高三数学 · 高考一轮 · 集合逻辑复数专题

2026-2027学年第8周复习 · 近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

集合、逻辑用语与复数是高考数学卷面第 1—2 题的固定基础板块，约 10 分且几乎不绕弯。本轮（第二轮复习）避开首轮的“交集/补集/充要条件”常规套路，改攻复数乘除与几何意义、量词命题真假判定、含参集合的包含关系分类三条主线。

1. 复数运算核心：共轭 z̄=a−bi、模 |z|=√(a²+b²)、恒等式 z·z̄=|z|²；乘法有几何意义——模相乘、辐角相加，如 (1+3i)(3−i)=6+8i 对应点在第一象限。

2. 逻辑量词命题：∀（任意）与 ∃（存在）命题需代具体值检验；¬p 与 p 真假相反；注意“¬∀x P(x)”等价于“∃x ¬P(x)”。

3. 集合包含与韦恩图：A⊆B 要求 A 中元素全部落在 B 中；含参集合按元素逐一比对、分类讨论；德摩根律 ∁_U(A∪B)=∁_UA∩∁_UB，化简补集先取反再交并。

二、高考真题分析

【真题1】(2024·新高考Ⅱ卷·第1题)

已知 z=−1−i，则 |z|=（ ）

A. 0 B. 1 C. √2 D. 2

解析：|z|=√((−1)²+(−1)²)=√2，直接套模长公式即可。

答案：C

【真题2】(2024·新高考Ⅱ卷·第2题)

已知命题 p: ∀x∈R，|x+1|>1；命题 q: ∃x>0，x³=x。则（ ）

A. p 和 q 都是真命题 B. ¬p 和 q 都是真命题 C. p 和 ¬q 都是真命题 D. ¬p 和 ¬q 都是真命题

解析：对 p，取 x=0 时 |0+1|=1，不满足“>1”，故 p 假、¬p 真；对 q，取 x=1 时 1³=1，成立，故 q 真。因此 ¬p 与 q 同时为真。

答案：B

【真题3】(2023·新高考Ⅱ卷·第1题)

在复平面内，(1+3i)(3−i) 对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

解析：(1+3i)(3−i)=3−i+9i−3i²=6+8i，对应点坐标为 (6,8)，实、虚部均正，落在第一象限。

答案：A

【真题4】(2023·新高考Ⅱ卷·第2题)

设集合 A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若 A⊆B，则 a=（ ）

A. 2 B. 1 C. 2/3 D. −1

解析：A⊆B 要求 0、−a 都在 B 中。若 a−2=0⇒a=2，则 A={0,−2}、B={1,0,2}，−2∉B，不符；若 2a−2=0⇒a=1，则 A={0,−1}、B={1,−1,0}，满足包含关系。

答案：B

三、模拟题解答

【模拟1】已知 z=(1+i)/(1−i)，则 |z|=（ ）

A. 0 B. 1 C. √2 D. 2

解答：分子分母同乘 (1+i)：z=(1+i)²/((1−i)(1+i))=(1+2i+i²)/2=(2i)/2=i，故 |z|=|i|=1。

答案：B

【模拟2】命题 p: ∃x∈R，x²+1<0。写出 ¬p 并判断其真假。

解答：¬p: ∀x∈R，x²+1≥0。因为对任意实数 x 都有 x²≥0，故 x²+1≥1>0，¬p 为真命题。

答案：¬p 为真

【模拟3】已知集合 A={x∣x²−3x+2<0}=(1,2)，B={x∣1<x<a}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是（ ）

解答：A=(1,2)，B=(1,a)，要使 (1,2)⊆(1,a)，必须 a≥2。

答案：a≥2

四、同步学习建议（第8周）

集合、逻辑、复数是高考“必拿分”的基础板块，建议本周分三次、每次 20 分钟完成：① 复数三类运算（乘除、共轭、模）各练 5 题，重点体会 z·z̄=|z|²；② 逻辑量词命题用“代入具体值”法逐一检验，养成画真值表的习惯；③ 含参集合一律先画韦恩图再分类讨论，避免漏解。下一阶段将进入数列专题，注意与函数思想的衔接。