95.圆锥曲线的光学性质与应用
一．基本原理
1.抛物线的光学性质：
如图1 所示，从抛物线的焦点F 发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物
线对称轴平行(或重合)的光线；如图2 所示，设抛物线在P 处的切线l 交对称轴于点Q，P
M⊥上切线l 交对称
轴于点 M，则焦点F 是QM 的中点.
𝑷𝑴⊥
2.椭圆的光学性质：
如图3 所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图
4 所示，椭圆在点P 处的切线为l，直线PQ⊥l
交直线
,于点Q,则PQ 平分
𝑷𝑸⊥𝒍
𝑭₁𝑭₂
由角平分线性质定理，
∠𝑭₁𝑷𝑭₂,
|𝑷𝑭𝟏|
|𝑷𝑭𝟐| =
|𝑸𝑭𝟏|
|𝑸𝑭𝟐|.
3.双曲线的光学性质：
如图5 所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交
于另一个焦点；如图6 所示，双曲线在点 P 处的切线l 与直线
相交于点Q，则PQ 平
𝑭₁𝑭₂
分.
由角平分线性质定理，
∠𝑭₁𝑷𝑭₂,
|𝑷𝑭𝟏|
|𝑷𝑭𝟐| =
|𝑸𝑭𝟏|
|𝑸𝑭𝟐|
二．典例分析
例1．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375 年—325 年)，大约100 年
后，阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线
的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平
行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经
过抛物线的焦点.设抛物线
：
，一束平行于抛物线对称轴的光线经过
，被抛
C
2y
x
5,2
A
物线反射后，又射到抛物线
上的
点，则
点的坐标为（ ）
C
Q
Q
A．
B．
C．
D．
1
1
,
4
2
1
1
,
8
4
1
1
,
16
4
1
1
,
64
8
解析：设从点
沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点
，易知
5,2
A
P
，将
代入抛物线方程得
，即
，设焦点为
，则
，设
2
P
y
,
P
P
x
y
4
P
x
4,2
P
F
1 ,0
4
F
，由
，
，
三点共线，有
，化简得
，
2 ,
Q
Q
Q y
y
P
F
Q
2
0
2
0
1
1
4
4
4
Q
Q
y
y
2
8
15
2
0
Q
Q
y
y
解得
或
(舍)，即
.故选：D
1
8
Q
y
2
Q
y
1
1
,
64
8
Q
例2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线
的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已
知抛物线
的焦点为
，一条平行于
轴的光线从点
射出，经过拋物线上的
2
4
y
x
F
x
2,1
M
点
反射后，再经抛物线上的另一点
射出，则
的周长为（ ）
A
B
ABM
A
A．
B．
C．
D．
25
13
4
7
29
2
8
13
8
29
解析：抛物线
的焦点为
，准线为
，由点
在抛物线上，则
2
4
y
x
(1,0)
F
=
1
x
1
( ,1)
A x
1
1
4
x
，
直线
方程为：
，即
，由
，消去
得
，
AF
1 0 (
1)
1
1
4
y
x
3
1
4
x
y
2
3
1
4
4
x
y
y
x
x
2
3
4
0
y
y
解得
或
，由
，得
，于是
，
1
1
y
2
4
y
2
4
y
2
4
x
1
( ,1), (4, 4)
4
A
B
，而
1
2
25
|
| |
|
|
|
1
1
4
AB
AF
BF
x
x
2
2
1
7
|
| 2
,|
|
(4
2)
( 4 1)
29
4
4
AM
BM
，
所以
的周长为
.故选：D
ABM
A
8
29
例3．阿波罗尼斯（约公元前262 年～约公元前190 年），古希腊著名数学家﹐主要著作有
《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最
高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性
质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另
一个焦点.已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，其离
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
0
b
1F
2
F
心率
，从
发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP，若
5
e
2
F
反射光线与入射光线垂直，则
（ ）
2
1
sin
F F E
A．
B．
C．
D．
5
6
5
5
4
5
2 5
5
解析：设
，
，
，由题意知
，
，
，
1
EF
m
2
EF
n
1 2
2
FF
c
2
m
n
a
2
F E
EP
5
c
a
所以
，
，
，所以
，
2
2
2
m
n
mm
2
4a
5
c
a
2
2
2
4
m
n
c
2
2
2
2
2
8
mn
c
a
a
又
，所以
，解得
，所以
.
2
m
n
a
2
2
2
8
0
n
an
a
2
n
a
2
2
1
1
2
2
5
sin
5
2 5
EF
a
F F E
F F
a
故选：B.
例4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆
的左､右焦点分别为
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
1
2
,
F F
，过点
的直线与
交于点
，
，过点
作
的切线，点
关于的对称点为
，若
2
F
E
A
B
A
E
l
B
l
M
，
，则
（ ）
8
5
a
AB
1
1
2
3
BF
MF
1 2
1 2
MF F
AF F
S
S
A
A
注：表示面积.
S
A．2
B．
C．3
D．
5
2
7
2
解析：如图，由椭圆的光学性质可得
三点共线.设
，
1
, ,
M A F
2
BF
x
则
.
1
1
1
1
2
2
2
,
2
BF
a
x MF
AF
MA
AF
AF
BF
a
x
故
，解得
.又
，所以
，所以
1
1
2
2
2
3
BF
a
x
MF
a
x
2
5
a
x
8
5
a
AB
2
1
6
4
,
5
5
a
a
AF
AF
.
1 2
1 2
1
1
12
5
3
4
5
MF F
AF F
a
S
MF
a
S
AF
A
A
故选：C.
例5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对
称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.己知抛物线
为坐标原点，一束平行于
轴的光线从点
射入，经过
2
:
,
C y
x O
x
1l
41,1
16
P
上的点
反射后，再经
上另一点
反射后，沿直线
射出，经过点
，
C
1
1
,
A x y
C
2
2
,
B x
y
2l
Q
则下列结论正确的是（ ）
A．
1
2
1
2
y y
B．
25
16
AB
C．
平分
PB
ABQ
D．延长
交直线
于点
.则
三点共线
AO
1
4
x
C
, ,
C B Q
解析：
代入
得
，所以
，又
，直线
方程为
1
y
2y
x
1
x
(1,1)
A
1
( ,0)
4
F
AF
1
1
(
1)
1
1
4
y
x
，即
，由
，解得
或
，所以
，
4
3
1
0
x
y
2
4
3
1
0
x
y
y
x
1
1
x
y
1
16
1
4
x
y
1
1
(
,
)
16
4
B
即
，
，A 错；
1
2
1
4
1,
y
y
1
2
1
4
y y
，B 正确；
2
2
1
1
25
(1
)
(1
)
16
4
16
AB
，
，即
，
，又
，即
1
1
1
4
41
1
2
16
16
PB
k
1
1
4
4
1
3
1 16
AB
k
4
tan
3
ABQ
1
tan
2
PBQ
2
1
2
4
2
1
3
1 ( )
2
，且
都是锐角，所以
，C 正确；
tan 2
tan
PBQ
ABQ
,
ABQ
PBQ
2
ABQ
PBQ
准线的方程是
，直线
方程为
，由
代入得
，即
，
l
1
4
x
AO
y
x
1
4
x
1
4
y
1
1
(
,
)
4
4
C
所以
在直线
上，D 正确.故选：BCD.
C
BQ
例6．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射
光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线
的左、右焦点分
2
2
:
1
4
6
x
y
E
别为
，从
发出的两条光线经过
的右支上的
两点反射后，分别经过点
和
1
2
,
F F
2
F
E
,
A B
C
D
，其中
共线，则（ ）
2
2
,
AF BF
A．若直线
的斜率
存在，则
的取值范围为
AB
k
k
6
6
,
,
2
2
B．当点
的坐标为
时，光线由
经过点
到达点
所经过的路程为6
C
2 10, 10
2
F
A
C
C．当
时，
的面积为12
2
AB AD
AB
1
2
BF F
△
D．当
时，
2
AB AD
AB
1
2
10
cos
10
F F A
解析：如图所示，过点
分别作
的两条渐近线的平行线
，则
的斜率分别为
和
2
F
E
1
2
,l l
1
2
,l l
6
2
，
6
2
对于A 中，由图可知，当点
均在
的右支时，
或
，所以A 正确；
,
A B
E
6
2
k
6
2
k
对于B 中，光线由
经过点
到达点
所经过的路程为
2
F
A
C
2
1
2
F A
AC
F A
a
AC
，所以B 正确；
1
2
FC
a
2
2
(2 10
10)
( 10
0)
4
6
对于C 中，由
，得
，即
，所以
，
2
AB AD
AB
0
AB
AD
AB
0
AB BD
AB
BD
设
，则
，因为
，所以
，整理
1
BF
n
2
2
4
BF
n
a
n
2
ABD
2
2
2
(
4)
(2 )
40
n
n
c
得
，解得
或
（舍去），所以
，
，所以
的
2
4
12
0
n
n
6
n
2
n
1
6
BF
2
2
BF
1
2
BF F
△
面积
，所以C 错误；
1
2
1
6
2
S
BF
BF
对于D 项，在直角
中，
，所以
1
2
F BF
A
2
1
2
1
2
2
10
cos
10
2 10
BF
F F B
F F
，所以D 正确．故选：ABD．
1
2
1
2
10
cos
cos
10
F F A
F F B
例7．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆
的另一个焦点，其中法线
表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆
l
C 的中心在坐标原点，焦点为
，
，由
发出的光经椭圆两次反射后
1
,0
F
c
2
,0
0
F
c
c
1F
回到
经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
1F
椭圆C 的离心率为_________；点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切
线为l，
在l 上的射影H 在圆
上，则椭圆C 的方程为_________.
2
F
2
2
8
x
y
解析：设椭圆C 的长轴长为
，因为由
发出的光经椭圆两次反射后回到
经过的
2 (
0)
a a
1F
1F
路程为8c，所以
，得
，所以椭圆C 的离心率为
，
2
2
4
8
a
a
a
c
2
a
c
1
2
e
如图，延长
交于点
，在
中，
，由反射角等于入射角，可得
2
1
,
F H F P
0
F
2
0
PF F
A
0
2
PH
F F
，所以
，且
为
的中点，在
中，
2
0
F PH
F PH
2
0
F P
F P
H
0
2
F F
1
0
2
F F F
A
，因为
在l 上的射影H 在圆
1
0
1
0
1
2
1
1
1
(
)
(
)
2
2
2
OH
F F
PF
PF
PF
PF
2
F
2
2
8
x
y
上，所以
，所以
，所以
，所以
2 2
OH
1
2
4 2
2
PF
PF
a
2 2,
2
a
c
，所以椭圆的方程为
. 故答案为：
，
2
2
2
8
2
6
b
a
c
2
2
1
8
6
x
y
=
1
2
2
2
1
8
6
x
y
=
例8．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C 的
方程为
，其左、右焦点分别是
，
，直线l 与椭圆C 相切于点
，过点
2
2
1
4
3
x
y
1F
2
F
0
1,
P
y
P 且与直线垂直的直线
与椭圆长轴交于点M，则
__________.
l
l
1
2
:
F M
F M
解析：因为直线与椭圆C 相切于点
，所以
，解得
，由椭圆C 的
l
0
1,
P
y
2
0
1
3
1
4
y
0
3
2
y
方程为
，所以
,
,由椭圆的定义可知：
2
2
1
4
3
x
y
1
1,0
F
2
2
1
3
5
2
2
2
PF
，由椭圆的光学性质得到直线
平分
，可得
2
1
3
2
2
PF
a
PF
l
1
2
F PF
.
1
1
2
2
5
5
2
3
3
2
F M
PF
F M
PF
故答案为：
.
5:3
例9．双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向
延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线
，如图从
的一个焦点
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，
C
F
射出的光线，经过
两点反射后，分别经过点
和
.若
P
Q
，
M
N
，则
的离心率为__________.
12
cos
13
PM
PQ
PM
PQ
PQN
，
C
解析：由双曲线的光学性质可知
,
的反向延长线交于双曲线的左焦点
,如图所示：
MP QN
1F
由
，两边平方可得
,
|
| |
|
PM
PQ
PM
PQ
2
2
2
2
2
2
PM
PM PQ
PQ
PM
PM PQ
PQ
A
A
所以
，所以
，所以
，又
，所以
0
PM PQ
A
PM
PQ
1
90
F PF
12
cos
13
PQN
，设
则
，设
，则
，
1
12
cos
13
PQF
1
|
| 13 |
| 12 ,
FQ
t
PQ
t
，
1
|
| 5
PF
t
|
|
FQ
m
|
| 12
FP
t
m
根据双曲线定义，可得
，所以
，
1
1
|
|
|
| |
|
|
| 2
PF
PF
QF
QF
a
5
(12
)
13
2
t
t
m
t
m
a
解得
，所以
在
中，
所以
10
m
t
|
| 2 ,2
3 ,
PF
t
a
t
1
Rt F PF
A
2
2
2
2
1
1
|
|
|
|
|
|
29 ,
F F
PF
PF
t
所以C 的离心率为
.故答案为：
.
1
|
|
29 ,
F F
t
29
3
c
e
a
29
3
例10．已知椭圆C：
上、下顶点分别为
，且短轴长为
，T 为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
,
A B
2 3
椭圆上（除
外）任意一点，直线
的斜率之积为
，
，
分别为左、右焦
,
A B
,
TA TB
3
4
1F
2
F
点．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接
收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请
以上面的椭圆C 为代表，证明：由焦点
发出的光线射到椭圆上任意一点M 后反射，反
1F
射光线必经过另一焦点
．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的
2
F
切线）
解析：（1）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设
，直线
的斜率分
,
TA TB
,
T x y
,
TA TB
别为
，
，由题意知
，
，由
得
，整理
1k
2k
0, 3
A
0,
3
B
1
2
3
4
k k
3
3
3
4
y
y
x
x
得
，故椭圆C 的方程为
．
2
2
4
3
1
0
x
y
x
2
2
1
4
3
x
y
（2）
当M 为椭圆顶点时结论显然成立，当M 不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法
线平分
．设M 点坐标为
，则
．设与椭圆切于M 点的
1
2
F MF
,
0
m n
m n
2
2
3
4
12
m
n
切线方程为
，与椭圆方程联立得
消去y 得：
y
k x
m
n
kx
km
n
2
2
3
4
12
y
kx
km
n
x
y
，
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k km
n x
km
n
，得
．
2
2
2
2
2
2
64
16
3
4
3
48 4
3
0
k
km
n
km
n
k
k
km
n
3
4
m
k
n
所以切线斜率为
，所以法线斜率为
，法线方程为
，令
，可
3
4
m
n
4
3
n
m
4
3
n
y
n
x
m
m
0
y
得法线与x 轴交点N 的横坐标为
，易知
，
，所以
，
4
m
1
1,0
F
2 1,0
F
1
2
4
4
F N
m
F N
m
，
，
2
2
2
1
1
1
1
2
4
2
4
2
F M
m
n
m
m
m
2
1
2
2
F M
m
所以
，
，所以
1
1
2
2
2
4
2
4
2
2
m
F M
F N
m
m
F M
m
F N
1
2
1
1
1
2
2
2
sin
sin
F MN
F MN
S
F N
F M MN
F MN
S
F N
F M MN
F MN
△
△
，则
或
（舍去），
1
2
sin
sin
F MN
F MN
1
2
F MN
F MN
1
2
F MN
F MN
所以法线MN 平分
，所以原结论成
1
2
F MF
