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专题2.6 一元二次不等式的解法
教学目标
1.
使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式;
2.使学生会运用转化的方法解简单分式不等式;
3.向学生渗透化归和转化的数学思想方法;
4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.
教学重难点
教学重点：熟练求解一元二次不等式.
教学难点：正确求解特殊的一元二次不等式.
知识点01 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2 的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形
式：
①
（其中
均为常数）
②
（其中
均为常数）
③
（其中
均为常数）
④
（其中
均为常数）
【即学即练】若
是关于
的一元二次不等式，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果.
【详解】根据一元二次不等式的定义可得
，
解得
.
因此可得
的取值范围是
.
故答案为：
知识点02 一元二次不等式的解
1 定义：使某一个一元二次不等式成立的
的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个
一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
2、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
【即学即练】一元二次不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解法可得.
【详解】
，解得
.
故答案为：
.
知识点03 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图象与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集.
判别式Δ=b2−4ac
二次函数
(
的图象
一元二次方程
(
)的根
有两个不相等的实数
根
，
(
)
有两个相等的实数根
没有实数根
(
)的解集
(
)的解集
【即学即练】不等式
的解集是
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】首先根据不等式的解集求出
的值，可求出
的解集.
【详解】因为不等式
的解集是
，
所以
是方程
的两个根.
所以
，解得
.
所以不等式
化简得
.
所以
.
故选：B.
知识点04 分式不等式
1、定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如
或
（其中
,
为整式且
的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后等价转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】由
，可得
，所以
，故
，
故原不等式的解集为
.
故选：C.
题型01 一元二次不等式（不含参）的解
【典例1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
，
所以
，
原不等式的解集为
．
故选：D．
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式
可化为
，解得
，
所以不等式的解集为
．
故选：A.
【变式2】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法
因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集.
【详解】
可化为
，
即
，
可得
或
，
解得
，
所以不等式
的解集为
，
故选：A.
【变式3】解一元二次不等式
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
或
．
(3)一切实数．
(4)
．
【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案.
【详解】（1）
，方程
的解是
．
不等式的解为
．
（2）整理得，
．
，方程
的解为
.
原不等式的解为
或
．
（3）整理，得
．
由于上式对任意实数
都成立，
原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
．
由于当
时，
成立；而对任意的实数
都不成立，
原不等式的解为
．
【变式4】解下列不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
或
；
(2)
(3)
或
．
(4)
【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解.
【详解】（1）方程
的两根为
，
．结合二次函数
的图象知，原不等
式的解集为
或
；
（2）原不等式可化为
．
解方程
，得
．结合二次函数
的图象知，原不等式的解集为
．
（3）原不等式可化为
．
方程
两根为2 和-3．
结合二次函数
的图象知，原不等式的解集为
或
．
（4）由原不等式得
．
原不等式等价于
．
解方程
，得
．
结合二次函数
的图象知，原不等式的解集为
．
一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
题型02 一元二次不等式（含参）的解
【典例1】解关与x 的不等式：
【答案】答案见解析
【分析】分
，
，
三种情况求解即可.
【详解】当
时，不等式为
，解得
，
当
时，由不等式
，可得
，
所以
，
若
，则
，解不等式得
或
，
若
，则
，不等式的解集为若
，
若
，解得
时，解不等式得
或
，
当
时，由不等式
，可得
，
所以
，
解得
，
综上所述：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
【变式1】当
时，关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将原不等式转换为
，在
的前提下，比较
的大小即可得解.
【详解】
时，
，不等式
可化为
，
因为
，且
，
所以
，
，
解原不等式，得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：C.
【变式2】关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】考虑
和
两种情况，当
时将不等式变形为
，根据根的大小关系得
到
，
，
三种情况，解不等式对比选项即可.
【详解】当
时，不等式
，即
，
，
故不等式的解集为
，故A 可能；
当
时，
，即
，
当
时，
的解集为
，故D 可能；
当
时，不等式
无解；
当
时，
的解集为
，故B 可能.
故选：C
【变式3】（多选）对于给定的实数
，不等式
的解集可能是（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】AB
【分析】分
，
，
，
，
五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的
解法求解即可.
【详解】当
时，不等式可化为
，则不等式解集为
，
当
时，原不等式可化为
，
则当
时，不等式解集为
，
当
时，不等式解集为
，
当
时，不等式解集为
，
当
时，不等式解集为
．
综上，AB 符合，CD 不符合.
故选:AB．
【变式4】解关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【分析】通过
，
和
三种情况讨论即可.
【详解】由方程
，可得
，两根为：
，
又方程所对应抛物线开口向上，
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式无解；
当
时，
，不等式的解集为
；
综上：
时，不等式的解集为
；
时，不等式无解；
时，不等式的解集为
；
1、因式分解（不可因式分解考虑用
判别法+求根公式）
2、讨论法则：
①两根大小不确定，从两个相等开始讨论
②最高项系数含参数，从系数为“0”开始讨论
题型03 一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【典例1】若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，
所以
且
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：
.
【变式1】已知不等式
的解集为
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
是方程
的两个根，求得
，代入计算即可求解.
【详解】因为不等式
的解集为
，
所以
是方程
的两个根，
即
，
代入可得
，解得
或
，
所以
的解集为
.
故选：D
【变式2】（多选）关于
的不等式
的解集为
或
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
或
【答案】ACD
【分析】由不等式的解集得到
，同时
和
是
的两个根，进而得到
，
，逐项判断即可；
【详解】由一元二次不等式得解集结构可得：
且
和
是
的两个根，
故
，
，得
，
，
A 选项：由
可判断A 正确；
B 选项：
，故B 错误；
C 选项：由
得
得
，故C 正确；
D 选项：由
得
，得
，得
或
，故D 正确；
故选：ACD
【变式3】不等式
的解集是
，则实数
0（填>，<或
）
【答案】
【分析】先根据一元二次不等式解集的形式确定
的符号，再根据韦达定理确定
的符号，可得
的符
号.
【详解】因为不等式
的解集为
，所以
.
且
，
是二次方程
的两根.
所以
.
所以
.
故答案为：
【变式4】已知不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】由题意，
为方程
的根，且
，进而结合韦达定理求出
，
，再解
不等式即可．
【详解】由题意，
为方程
的根，且
，
则
，解得
，
不等式
，即为
，
即
，解得
，
则不等式
的解集为
．
故答案为：
题型04 分式不等式的解法
【典例1】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后，由分式不等式转化为求一元二次不等式来求解即可.
【详解】由
，可得
，即
，故
，
所以解集为
，
故选：C.
【变式1】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接解分式不等式求解即可.
【详解】
，
所以不等式
的解集为
．
故选：C.
【变式2】不等式
的解集为 ．
【答案】
或
.
【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【详解】
等价于
，即
，
解得
或
，即原不等式的解集为：
或
.
故答案为：
或
.
【变式3】不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再结合一元二次不等式组的求解，即可求得结果.
【详解】依题意得
，
解得
或
，
故答案为：
【变式4】不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】将分式不等式
转化为整式不等式
且
，即可得解.
【详解】不等式
可化简为
等价为
且
，
解之得
或
，即不等式的解集为
.
故答案：
.
题型05 一元二次方程的实根分布问题
【典例1】已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，则实数
的范围是
.
【答案】
【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数
的不等式，即可解得实数
的取值范围.
【详解】因为方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式1】一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】∵一元二次方程
有一个正根和一个负根，
∴
解得
.
故满足题意的a 的取值集合应是集合
的真子集，结合选项可知选C.
故选：C.
【变式2】已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实数m 的取值范围是
（）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】设关于x 的方程
的两个根分别为
，根据
满足的条件列不等式
组，解不等式组即可得实数
的取值范围.
【详解】设关于x 的方程
的两个根分别为
,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知
，
即
，
解得
.
故选：B
【变式3】（多选）若关于x 的方程
的两个根
都在区间
上，则a 的值可
以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设
，由题可知，若
都在区间
内，则需满足
所以
解得
，故B，C 符合.
【变式4】已知方程
有一正根一负根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据两根之积小于0 列不等式，求解可得结果.
【详解】设方程的两根为
，由韦达定理得
.
∵方程有一正根一负根，
∴
，即
，解得
，
∴实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型06 一元二次不等式的实际问题
【典例1】某小区内有一个矩形花坛
，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛
，要求
点B 在
上，点D 在
上，且对角线
过点C，如图所示.已知
，
.要使矩形AMPN
的面积大于
，则
的长应在什么范围内？
【答案】
或
【分析】利用三角形相似将
表示出来，再由面积大于32
可列出不等式，结合实际意义可得
的
范围.
【详解】设
的长为x（
）m，则
的长为
m.
易知
，所以
，
所以矩形
的面积
.
由矩形
的面积大于
，得
.
又
，所以
，解得
或
，
即DN 的长的取值范围是
.
【变式1】某地区上年度电价为0.8 元/
，年用电量为
.本年度计划将电价降到0.55 元/
至0.75 元/
之间，而用户期望电价为0.4 元/
.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和
用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3 元/
.设
，为保证电力部
门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（ ）
A．0.55 元/
B．0.6 元/
C．0.7 元/
D．0.75 元/
【答案】B
【详解】设下调后的电价为x 元/
.依题意知用电量增至
，电力部门的收益为
.依题意有
，整理得
.又
，解得
.
【变式2】（多选）在一个限速
的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是
相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过
，乙车的刹车距离略超过
，又知甲、乙两种车
型的刹车距离
与车速
之间分别有如下关系：
.则可判断
甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速
B．甲车不超速
C．乙车超速
D．乙车不超速
【答案】BC
【详解】由题意，对于甲车，有
，即
，解得
或
（舍
去），这表明甲车的车速超过
，但根据题意刹车距离略超过
，由此估计甲车不会超过限速
；对于乙车，有
，即
，解得
或
（舍去），这表
明乙车的车速超过
，超过规定限速，即乙车超速.
【变式3】某主播在直播平台上销售一款成本为每件24 元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量
（件）与销售单价
（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量
与销售单价
之间的函数关系式；
(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50 元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是
多少？
(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280 元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】(1)
(2)单价定为
元时利润最大，最大利润为
元
(3)
【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案.
（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价.
（3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值.
【详解】（1）设
，由图可知，函数图象过点
，
所以
，解得
，所以
，
由
解得
.
所以每天的销售量
与销售单价
之间的函数关系式是
.
（2）若单价不低于成本价24 元，且不高于50 元销售，
则
，
则利润
，
其开口向下，对称轴为
，
所以当
时，利润取得最大值为
，
所以当单价为
元时，取得最大利润为
元.
（3）由（2）得利润
，
又该商品每天获得的利润不低于1280 元，
则
，整理得
，
即
，解得
，
销售量
是减函数，所以当
时，销售量最小，
且最小值为
件.
1．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式
，再根据充分条件和必要条件的概念即可.
【详解】
，得
或
，
则“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：C
2．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解分式不等式，首先移项，通分，整理为
，再转化为二次不等式，即可求解.
【详解】由原不等式可得
，即
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：C．
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解.
【详解】由
，得到
，整理得到
，
等价于
且
，解得
，
故选：C.
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式解集.
【详解】
或
，则得
或
.
则解集为
或
.
故选：B
5．若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
和
，结合二次不等式解集的形式求参数
的取值范围.
【详解】若
，则原不等式可化为
，在
上恒成立；
若
，因为不等式
的解集为
，
所以
.
综上可得：
.
故选：B
6．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式解法求解即可.
【详解】因为
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D
7．不等式
的解为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．1，6
C．
D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集可得对应方程的根，利用根与系数的关系求解.
【详解】由已知可知方程
的两根分别为
，
，
由韦达定理得：
，
，
，
．
故选：A
8．若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式、一元二次不等式的解集性质进行求解即可.
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
，则
，可得
，
故所求不等式即为
，即
，解得
.
因此，关于
的不等式
的解集为
.
故选：C.
9．（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是 （
）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
【答案】AD
【分析】
是方程
的两根，且
，A 正确；由韦达定理得到
，
，从而解
不等式得到B 错误，D 正确，
，C 错误.
【详解】由题意得
是方程
的两根，且
，A 正确；
故
，即
，
，
所以
，B 错误；
，C 错误；
，
解得
，D 正确.
故选：AD
10．（多选）已知二次函数
（a，b，c 为常数，且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集为
【答案】BCD
【分析】根据题设及图象有
且
，得
，并结合一元二次不
等式解法，判断各项正误.
【详解】由题设及函数图象知：
且
，
所以
，则
，
，
，A 错，B、C 对；
，则
，D 对.
故选：BCD
11．已知关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集列不等式即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
，所以
，
解得
，即实数
的取值范围是
．
故答案为：
.
12．（1）不等式
的解集为 ；
（2）不等式
的解集为 ；
（3）不等式
的解集为 ．
【答案】
或
或
【分析】（1）根据二次不等式的解法求解；（2）移项通分，然后转化为二次不等式组求解；（3）先判
定分母恒为正，然后转化求解.
【详解】（1）不等式化为
，分解因式得
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
或
；
（2）不等式化为
，即
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
或
；
（3）因为
，所以原不等式等价于
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
或
；
或
；
.
13．求下列一元二次不等式的解集
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式；
（2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式；
（3）根据实数的性质解不等式；
（4）根据根的判别式的值确定解集的形式.
【详解】（1）
或
.
所以所求不等式的解集为：
（2）
.
所以所求不等式的解集为：
（3）由
.
所以所求不等式的解集为：
（4）因为
.
由
，
所以所求不等式的解集为：
14．已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于
的不等式
的解集为
时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知
，
是方程
的两根，结合韦达定理求解即可；
（2）由题意得要满足题意只需
，列式计算求解即可.
【详解】（1）因为
的解集为
，
所以
，
是方程
的两根，
所以
，解得
，
所以
；
（2）因为
，所以二次函数
的图象开口向下，
要使
的解集为
，只需
，即
，所以
，
所以当
时，
的解集为
．
15．已知关于
的不等式
的解集为
或
(1)求
的值；
(2)解关于
的不等式
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；
（2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集.
【详解】（1）根据题意，得方程
的两个根为1 和
，
由根与系数的关系得
，
解之得
（2）由（1）得关于
的不等式
，
即
，因式分解得
．
①当
时，原不等式的解集为
；
②当
时，原不等式的解集为
；
③当
时，原不等式的解集为
；
