例1：已知椭圆  的左右焦点为  ，过  的直线  交椭圆于  两点，若  的最大值为5，求  的值。

解：在椭圆中，有

因此，  ，从而  的最小值为3

而  在  轴时取到，即  ，解得 

例2：已知椭圆的离心率为 1/2，过右焦点  且斜率为  的直线交椭圆于两点  ，若  ，求  的值。

解：由齐次性，不妨设  ，那么容易求得 

那么以  为坐标原点，写出椭圆的极坐标方程，为 

设  ，代入，得 

解得  ，而  ，故  ，即 

合理运用（特殊）构图的性质

例3：设点  是双曲线  与圆  在第一象限的交点，记 是双曲线的左、右焦点，且  ，求双曲线的离心率。

解：根据题意，很容易发现  是在以  为直径的圆上，从而  ，

因此  ，

而双曲线中，恒有  ，

结合  ，解得  ，即 

例4：在双曲线  的右支上有一长度为定值  的动弦  ，取  的中点  ，求  的横坐标最小值（原题是选择题）

解：过  作准线的右垂线，交右准线于 

则 

从而 

重要定理的应用

例5：已知椭圆  的左右焦点分别为  ，  是椭圆上的一点，直线  垂直于  且交线段  于点  ，若  ，求椭圆的离心率的取值范围。

解：记  和  交于点  ，连接 

在  中对截线  应用Menelaus定理，知 

而根据题意，有  ，从而  ，即 

而  ，从而  ，而 

故椭圆的离心率 

例6：已知双曲线  的左右焦点分别为  ，  分别位于双曲线  的左、右支上，且凸四边形  为菱形，求双曲线的离心率。

解：记  ，连接  ，利用对称性，可知四边形  是等腰梯形。因此这四点共圆。

在四边形 中，应用Ptolomy定理，有 

结合  ，解得  （这个数值用其他方法计算得到，但无疑Ptolomy定理是最快的方法之一）

根据 

解得 

-END-

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