4。

易错① "-a"不一定表示负数——当 a 是负数时，-a 是正数；② "只有符号不同"指除符号外其余完全相同，故 -2 与 3 不互为相反数；③ 相反数成对出现，不能单独存在。

05

绝对值

"到原点的距离"——永远非负

• 定义
  ：数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。距离不可能是负的，所以 |a| ≥ 0。
• 求法（代数意义）
  ：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
• 几何意义延伸：|a - b| 表示数轴上 a、b 两个点的距离。

|a| = a（a > 0）；|a| = 0（a = 0）；|a| = -a（a < 0）

例|4| = 4，|-3| = 3，|2.5| = 2.5，|-8| = 8，|0| = 0；|a| = 6 时，a =  6或 -6（两个答案都别漏）。

易错绝对值永远非负：|a| = -a 并不代表 |a| 是负数，只是"负数的绝对值是它的相反数"。若 |a| = |b|，则 a = b 或 a = -b。

三个结论① 绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数；② 互为相反数的两个数绝对值相等；③ 任何数的绝对值总是非负数，即 |a| ≥ 0。

06

有理数的大小比较

三种方法：数轴、符号判断、作差

• 数轴法
  ：数轴上右边的数总比左边的大。
• 符号法
  ：正数 > 0 > 负数；正数大于一切负数。
• 两个负数比大小
  ：绝对值大的反而小（离原点越远越靠左）。
• 作差法
  ：a - b > 0 ⇔ a > b；a - b = 0 ⇔ a = b；a - b < 0 ⇔ a < b。

例比较 -6/7 与 -5/6：|-6/7| = 6/7> |-5/6| = 5/6，所以 -6/7 < -5/6。

易错比较两个负数时最容易犯的错：直接比绝对值大小就下结论——绝对值大的负数反而小。

速记异号两数比大小看正负，同号两数比大小看绝对值。

07

有理数的加法

符号跟着"大"的走，绝对值相加减

• 同号两数相加
  ：取相同的符号，并把绝对值相加。（正+正仍正，负+负仍负）
• 异号两数相加
  ：绝对值相等时和为 0；不等时取绝对值较大者的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
• 一个数同 0 相加
  ：仍得这个数。
• 运算律：交换律 a + b = b + a；结合律 (a + b) + c = a + (b + c)；三个以上相加可任意交换结合，和不变。

(-5) + (-3) = -8；　(-5) + (+3) = -2；　(+5) + (-3) = +2；　(-3) + (+3) = 0

口诀同号相加一边倒，异号相加"大"减"小"，符号跟着"大"的跑，绝对值相等"0"正好。

简便策略① 互为相反数的两数先加（和为 0）；② 符号相同的数先加；③ 分母相同的数先加；④ 能凑成整数的先加。如 5+ (-3) + 3= 5 + [(-3) + 3] = 5 + 0 = 5。

08

有理数的减法

"减"变"加相反数"：减法统一为加法

• 法则
  ：减去一个数，等于加上这个数的相反数（减法变加法）。

a - b = a + (-b)

例 6- (-4) = 6 + (+4) = 10；　-1 - 3 = -1 + (-3) = -4；　0 - 5 = 0 + (-5) = -5。

易错减号变加号的同时，减数必须变相反数，两处一起变，不能只变一处。口诀：减号变加号，减数变相反数。

09

有理数的乘法与倒数

同号得正、异号得负；乘积为 1 的两个数互为倒数

• 乘法法则
  ：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
• 多个数相乘
  ：几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——奇数个 → 积为负，偶数个 → 积为正；只要有一个因数是 0，积就是 0。
• 倒数
  ：乘积为 1 的两个数互为倒数。0 没有倒数；a（a≠0）的倒数是 1/a。
• 运算律：交换律 ab = ba；结合律 (ab)c = a(bc)；分配律 a(b + c) = ab + ac。

(-3) × 2= -6；　(-3) × (-5) = 15；　(-1) × (-2) × (-4) = -8；　3 × 0 = 0

例2的倒数是 1/2；-2/3 的倒数是 -3/2；-1 的倒数是 -1（它等于自身）。

易错倒数与相反数混淆：相反数符号相反、和为零；倒数乘积为 1、符号相同。0 有相反数（0），但没有倒数。

分配律可逆用：ab + ac = a(b + c)；可推广：a(b + c + d) = ab + ac + ad。交换因数位置时须连同符号一起交换；用分配律不要漏乘、不要弄错符号。如 99 × (-6) = 100 × (-6) - 1 × (-6) = -600 + 6= -594。

10

有理数的除法

除以一个数 = 乘以它的倒数；除数不能为 0

• 法则
  ：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数：a ÷ b = a × 1/b（b ≠ 0）。
• 符号规律
  ：两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除。
• 0 除以任何非 0 数都得 0
  ；0 不能作除数（0 作除数没有意义）。
• 多个有理数相除：可先化除为乘，先定符号，再相除（利用乘法性质简化）。

例(-9) ÷ 3 = -3；　(-12) ÷ (-6) = 2；　0 ÷ (-3) = 0；　4÷ (2/3) = 4 × (3/2) = 6。

易错0 不能作除数，但 0 可以作被除数；除以分数要变乘它的倒数再约分。

倒数细节求分数的倒数：分子分母颠倒即可，带分数先化为假分数再求；-a 的倒数是 -1/a（a ≠ 0）；正数倒数为正，负数倒数为负。

11

有理数的乘方

n 个相同因数的乘积：底数、指数、幂

• 定义
  ：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫乘方，结果叫幂。aⁿ 中 a 叫底数，n 叫指数，读作"a 的 n 次方"（作结果读"a 的 n 次幂"）。
• 性质
  ：正数的任何次幂都是正数；0 的任何正整数次幂都是 0；负数的幂由指数决定：奇次幂为负、偶次幂为正（奇负偶正）。
• 1 的任何次幂都是 1；-1 的奇数次幂是 -1、偶数次幂是 1；a¹ = a；任何数都可看作自身的一次方（2 = 2¹）。
• 负数和分数做底数必须加括号
  ，否则表示的是相反的含义。

(-3)³ = -27；　(-2)⁴ = 16；　-2⁴ = -16；　(1/2)² = 1/4；　(-1)²⁰¹⁰ = 1，(-1)²⁰¹¹ = -1

易错（高频）① (-2)⁴ 与 -2⁴ 完全不同：前者＝16，后者＝-16；② (-2/3)⁴ 是 4 个 (-2/3) 相乘（结果为正），-(2/3)⁴ 是 (2/3)⁴ 的相反数（结果为负）。括号决定底数是谁。

记忆先看底数，再定符号；负底数看指数，奇负偶正。

拓展若 a + b = 0，则 a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = 0，且 a²ⁿ = b²ⁿ（n 为自然数）。

12

科学记数法与近似数

把大数写紧凑；用近似数描述"接近"

• 科学记数法
  ：把一个数写成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10（a 为正数时可写 1 ≤ a < 10），n 为正整数。
• 确定 a
  ：在原数最高位数字后点上小数点；确定 n：n ＝ 原数整数位数 - 1（或看小数点向左移动了几位）。
• 负数
  ：绝对值较大的负数，在 a 前加"－"号即可，如 -126000 = -1.26× 10⁵。
• 还原技巧
  ：把 a 的小数点向右移动 n 位，位数不够用 0 补足。
• 近似数
  ：与实际接近的数。精确度：精确到哪一位，用四舍五入取近似。

231 500 = 2.315 × 10⁵；　20 600 = 2.06 × 10⁴；　-125000 = -1.25 × 10⁵

例3.14159 精确到百分位：看千分位 1 < 5 舍去，得 3.14。

易错保留整数位进位时别丢 0，如 1.996 精确到十分位是 2.0（末尾的 0 不能省略）。

13

有理数的混合运算

统一顺序 + 符号优先 + 运算律化简

• 运算顺序
  ：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号——先小括号 ( )，再中括号 [ ]，后大括号 { }。
• 同级运算
  ：从左到右依次进行。
• 去括号
  ：括号前带负号时，去掉括号后括号内各项都要变号。
• 实用流程
  ：先定结果的符号，再算绝对值；减法先化为加法、除法先化为乘法；能用运算律简算的先简算。

-(a + b) = -a - b；　-(a - b) = -a + b

-1⁴ + (-2)³ ÷ 4 × [5 - (-1)²] = -1 + (-8) ÷ 4 × [5 - 1] = -1 + (-2) × 4 = -1 + (-8) = -9

易错① 先乘方再乘除，不能从左到右盲目算；② -1⁴ = -(1⁴) = -1，不是 (-1)⁴；③ 去括号遇负号要逐项变号，切勿漏项；④ 除法化乘法时，除号后面的整个数要变倒数。

A

附录 · 运算律汇总

三律五则一张表，做题前先对号入座

用法添括号去括号都靠分配律与去括号法则；相反数结合、同号结合、凑整结合是加法的常用技巧。

B

附录 · 本章易错点清单

考前逐条过一遍

1. 0 既不是正数也不是负数；0 的相反数、绝对值都是 0，但没有倒数。
2. π 是无限不循环小数，不属于有理数；循环小数是有理数。
3. "-a"不一定是负数——a 本身是负数时，-a 是正数。
4. 绝对值永远 ≥ 0；负数的绝对值是它的相反数，不是"负的绝对值"。
5. 绝对值等于某个正数的数有两个，互为相反数
   （|a| = 3 ⇒ a = 3 或 -3）。
6. (-2)² = 4 与 -2² = -4 不同；(-2/3)⁴ 与 -(2/3)⁴ 不同：括号决定底数。
7. 减法：减号变加号，减数同时变相反数，两处一起变。
8. 除法：除以一个数变乘它的倒数；0 不能作除数。
9. 两个负数比大小：绝对值大的反而小。
10. 科学记数法满足 1 ≤ |a| < 10；进位后别丢末尾的 0。
11. 混合运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减，有括号先算括号（小 → 中 → 大）。
12. 去括号遇负号要逐项变号，切勿漏项
    ：-(a + b) = -a - b。
13. 带分数参与运算先化假分数；分数作底数乘方要加括号。
14. 相反数"只有符号不同"指除符号外其余完全相同：-2 与 3 不互为相反数。
15. 互为相反数的和为 0，互为倒数的积为 1，两条"特例线"别混淆。