94.如何用矩形折出圆锥曲线
一．课本案例
1．（人教A 版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD 中，
，
|
| 2
AB
a
|
| 2 (
0)
BC
b a
b
．E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，R，S，T 是线段OF 的四等分点，
，
，
是
R
S
T
线段CF 的四等分点．证明直线ER 与
、ES 与
、ET 与
的交点L，M，N 都在椭圆
GR
GS
GT
上．
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
解析：由题得
，
，所以
，所以直线
的方程为
(0,
)
E
b
1
(
,0)
4
R
a
4
1
4
ER
b
b
k
a
a
ER
，①，由题得
，所以
，所以直线
的方
4b
y
x
b
a
3
(0, ),R ( ,
)
4
G
b
a
b
3
4
0
4
GR
b
b
b
k
a
a
GR
程为
，②，联立方程①②解之得
所以直线
的交点为
4
b
y
x
b
a
8
15
,
,
17
17
a
b
x
y
,
ER GR
，
8
15
(
,
)
17
17
a
b
L
代入椭圆方程得
，所以直线
的交点
在椭圆上.同理ES 与
、
2
2
2
2
22
6
5
28
4
2
1
9
89
a
b
a
b
,
ER GR
L
GS
ET 与
的交点M，N 都在椭圆
上．
GT
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n 等分，如图连接直线，判断对应直线的交点
是否在一个椭圆上，为什么？
解析：设矩形
的长
，宽
，以
的中点
为原点，
所在的直线为
A ABB
A A
a
AB
b
A A
O
A A
轴，
的中垂线为
轴，建立直角坐标系，则
由于整个
x
A A
y
,0 ,
,0 ,
,
,
2
2
2 2
a
a
a b
A
A
B
图形关于
轴对称，我们只研究第一象限，设
点是
上自右到左的第
y
M
B B
k
个分点，
点是
上自上到下的第
个分点，则
*
0
,
k
n k
N
N
AB
k
*
0
,
k
n k
N
，
，
,
2
2
a
ka
M
b
,
2
2
a kb
N
所以
①，
②，①，②式相乘且整理得
:
2
nb
a
AM
y
x
ka
:
2
kb
a
A N y
x
na
③，因为点
是直线
与
的交点，所以点
满足方程③
2
2
2
2
1
2
2
x
y
a
b
,
P x y
AM
A N
,
P x y
故点
在椭圆上．
P
3．（苏教版选修第一册P100）如图，在矩形
中，把边AB 分成n 等份．在边
的
ABB A
B B
延长线上，
的n 分之一为单位长度连续取点．过边AB 上各分点和
作直线，过
延
BB
A
B B
长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P，P 在什么曲线上运动？
解析：设
，取
所在的直线为
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面
2
2
,
AA
a AB
b
AA
x
AA
y
直角坐标系，设第
组对应直线
与
的交点为
，且
点在第一象限，
m
AQ
A R
,
P x y
,
P x y
则
，
，
，
，直线
的方程为
,0
A
a
2
,
bm
R a
n
,0
A a
2
,2
am
Q a
b
n
A R
，①直线
的方程为
，②
2
2
bm
bm
n
y
x
a
x
a
a
an
AQ
2
2
b
bn
y
x
a
x
a
am
am
a
a
n
点坐标满足方程①②，①②相乘得
，即
（
点在第一象
P
2
2
2
2
2
b
y
x
a
a
2
2
2
2
1
x
y
a
b
,
P x y
限），所以点
在双曲线的右支上半部分上运动.
P
.
4．（苏教版选修第一册P105）如图，将一张长方形纸片ABCD 的一只角斜折，使点D 总是
落在对边AB 上，然后展开纸片，得到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这
些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
解析：设点
折后落到
边上的点
，则线段
被折痕垂直平分，在折痕上取一点
D
AB
D¢
DD
l
l
，且
，则可得，
，即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线
的
M
MD
AB
MD
MD
＝
AB
距离与它到定点
的距离相等，∴根据抛物线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以
为焦
D
D
点，
为准线的抛物线.（凌晨讲数学）
AB
二．真题回顾
例1．（2003 年全国卷）已知常数
，在矩形
中，
，
，
为
0
a
ABCD
4
AB
4
BC
a
O
AB
的中点，点
、
、
分别在
、
、
上移动，且
，
为
与
E
F
G
BC
CD
DA
BE
CF
DG
BC
CD
DA
P
GE
的交点（如图），问是否存在两个定点，使
到这两点的距离的和为定值？若存在，求
OF
P
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由
解析:按题意有
,
,
,
，设
由此
2 0
A ，
2 0
B
，
2 4
C
a
，
2 4
D
a
，
0
1
BE
CF
DG
k
k
BC
CD
DA
有
，
，
，直线
的方程为：
①
2 4
E
ak
，
2
4 4
F
k
a
，
2 4
4
G
a
ak
，
OF
2
(2
1)
0
ax
k
y
直线
的方程为：
②，从①，②消去参数
，得点
的坐标
GE
(2
1)
2
0
a
k
x
y
a
k
( , )
P x y
满足方程
，整理得:
.
2
2
2
2
2
0
a x
y
ay
2
2
2
1
1
2
y
a
x
a
当
时，点
的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
2
1
2
a
P
当
时，点
轨迹为椭圆的一部分，点
到该椭圆焦点的距离
2
1
2
a
P
P
的和为定长
当
时，点
到椭圆两个焦点
，
2
1
0
2
a
P
2
1
,
2
a
a
2
1
,
2
a
a
的距离之和为定值
.
2
当
时，点
到椭圆两个焦点
,
2
1
2
a
P
2
1
0,
2
a
a
2
1
0, +
2
a
a
的距离之和为定值
.
2a
例2．（2013 年福建卷理科数学）如图，在正方形
中，
为坐标原点，点
的坐标
OABC
O
A
为
，点
的坐标为
，分别将线段
和
十等分，分点分别记为
0,
10
C
10
,0
OA
AB
9
2
1
,
,
,
A
A
A
和
，连接
，过
作轴的垂线与
交于点
.
9
2
1
,
,
,
B
B
B
i
OB
iA
i
OB
9
1
*,
i
N
i
Pi
（1）求证：点
都在同一条抛物线上，并求抛物线
的方程；
9
1
*,
i
N
i
Pi
E
（2）过点
作直线与抛物线E 交于不同的两点
,若
与
的面积之比为
C
l
N
M ,
OCM
OCN
4:1，求直线的方程.
l
解析：（1）依题意，过
且与
轴垂直的直线的方程为
，
的坐
*,1
9
iA i
i
N
x
x
i
iB
标为
，所以直线
的方程为
.设
的坐标为
，由
得
(10, )i
i
OB
10
i
y
x
iP
( , )
x y
10
x
i
i
y
x
，即
.所以点
都在同一条抛物线上，且抛物线
的
2
1
10
y
x
2
10
x
y
*,1
9
iP i
i
N
E
方程为
.
2
10
x
y
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为
.由
得
10
y
kx
2
10
10
y
kx
x
y
，此时
，直线
与抛物线
恒有两个不同的交点
2
10
100
0
x
kx
2
100
400
0
A
k
S
E
.设
，则
，因为
，所以
,
M N
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
1
2
1
2
10
100
x
x
k
x
x
4
OCM
OCN
S
S
.又
，所以
，分别代入上述韦达定理，得
，
1
2
4
x
x
1
2
0
x
x
1
2
4
x
x
2
2
2
3
10
4
100
x
k
x
解得
.所以直线的方程为
，即
或
.
3
2
k
/
3
10
2
y
x
3
2
20
0
x
y
3
2
20
0
x
y
三．近期模拟
例
3.（广东省
25 届高三开学联考）如图，在矩形
中，
ABCD
分别是矩形四条边的中点，点
在直线
上，点
在直
8,
6,
,
,
,
,
AB
BC
E F G H
Q
HF
N
线
上，
BC
，直线
与直线
相交于点
，则点
的轨迹方程为
,
,
R
OQ
kOH CN
kCF k
EQ
GN
R
R
_______________.
解析：以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系（见右图）.
HF
x
GE
y
因为
，所以
，
8,
6
AB
BC
0,0 ,
4,0 ,
4,0 ,
0, 3 ,
0,3 ,
4,3
O
H
F
E
G
C
所以
，又因为
，
4,0
OH
0, 3 ,
4,3
CF
OC
,
OQ
kOH CN
kCF
所以
，所以
.
4 ,0 ,
0, 3
OQ
k
CN
k
4 ,0 ,
4,3
3
Q
k
N
k
因为
，所以直线
的方程为
①，
0, 3 ,
4 ,0
E
Q
k
EQ
3
3
4
y
x
k
因为
，所以直线
的方程为
②.由①可得
0,3 ,
4,3
3
G
N
k
GN
3
3
4
k
y
x
，代入②化简可得
，结合图象易知点
可到
3
0
4
3
x
k
x
y
2
2
1
0
9
16
y
x
x
，
R
达
，但不可到达
，所以点
的轨迹方程为
，
0,3
G
0, 3
E
R
2
2
1,
3
9
16
y
x
y
故答案为：
.
2
2
1,
3
9
16
y
x
y
例4．在矩形
中，
，
，
、
、
、
分别为矩形四条边的中
ABCD
2 3
AB
2
AD
E
F
G
H
点，以
，
所在直线分别为
，
轴建立直角坐标系（如图所示）.若
、
分别在线
HF
GE
x
y
R
R
段
、
上.且
.
OF
CF
1
OR
CR
OF
CF
n
（1）求证：直线
与
的交点
总在椭圆
：
上；
ER
GR
P
2
2
1
3
x
y
（2）若
、
为曲线
上两点，且直线
与直线
的斜率之积为
，求证：直线
M
N
GM
GN
2
3
过定点.
MN
解析：（1）∵
，∴
，
，又
则直线
的方程为
1
OR
CR
OF
CF
n
3 ,0
R
n
1
3, n
R
n
0,1
G
GR
①，又
则直线
的方程为
②，联立①②:
1
1
3
y
x
n
0, 1
B
BR
1
3
n
y
x
解得
，
，∴直线
与
的交点
1
1
3
1
3
y
x
n
n
y
x
2
2
2
2 3
1
,
1
1
n n
P n
n
2
2
2
2
2
2 3
1
1
1
3
1
n
n
n
n
Q
BR
GR
在椭圆
：
上；
P
2
2
1
3
x
y
（2）①当直线
的斜率不存在时，设
：
，则
，
MN
MN
3
3
x
t
t
2
, 1
3
t
M t
∴
，不合题意，
2
,
1
3
t
N t
1
3
GM
GN
k
k
②当直线
的斜率存在时，设
：
，
，
.
MN
MN
y
kx
b
1
1
,
M x y
2
2
,
N x
y
联立方程
得
，则
，
2
2
1
3
y
kx
b
x
y
2
2
2
1 3
6
3
3
0
k
x
kbx
b
2
2
12 3
1
0
k
b
，
，又
1
2
2
6
1 3
kb
x
x
k
2
1
2
2
3
3
1 3
b
x
x
k
，即
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
x
GM
GN
k x x
k b
x
x
b
y
y
k
k
x
x
x x
，将
，
代入上式
2
2
1
2
1
2
3
2
3
1
3
1
0
k
x x
k b
x
x
b
1
2
2
6
1 3
kb
x
x
k
2
1
2
2
3
3
1 3
b
x
x
k
得
，∴直线过定点
.
3
b
0, 3
T
例5．如图，矩形
中，
，
.
、
、
、
分别是矩形四条边的中
ABCD
|𝐀𝐁| = 𝟒
2
BC
1A
1
B
2
A
2
B
点，设
，
.
2
OR
OA
2
2
1
0
1
A T
A C
（1）证明：直线
与
的交点
在椭圆
：
上；
1B R
2
B T
M
K
2
2
1
4
x
y
（2）已知
为过椭圆
的右焦点
的弦，直线
与椭圆
的另一交点为
，若
PQ
K
F
MO
K
N
，试判断
是否成等比数列，请说明理由.
/ /
MN
PQ
|
||,
|
MN
PQ
1
2
A A
解析：（1）设
，依题意，
，
，
，
，则直线
的
( , )
M x y
(2 ,0)
R
(2,1
)
T
1(0, 1)
B
2(0,1)
B
1B R
方程为
① ，直线
的方程为
②
1
1
2
y
x
2
B T
1
2
y
x
①×②得：
即
故直线
与
的交点M 在椭圆
2
2
1
1
,
4
y
x
2
2
1,
4
x
y
1B R
2
B T
2
2
:
1
4
x
K
y
上；
（2）依题意，直线
的斜率均不为零，故设直线PO 的方程为
，
PQ
MO
、
3
x
my
直线MO 的方程为
由
得：
,
x
my
2
2
1
4
3
x
y
x
my
2
2
(
4)
2 3
1
0,
m
y
my
1
2
1
2
2
2
2 3
1
,
,
4
4
m
y
y
y y
m
m
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2 3
1
4(
1)
1
1
4
,
4
4
4
m
m
PQ
m
y
y
m
m
m
m
由
得
2
2
1
4
x
y
x
my
2
2
,
4
y
m
2
2
1
2
2
4
1
1
,
4
m
MN
m
y
y
m
即
成等比数列.
2
1
2
1
2
|
4,
|
,
A A
MN
PQ
A A
1
2
PQ
MN
A A
、
、
