从另一个角度讲初中数学(七十七)、四边形家族——平行四边形和他的“亲戚们”,一次认全

咱们上一课把多边形讲透了：

那今天这一课，咱们专门讲多边形里最重要的一种——四边形。

四边形家族特别热闹：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形……名字一大堆，很多同学学了后面忘了前面，分不清谁是谁。

今天这一课，咱们就用一张“家族图谱”，把四边形家族彻底捋清楚。

一、先认识最基础的四边形——任意四边形

四边形就是四条边围成的封闭图形。

任意四边形，内角和是 (4-2)×180° = 360°。

但任意四边形没什么特殊性质——四条边可以不一样长，四个角可以不一样大。

咱们今天要讲的，是有“特殊性质”的四边形。

二、四边形家族的“总根”：平行四边形

四边形家族里，最基础、最重要的一个成员，叫平行四边形。

定义：两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形。

平行四边形的性质：

平行四边形的判定：

三、平行四边形的“大儿子”：矩形

在平行四边形的基础上，加一个条件——有一个角是直角。

有一个角是直角的平行四边形，叫矩形（也叫长方形）。

矩形的性质：

矩形的判定：

四、平行四边形的“二儿子”：菱形

在平行四边形的基础上，加另一个条件——有一组邻边相等。

有一组邻边相等的平行四边形，叫菱形。

菱形的性质：

菱形的判定：

五、平行四边形最完美的“后代”：正方形

在矩形的基础上，再加一个条件——有一组邻边相等。

有一组邻边相等的矩形，叫正方形。

或者，在菱形的基础上，再加一个条件——有一个角是直角。

有一个角是直角的菱形，也叫正方形。

正方形既是矩形，又是菱形。

正方形的性质：

正方形是四边形家族的“集大成者”——它把所有特殊性质都占全了。

六、四边形家族的“旁支”：梯形

平行四边形家族之外，还有一种特殊的四边形——梯形。

定义：只有一组对边平行的四边形，叫梯形。

注意：是“只有”一组对边平行。 如果两组对边都平行，那就变成平行四边形了。

梯形的特殊类型：

等腰梯形： 两腰相等的梯形。

性质：同一底上的两个角相等，对角线相等。

直角梯形： 有一个角是直角的梯形。

性质：有两个直角，一条腰垂直于底边。

七、四边形家族图谱——一张图全捋清

现在咱们把整个四边形家族画成一棵树：

或者更清楚一点：

家族关系的核心逻辑：

八、四个“亲戚”的包含关系

咱们用集合的角度来看四边形家族的关系：

正方形是矩形的一种，也是菱形的一种。

所以：

但反过来不成立：

判断一个图形是不是正方形，必须同时满足矩形和菱形的条件。

九、总结对比表

讲到这里，咱们把四边形家族彻底捋清楚了：

好，四边形家族认全了。

那现在咱们把眼光再放宽一点——从四边形回到多边形。

前面咱们讲过多边形：三角形、四边形、五边形、六边形……边数越多，形状越复杂。

但你有没有想过一个问题：

如果多边形的边数一直增加，一直增加，多到无数条边，它会变成什么？

咱们在脑中想象一下：

当边数多到无穷大的时候，这个多边形就无限接近一个圆。

这其实就是咱们第一课讲“方程”时提到的——“化圆为方” 的思想。古人用“割圆术”，把圆切成越来越多边的正多边形，边数越多，越接近圆。刘徽用这个方法，把圆周率算到了3.1416。

所以，圆不是凭空冒出来的图形——它是多边形的“极限形态”。

三角形、四边形、五边形……一路走下去，走到无穷，就是圆。

那圆到底有什么性质？它的弦、弧、圆心角、圆周角、切线，又藏着哪些定理？

下一课开始，咱们正式进入圆的世界——初中几何的收官之战。

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