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专题18 圆锥曲线高频压轴解答题
目 录
01 轨迹方程..........................................................................................................................................2
02 向量搭桥进行翻译...........................................................................................................................6
03 弦长、面积背景的条件翻译..........................................................................................................10
04 斜率之和差商积问题.....................................................................................................................16
05 弦长、面积范围与最值问题..........................................................................................................20
06 定值问题........................................................................................................................................26
07 定点问题........................................................................................................................................30
08 三点共线问题.................................................................................................................................34
09 中点弦与对称问题.........................................................................................................................38
10 四点共圆问题.................................................................................................................................42
11 切线问题........................................................................................................................................47
12 定比点差法....................................................................................................................................51
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13 齐次化............................................................................................................................................55
14 极点极线问题.................................................................................................................................57
15 同构问题........................................................................................................................................61
16 蝴蝶问题........................................................................................................................................66
01 轨迹方程
1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线
的一条浙近线方程为
，且点
在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为
，在直线
上取一点
，直线
交双曲线右支于点
，直
线
交双曲线左支于点
，直线
和直线
的交点为
，求证：点
在定直线上.
【解析】（1）因为渐近线方程为
，所以
，设双曲线为
，
代入
得
，双曲线的标准力程为
；
（2）法一、
设直线
，联立双曲线
得：
，
，且
；
设直线
，联立双曲线
得：
，
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，且
；
所以
则
设
，则
，两式相除消得
所以
在直线
上；
法二、
设直线
，
直线
，
由于
，即
，
由于
，即
，
则
.
设
，则
，两式相除消得
所以
在直线
上；
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2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆
：
的长轴长是短轴长的2 倍，直线
被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设M，N，P，Q 为椭圆
上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О 在直线MN 上的垂足为点H，求
H 的轨迹方程．
【解析】（1）由题意可得
，则椭圆
：
，
联立
，解得
或
，
所以弦长
，解得
，所以
，
所以椭圆
的方程为
，即
；
（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以
垂直且平分，
设
，
则
，
两式相减得
，
即
，
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设菱形的中心为
，
若直线
的斜率都存在，设直线
的斜率分别为
，
由
，得
，
所以
，即
，
同理
，
所以
，
由
得
，所以
，即菱形的中心为原点，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
，解得
，
所以
，
同理
，
因为
，
所以
，
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所以点
在圆
上；
若直线
中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
四点分别为椭圆的顶点，不妨设
为右顶点，
为上顶点，
则
，
同理可得
，
点
任在圆
上，
综上所述，H 的轨迹方程为
.
3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线
上任意一点
到点
的距离与它到直线
的距离之比等于
，过点
且与
轴不重合的直线与
交于不同的两点
．
（1）求
的方程；
（2）求证：
内切圆的圆心在定直线上．
【解析】（1）设
，由题意：
，
化简得：
，即C 的方程为：
.
（2）设直线
，
，将代入C 得：
，
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∴
设直线AF 与BF 的斜率分别为
，则
.
∴
，则
，∴直线
平分
，而三角形内心在
的角平分线上，∴
内切圆的圆心在定直线
上.
而
，所以
.
同理，当
时，
.
当
与
轴垂直时，
与
重合.符合
综上，线段
的中点的轨迹方程
或
.
02 向量搭桥进行翻译
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆
的离心率是双曲线
的离心
率的倒数，椭圆
的左､右焦点分别为
，上顶点为
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)当过点
的动直线与椭圆
相交于两个不同点
时，设
，求
的取值范围.
【解析】（1）设点
的坐标分别为
，
又点
的坐标为
，且
，
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所以
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，则依据
得
，
整理得
，
又
，故
，
得
，
即
，
当
时，此时
，即
重合，显然不成立，所以
，
所以
，即
，
又
，得
，
又
，故
，且
，
故实数
的取值范围为
.
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5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆
的焦距为
，离心率为
，椭圆的左右
焦点分别为
、
，直角坐标原点记为
．设点
，过点
作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同
的两点
、
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点
，求
的取值范围；
(3)设线段
的中点为
，当
时，判别椭圆上是否存在点
，使得非零向量
与向量
平行，
请说明理由．
【解析】（1）由题意，得
，
，所以
，
则椭圆的标准方程为
；
（2）设动点
，
，
，
，
，所以
的取值范围为
；
（3）显然直线的斜率存在，故可设直线
，
、
，
联立
， 消去
得
，
，即
①，
则
，
，
则
，
，
则
，
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故
，
若
，则有
，
设直线
为
，
联立
，消去
有
，
要使得存在点
，则
，
整理得
，
故
②，
由①②式得，
，
则
，解得
，
所以当
时，不存在点
，使得
.
6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P 到定点
的距离和它到直线
距离之比为2；
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交曲线C 于A，B 两点，直线l 交y 轴于点D.设OD 的中点为M，是否存
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在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若
存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设
，由动点P 到定点
的距离和它到直线
距离之比为2，
可得
，化简得
，即
，
故点P 的轨迹C 的方程为
；
（2）设l 的方程为
，则
，故
，
由已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的方程为
，故
.
与双曲线方程联立得：
，
由
对应渐近线方程为：
，易判断
，
得
，设
，
，
则
，
①，
由
，
得：
，
，
即
，
，
消去
得：
，
即
②
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由①②得：
，化简得
，由已知
，
故存在定直线l：
满足条件.
03 弦长、面积背景的条件翻译
7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆
经过
两点.
(1)求
的方程；
(2)斜率不为0 的直线与椭圆
交于
两点，且点A 不在上，
，过点
作
轴的垂线，交直
线
于点，与椭圆
的另一个交点为
，记
的面积为
，
的面积为
，求
.
【解析】（1）将
代入椭圆方程中，
，
解得
则椭圆
的方程为
；
（2）当直线
轴时，
为钝角三角形，且
，不满足题意.
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设
，由
，可得
，
所以
，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为
，
因为点A 不在上，所以
，
由
化简得
，
.
，
所以
，
则
，
整理得
，因为
，所以
，
所以直线的方程为
，恒过点
.
由题意和对称性可知
，
设点到直线的距离为
，点
到直线的距离为
，
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8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆
的左、
右焦点为
，
，若
上任意一点到两焦点的距离之和为
，且点
在
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)在（1）的条件下，若点
，
在
上，且
(
为坐标原点)，分别延长
，
交
于
，
两点，则四边形
的面积是否为定值？若为定值，求四边形
的面积，若不为定值，请说明理
由.
【解析】（1）因为
上任意一点到两焦点的距离之和为
，
所以
，即
.
又因为点
在
上，
所以
，则
，
故椭圆
的方程为
.
（2）四边形
的面积为定值，理由如下：
当直线
斜率为0 时，因为
，
不妨设
，则
，
则
，
，
此时四边形
的面积为
为定值；
当直线
斜率不为0 时，设
，且
，
.
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联立
，得
.
由
，得
，
则
，
，
则
，
因为
，
所以
，即
，即
，
则
，
又原点
到
的距离
，
所以四边形
的面积
，
综上，所以四边形
的面积为定值
.
9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H：
的左、右焦点为
，
，左、
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右顶点为
，
，椭圆E 以
，
为焦点，以
为长轴．
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)设椭圆E 交y 轴于
，
，过
的直线l 交双曲线H 的左、右两支于C，D 两点，求
面积的最
小值；
(3)设点
满足
．过M 且与双曲线H 的渐近线平行的两直线分别交H 于点P，Q．过M 且与
PQ 平行的直线交H 的渐近线于点S，T．证明：
为定值，并求出此定值．
【解析】（1）设椭圆方程
，焦距为
，
由题意知椭圆E 的顶点、焦点分别为
，
所以
，
从而椭圆E 的离心率为
.
（2）如图所示：
由题意
，直线
斜率存在，
所以不妨设直线
的方程为
，
，
又双曲线
渐近线斜率的绝对值为
，
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且过
的直线l 交双曲线H 的左、右两支于C，D 两点，
所以直线
的斜率满足
，
将直线
与双曲线方程
联立
，消去
得
，
而
，
所以
，
从而
的面积为
，
因为
，令
，所以
，
从而
，
进一步令
，则
，
当且仅当
，即
时，
.
综上所述：
面积的最小值
.
（3）如图所示：
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由题意双曲线
的渐近线方程为
即
，
当
时，由对称性得
关于
轴对称，
关于
轴对称，所以
为
的中点，故
．
下面证明当
时，
即证
为
的中点.
因为点
满足
，则
，
不妨设
，当
时，
，此时点
在直线
的左上方，同理可证，点
在两渐近线
所夹区域的上方或下方，不妨设点
在上方区域.
由题意
，
设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由
即
，所以
，
所以
满足
，
同理
满足
，
所以直线
的斜率：
，
设直线
方程为
,
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由
得
即
，
得
的横坐标
，同理
，
所以
，
所以
为
的中点，故
为定值1．
综上：
为定值1．
04 斜率之和差商积问题
10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点
作x 轴垂线，分别与
和
交于P，Q 点，且
，
，若实数
使得
成立（其中O 为
坐标原点）．
(1)求M 点的轨迹方程，并求出当
为何值时M 点的轨迹为椭圆；
(2)当
时，经过点
的直线l 与轨迹M 交于y 轴右侧C，D 两点，证明：直线
，
的斜率
之比为定值．
【解析】（1）由动点
，可得
，
，
，
因为
，所以
，
化简得
，
当
时，方程为
，其中M 点的轨迹为椭圆．
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（2）证明：当
时，M 的方程为
，可得点
为双曲线，
设CD 方程为
，且
，
联立方程组
，整理得
，
可得
且
，
，
直线
的斜率分别为
，
又由
所以
所以
为定值．
11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线
的焦点为F，点
是抛物线C 上一
点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的准线的距离为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知圆
，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA，
OB 的斜率之差的绝对值为定值．
【解析】（1）根据题意可列
故抛物线C 的方程为
.
（2）①当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，
，
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.
②当直线
的斜率存在且不为0 时，故设直线
的方程为
，
圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A，B 两点，故
设
把直线
的方程与抛物线进行联立
.
.
综上所述：
的斜率之差的绝对值为定值为2.
12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的左
顶点为
，离心率为
，焦点到渐近线的距离为2.直线过点
，且垂直于
轴，过
的直
线
交
的两支于
两点，直线
分别交于
两点.
(1)求
的方程；
(2)设直线
的斜率分别为
，若
，求点
的坐标.
【解析】（1）不妨设双曲线
的焦点坐标为
，渐近线方程为
.
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由题意可得：
解得
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）由题意直线
的斜率不为0.
设直线
方程为
，
由
，消去
得：
，
由
，得：
.
设
，则
.
由题意可知
，则直线
.
令
，得
，所以
坐标为
，
同理，
坐标为
，
所以
.
因为
，所以
，
整理得：
.
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又
，
所以
.
因为
，所以
，即
，
所以点
的坐标为
.
05 弦长、面积范围与最值问题
13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知
分别为椭圆
的左､右焦点，
直线过点
与椭圆交于
两点，且
的周长为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)直线
过点
，且与垂直，
交椭圆
于
两点，若
，求四边形
面积的范围.
【解析】（1）设
，由椭圆的定义可知
的周长为
，所以
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，所以离心率
.
（2）由（1）可知
，又
，所以
，
所以椭圆
的方程为
.
①当直线
中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，四边形
的面积
.
②当直线
的斜率都存在，且都不为0 时，设的方程为
，由
，
可得
，
.所以
.
所以
.
设
的方程为
，同理可得
.
所以四边形
的面积
，
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因为
，当且仅当
时取等号.所以
，
即此时
.
由①②可知，四边形
面积的范围为
.
14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，过
与垂直的直线交
于
两点，其中
在
轴上方，
分别为
的中点．
(1)证明：直线
过定点；
(2)设
为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值．
【解析】（1）由
，故
，由直线
与直线
垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线
、
分别为
、
，有
，
、
、
、
，
联立
与直线
，即有
，
消去
可得
，
，
故
、
，
则
，
故
，
，
即
，同理可得
，
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当
时，
则
，
即
，
由
，即
，
故
时，有
，
此时
过定点，且该定点为
，
当
时，即
时，由
，即
时，
有
，亦过定点
，
故直线
过定点，且该定点为
；
（2）由
、
、
、
，
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则
，由
、
，
故
，
同理可得
，联立两直线，即
，
有
，
即
，
有
，由
，同理
，
故
，
故
，
过点
作
轴，交直线
于点
，则
，
由
、
，
故
，
当且仅当
时，等号成立，
下证
：
由抛物线的对称性，不妨设
，则
，
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当
时，有
，则点
在
轴上方，点
亦在
轴上方，
有
，由直线
过定点
，
此时
，
同理，当
时，有点
在
轴下方，点
亦在
轴下方，
有
，故此时
，
当且仅当
时，
，
故
恒成立，且
时，等号成立，
故
，
15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线
上有一动点
．过点P 作抛物线的切线l，再过点
P 作直线
，使得
，直线m 和抛物线的另一个交点为Q．
(1)当
时，求切线的直线方程；
(2)当直线与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形
的面积（点O 是坐标原点）；
(3)求出线段
关于s 的表达式，并求
的最小值；
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【解析】（1）当
时，点
，又因为点
在抛物线上，
由于点在第一象限，则
，
求导
，代入
，则
所以过点
的切线方程为：
；
（2）当直线与抛物线准线的交点在x 轴上时,
则直线过点
，由于（1）的切线方程过点
，
则此时切线方程为
，又因为
，
则
的方程为：
.
联立
，解得
或
.
故点
点
，
则
，
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到直线
的距离为：
，
则面积为
.
（3）由于点
，
所以点
在第一象限，则
，
求导
，代入
，即
，
则直线的方程为：
，
所以直线
的方程为：
，
联立抛物线于直线
得：
，得
，
令
，则
，即
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
取最小值，即
.
06 定值问题
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16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知
分别为椭圆C：
的左、右焦点，P 为椭
圆C 上一点，若
，
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 坐标为
，设不过点P 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，A 关于原点的对称点为
，记直线
，PB，
的斜率分别为k，
，
，若
，求证：直线的斜率k 为定值.
【解析】（1）由
两边平方得
，
所以
.
因为
，所以
，即
.
由
得
，即
又
，
即
，所以
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）设直线的方程为
，代入
得
，
则
，
设
，则
，
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于是
.
，
又
，所以
，即
，即
，
即
，
所以
，
.
将
代入整理得
，
即
，
所以
或
当
，即
时，直线的方程为
，则直线过点
，
舍去，
所以
，即
.
17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线
分别是
的左、右焦点．
若
的离心率
，且点
在
上．
(1)求
的方程．
(2)若过点
的直线与
的左、右两支分别交于
两点（不同于双曲线的顶点），问：
是
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否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线
的半焦距为
．
由题意可得，
解得
，
所以
的方程为
．
（2）
为定值，理由如下：
由（1）知
，设直线
，
联立方程得
，消去
，整理可得
，
，
，同理
．
直线过点
且与
的左、右两支分别交于
两点，
两点在
轴同侧，
，此时
，即
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，为定值．
18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线
是抛物线与
轴的交点，过
点
作斜率不为零的直线与抛物线交于
两点，与
轴交于点
，直线
与直线
交于点
．
(1)求
的取值范围；
(2)问在平面内是否存在一定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，设直线的方程为
，点
，
由
消去y 并整理得
，
，
则
，
，
，
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所以
.
（2）由（1）知，
，且
，设
，
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立解得
，
即点
的坐标为
，
，
，而
，
于是
，当
为定值
，
所以存在定点
的坐标为
.
07 定点问题
19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线
，过焦点
的直线与抛物线
交于点
、
.当直线
垂直于
轴时，
.
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(1)求抛物线
的标准方程.
(2)已知点
，直线
、
分别与抛物线
交于点
、
.求证：直线
过定点.
【解析】（1）由题意，当直线
垂直于
轴时，直线
的方程为
，
联立
可得
，则
，所以
，即
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）证明：若直线
与
轴重合，则直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线
也不与
轴重合，
设
、
，设直线
的方程为
，
联立
得
，
，
因此
，
.
设直线
的方程为
，联立
得
，
则
，因此
，
，则
，同理可得
.
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所以
.
因此直线
的方程为
，
由对称性知，定点在
轴上，
令
得，
，
所以，直线
过定点
.
20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系
中，椭圆
的左，右顶点分别为
、
，点
是椭圆的右焦点，
，
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)经过椭圆右焦点
且斜率不为零的动直线与椭圆交于
、
两点，试问
轴上是否存在异于点
的
定点
，使
恒成立？若存在，求出
点坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知，
，
，
，
∵
，
，
∴
，解得
，从而
，
∴椭圆
的方程为
.
（2）如图，
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由椭圆右焦点
，故可设直线的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
则
，
设
，
，且
，
，
设存在点
，设
点坐标为
，
由
，可得
，
又因为
，
所以
，所以
，
所以直线
和
关于
轴对称，其倾斜角互补，即有
，
则
，所以
，
所以
，整理得
，
即
，即
，
解得
，符合题意，
即存在点
满足题意.
21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
的准
线交
轴于点
，过
的直线与抛物线
相切于点
，且交
轴正半轴于点
.已知
上的动点
到点
的距离与到直线
的距离之和的最小值为3.
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(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，过
且平行于
轴的直线与线段
交于点
，点
满足
.证
明：直线
过定点.
【解析】（1）设
，由题意知准线
，
由抛物线的定义可知点
到点
的距离等于点
到准线的距离，
所以点
到点
的距离与到直线
的距离之和为
，
由题意知当
时，距离之和最小，
所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）知
，设
，
联立方程
，得
，
由
得
，解得
，又与
轴交于正半轴，所以
由
解得
，所以点
，
所以直线
，
所以直线
，所以
，
因为
斜率存在且不为零，所以设
，
联立
，消去
，得
，
则
，所以
且
.
，
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又直线
，令
，得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以直线
的方程为
，
所以
，
因为
，
所以直线
为
，所以
恒过定点
.
08 三点共线问题
22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点
是抛物线
：
（
）的焦点，
为坐标原点，过
点
作垂直于
轴的直线，与抛物线
相交于
，
两点，
，抛物线
的准线与
轴交于点
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
、
是抛物线
上异于
、
两点的两个不同的点，直线
、
相交于点
，直线
、
相
交于点
，证明：
、
、
三点共线．
【解析】（1）抛物线
：
（
）的焦点坐标为：
过点
作垂因为直于
轴的直线，
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与抛物线
相交于
，
两点，且
，
不妨设
，则
，
解得
或
（舍去），
所以抛物线
的方程为
；
（2）如图所示：
由（1）知
，设
，
则直线AC 的方程为：
，直线BD 的方程为：
，
联立得
，解得
，则
，
所以
，
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则直线BC 的方程为：
，直线AD 的方程为：
，
联立得
，解得
，则
，
所以
，则
，
所以E，K，G 三点共线.
23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知
是抛物线
的焦点，过点
的直线交抛物线
于
两点，当
平行于
轴时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
为坐标原点，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，过点
作直线
的垂线与抛物线
的另一
交点为
的中点为
，证明：
三点共线.
【解析】（1）抛物线
的焦点为
，
当
平行于
轴时，设直线
的方程为
，设点
、
，
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，设点
、
，
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联立
可得
，
由韦达定理可得
，
，
又因为直线
的方程为
，
将
代入直线
的方程可得
，可得
，即点
，
所以，
，
因为
，则
，
所以，直线
的方程为
，
联立
可得
，则
，
故
，则
，
由
的中点为
，可得
，
故
、
、
三点共线．
24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B 为椭圆
的左、右顶点，P
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为椭圆上异于A，B 的一点，直线AP 与直线BP 的斜率之积为
，且椭圆C 过点
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线AP，BP 分别与直线
相交于M，N 两点，且直线BM 与椭圆C 交于另一点Q，证明：A，
N，Q 三点共线．
【解析】（1）令
，则
，又
，则
，
所以
，即
，
，
由
在椭圆上，则
，
联立以上两式，可得
，故椭圆C 的标准方程为
.
（2）由题设，直线
、
斜率存在且不为0，
，
令
，则
，故
，
，
所以
，联立
，整理得
，
显然
，则
，则
，
由
，
，即
，
所以A，N，Q 三点共线.
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09 中点弦与对称问题
25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆
的离心率为
，
椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆
的方程；
(2)是否存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得
，设椭圆右焦点坐标为
，
设椭圆上一点
，
，
则
，故
，
，
因为
，所以
，
，
故
，
故椭圆上的点到又焦点的最小距离是
，所以
，
联立
与
，解得
，故
，
故椭圆
的方程为
．
（2）假设存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点，
设
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
，两式相减得
，
得
，即
，
直线
方程为
，即
．
所以存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点，
且该直线方程为
．
26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切
并且与圆
内切，圆心
的轨迹为曲线
(1)求
的方程；
(2)是否存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）设动圆
的半径为，
依题意得
，所以
为定值，且
，
所以动点
的轨迹
是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，
，
，
，
，
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）假设存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点，
设
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
，两式相减得
，
得
，即
，
由点斜式得直线
方程为
，即
.
所以存在过点
的直线交曲线
于
两点，使得
为
中点，且该直线方程为
.
27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C：
的一个焦点为
，
且点F 到C 的左、右顶点的距离之积为5．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点F 作斜率乘积为
的两条直线，
，与C 交于A，B 两点，
与C 交于D，E 两点，线段AB，
DE 的中点分别为M，N．证明：直线MN 与x 轴交于定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）由题意，
，且
，即
，
所以
，
所以椭圆C 的标准方程为
.
（2）证明：由题意得
，且斜率均存在且不为0，
设直线的方程为：
，设
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
联立
，整理得
，
可得
，
，
所以AB 的中点
.
设直线
的方程为：
，设
，
，
联立
，整理得
，
可得
，
，
所以DE 的中点
.
当
时，
、
的横坐标相同均为
，
这时直线
与
轴的交点为
；
当
时，则直线
的斜率
，
所以直线
的方程为：
，
令
，可得
，
即直线
与
轴的交点为
.
综上所述，直线
与
轴交于定点为
.
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10 四点共圆问题
28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的离心率为2，过
上的动点
作曲线
的两渐近线的垂线，垂足分别为
和
的面积为
.
(1)求曲线
的方程；
(2)如图，曲线
的左顶点为
，点
位于原点与右顶点之间，过点
的直线与曲线
交于
两点，直
线过
且垂直于
轴，直线DG,DR 分别与交于
两点，若
四点共圆，求点
的坐标.
【解析】（1）由
，又
得：
，所以渐近线方程为
，
则双曲线方程为
，即
，
设
，则
到渐近线的距离分别为
，
又两渐近线的夹角为
，且
四点共圆，则
或
，
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的面积
，
曲线
的方程为：
.
（2）如图
四点共圆，
，
，
设
，
，
易得
，令
得：
，
当
的斜率为0 时，不符合题意；
当
的斜率不为0 时，设
，
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联立双曲线得
，
则
，且
，即
，且
，
所以
，
由
，即
，
，
，符合，
综上，
.
29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
点D 在C 上，
，
，
，且
的面积为
．
(1)求C 的方程；
(2)设C 的左顶点为A，直线
与x 轴交于点P，过P 作直线交C 于G，H 两点直线AG，AH 分别与l
交于M，N 两点，O 为坐标原点，证明：O，A，N，M 四点共圆．
【解析】（1）
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由椭圆定义可知
，
.
由
可得
，
因为
，如图1 可知
，所以
．
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，即C 的焦距为
，
，
所以
，
故C 的方程为
.
（2）
如图2，不妨取G 点在H 点的左侧，要证O，A，N，M 四点共圆，
只需证明
，即
．
又
，
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，
故待证结论转化为证明
．
设
，
，
，显然
，
.
由题意可知
，则直线
，直线
．
因为M 在直线l 上，所以
，代入直线AG 的方程，可知
，
故点M 的坐标为
，所以
.
又
，故
等价于
．
设直线
，与C 的方程联立消去x 得
，
，则
或
.
又
，
，
则
，
所以
，所以
，
综上O，A，N，M 四点共圆．
30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M 过点
且与直线
相切，记动圆圆心M 的轨迹
为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线
与
轴相交于点P，点B 为曲线C 上异于顶点
的动点，直线PB 交曲线C 于另一
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点D，直线BO 和DO 分别交直线于点S 和T．若
四点共圆，求
的值．
【解析】（1）设
，则
，解得
.
（2）
设直线
的方程为
代入
得
，设
，
，
则
，
又直线
的方程为
，即
，则
，
同理：
，
则
，
，
四点共圆，
，
即
，又
，则
.
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11 切线问题
31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点
在离心率为
的椭圆
上，点
为椭圆
上异于点
的两点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，过点
两点分别作椭圆
的切线，这两条切线的交点为
，求
的最小值．
【解析】（1）根据题意，
，
又点
在椭圆
上，
，所以
，
可得椭圆
的方程为
；
（2）根据题意：设点
，
当
时，则
，又
，由
得
，得
，
又
，解得：
，或
（舍去），则
．
当
时，设直线
为
，
联立
，
可得
，因为
，
可得：
，
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因为
，代入可得：
，
代入韦达定理可得：
，
整理可得：
，
可得：
或
，代入直线
可得：
，
该直线恒过点
；或者
，该直线恒过点
（与题意不符），
所以直线恒过定点
，
设点
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
点
分别在直线
上，所以
，得直线
为
，
又直线
恒过点
，所以
，
所以点
的轨迹为
，
故
的最小值为点A 到点
轨迹的距离，为
．
32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆
：
与直线：
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.点
在直线上，由点
引椭圆
的两条切线
、
，A、B 为切点，
是坐标原点.
(1)若点
为直线与
轴的交点，求
的面积；
(2)若
，
为垂足，求证：存在定点
，使得
为定值.（注：椭圆
在其上一点处
的切线方程为
）
【解析】（1）由题意知
，过点
与椭圆相切的直线斜率存在，
设切线方程为
，
联立
，可得
，（*）
所以
，解得
，即切线方程为
.
所以
，
将
代入方程（*）可得
，可得
，此时
，
不妨设点
，同理可得点
，则
因此，
的面积
.
（2）证明：设
、
，
因为椭圆
在其上一点
处的切线方程为
.
则切线
的方程为
，切线
的方程为
.
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设
，则
，
所以，点A、B 的坐标满足方程
即
，
所以，直线
的方程为
.
因为点
在直线
上，所以
，则
，
所以，直线
的方程可表示为
，即
.
令
，可得
，故直线
过定点
.
因为
，
在直线AB 上，
，
故点
在以
为直径的圆上，
当点
为线段
的中点时，
，
此时点
的坐标为
故存在点
，使得
为定值
.
33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系
内，已知定点
，定直线
，动点
P 到点F 和直线l 的距离的比值为
，记动点P 的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E 的方程．
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(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线
，若直线
与直线l 交于点N，试探究以线段MN 为直径的圆
是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．
【解析】（1）设点
是所求轨迹
上的任意一点，
因为定点
，定直线l：
，动点P 到点F 和直线l 的距离的比值为
，
可得
，化简得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）因为直线
与相交，所以
的斜率存在，
可设
的方程为
，联立方程组
，
整理得
，
则
，可得
，
即
且
，所以
，即
，
所以
，则
，所以
，
联立方程组
，解得
，即
，
假设以线段
为直径的圆过
轴上一定点，设为
，则
，
所以
恒成立，即
，
可得
，即
，
整理得
，
即
，即
恒成立，
要使得
恒成立，则
，所以恒过定点
，
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即以线段
为直径的圆过
轴上一定点
.
12 定比点差法
34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线
的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆
经过抛物线
的焦点F．
(1)求抛物线
的方程及a；
(2)已知O 为坐标原点，过点
的直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，若
，点N 满足
，且
最小值为
，求椭圆
的离心率．
【解析】（1）抛物线
的焦点F 到其准线的距离为4
可得
抛物线
的方程：
椭圆
经过抛物线
的焦点
椭圆
的右顶点为
，
所以
．
（2）①当直线
斜率存在时，
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设直线
方程为
由
得
，
∵
∴
，即∴
∴
，
∴
又∵
∴
，即∴
∴N 点轨迹为直线
②当直线
斜率不存在时，经检验点
在直线
上．
∴N 点轨迹方程为
最小值即点O 到直线
的距离
∴
，即
椭圆
的离心率为
．
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35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
．经过椭圆的左焦点F，斜率为
的直线与椭圆交于A、B 两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求
的值；
(3)设
，延长AR，BR 分别与椭圆交于C，D 两点，直线CD 的斜率为
，求证：
为定值．
【解析】（1）由题意，得
解得
∴
，故
的方程为
．
（2）由（1）知
，
∴直线AB 的方程为
，由
即
，
设
，
，
则
，
，
∴
．
设O 点到直线AB 的距离为d，则
．
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∴
．
（3）设AB 直线方程
，
设
，
，
，
，
由
由定比分点坐标公式：
，
由于A，C 满足椭圆方程，故得
两式作差得
③，
将①②代入③可得
，和①进行联立，
即
，解得：
由
同理可得
，
∴
，
故
．
36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，
是
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抛物线
上位于第一象限内的任意一点，过
三点的圆的圆心为
，点
到抛物线
的准线的距离
为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）当过点
的动直线与抛物线
相交于不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上.
【解析】（1）过
三点的圆的圆心为
,则圆心
在
的中垂线上，
则
，又点
到抛物线
的准线的距离为
所以
，则
所以抛物线的方程为
.
（2）设
，记
.
则
，
，
联立可得，
又
，代入得
，
所以总在定直线
上.
13 齐次化
37．已知椭圆
，
，
，
为上的两个不同的动点，
，求证：直线
过定点．
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【解析】设直线
方程为：
则
即
，又因为
化简得
或
（舍去）．
即
直线为
，即直线
过定点
．
38．已知椭圆
，设直线不经过点
且与
相交于A，B 两点．若直线
与直线
的斜率的和为
，证明：直线过定点．
【解析】设直线
．．．．．．（1）
由
，得
即：
．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
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整理得：
则
，
则
，代入直线
，得：
显然，直线过定点
．
39．如图，椭圆
，经过点
，且斜率为
的直线与椭圆
交于不同的两点P，Q
（均异于点
，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．
【解析】设直线
则
．
由
，
得：
．
则
，
故
．
所以
．
即
．
14 极点极线问题
40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线
：
（
，
）实轴端点分别为
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，
，右焦点为
，离心率为2，过
点且斜率1 的直线与双曲线
交于另一点
，已知
的面积为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过
的直线
与双曲线
交于
，
两点，试探究直线
与直线
的交点
是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【解析】（1）设直线的方程为
，联立
，得
，
又
，
，代入上式得
，即
，
∴
，解得
，∴
，
，∴双曲线的方程为
．
（2）当直线
点的斜率不存在时，
，
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，联立直线
与直线
的方程可得的
，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，
联立
得
，∴
，
，
∴直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
，两边平方得
，
又
，
满足
，
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∴
，
∴
，∴
，或
，（舍去）
综上，
在定直线上，且定直线方程为
．
41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 交于M、N 两点，
直线AM 与BN 相交于点Q．证明：点Q 在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率
，
，
，
又
，
．
因为
，所以
，
，
所以椭圆C 的方程为
．
（2）解法一：设直线
，
，
，
，可得
，
所以
．
直线AM 的方程：
①
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直线BN 的方程：
②
由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上，
联立①②可得
．
因为
，
所以
所以点Q 在直线
上．
解法二：设
，
，
，
两两不等，
因为P，M，N 三点共线，
所以
，
整理得：
．
又A，M，Q 三点共线，有：
①
又B，N，Q 三点共线，有
②将①与②两式相除得：
即
，
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将
即
代入得：
解得
（舍去）或
，（因为直线
与椭圆相交故
）
所以Q 在定直线
上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐
标点方程从而解决相关问题.
42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M：
（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两
点．
（1）求椭圆M 的离心率；
（2）设椭圆M 的右顶点为C，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点
Q，直线BP 交x 轴于点S，求证：直线SQ 过定点．
【解析】（1）因为点
，
都在椭圆
上，
所以
，
．
所以
．
所以椭圆
的离心率
．
（2）由（1）知椭圆
的方程为
，
．
由题意知：直线
的方程为
．
设
（
，
），
，
．
因为
三点共线，所以有
，
，
所以
．
所以
．
所以
．
因为
三点共线，
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所以
，即
．
所以
．
所以直线
的方程为
，
即
．
又因为点
在椭圆
上，所以
．
所以直线
的方程为
．
所以直线
过定点
．
15 同构问题
43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，圆
与
轴
相切，且圆心
与抛物线
的焦点重合.
(1)求抛物线
和圆
的方程；
(2)设
为圆
外一点，过点
作圆
的两条切线，分别交抛物线
于两个不同的点
和点
.且
，证明：点
在一条定曲线上.
【解析】（1）由题设得
，
所以抛物线
的方程为
.
因此，抛物线的焦点为
，即圆
的圆心为
由圆
与
轴相切，所以圆
半径为，
所以圆
的方程为
.
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（2）证明：由于
，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则
.
故设过点
且与圆
相切的切线方程为
，即
.
依题意得
，整理得
①；
设直线
的斜率分别为
，则
是方程①的两个实根，
故
，
②，
由
得
③，
因为点
，
则
④，
⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即
，
则
，即
，
所以点
在圆
.
44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线
，圆
．
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（1）求圆心
到抛物线
准线的距离；
（2）已知点
是抛物线
上一点（异于原点），过点
作圆
的两条切线，交抛物线
于
、
两点，
若直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，求点
的坐标．
【解析】（1）由已知：
；
的准线为
．
圆心
到
准线距离为
（2）设
，
，
切线
由
得：
由
得：
切线
同理可得：
依题意：
到
距离
整理得：
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同理：
，
解得：
故所求
点坐标为
或
45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：
交C
于P，Q 两点，且
．已知点M 的坐标为
，
与直线l 相切．
(1)求抛物线C 和
的标准方程；
(2)已知点
，点
，
是C 上的两个点，且直线
，
均与
相切．判断直线
与
的
位置关系，并说明理由．
【解析】（1）由已知，设拋物线C 的方程为
（
），
当
时，
，则
，
所以不妨设
，
，
因为
，所以
，
所以
，解得
所以抛物线C 的
，
因为
与直线l：
相切，
，
所以
的半径为2，
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所以
的方程
（2）由已知可得
在抛物线上，设
，
所以
，
所以
的点斜式方程为
整理可得
，
此直线与圆相切，可得
，
平方后可得
又因为
化简得
，
同理：
的方程为
，
所以直线
方程为
，
所以点M 到直线
距离为
，
所以直线
与
相切
46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆
的方程为：
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(1)已知过点
的直线交圆
于
两点，若
，
，求直线的方程；
(2)如图，过点
作两条直线分别交抛物线
于点
，
，并且都与动圆
相切，求证：直线
经过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）
时，圆
：
，
因为
，所以可得圆心
到直线的距离
，
当直线的方程为：
时，符合题意；
当直线的斜率存在，设直线的方程为：
，即
，
由
得
，解得：
，直线：
，
综上：直线的方程为：
或
；
（2）设直线
，
的斜率分别为
，
，则直线
：
，
，同理得直线
：
，
由
，
与动圆
相切得：
，
化简得：
，
因为
，所以
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
联立
得
，同理：
，
易得
，
则
：
，
化简得：
，所以直线过定点
．
16 蝴蝶问题
47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B，A 是椭圆
的左、右顶点，
P，Q 是椭圆C 上都不与A，B 重合的两点，记直线BQ，AQ，AP 的斜率分别是
，
，
.
（1）求证：
；
（2）若直线PQ 过定点
，求证：
.
【解析】（1）设
资料来源：微信公众号 智慧学库
；
（2）设直线
的方程是
，设
与椭圆方程联立，
得：
，
，
，
，
,
由（1）可知
，
两式消去
，解得：
.
48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆
的左焦点为
，且过点
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知
分别为椭圆
的左、右顶点，
为直线
上任意一点，直线
分别交椭圆
于不
同的两点
.求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）椭圆的一个焦点
，则另一个焦点为
，
由椭圆的定义知:
，所以
，解得
.
又
， 所以椭圆
的标准方程为
.
（2）设
，
则直线
，与
联立可得
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
又直线
，与
联立可得
，
所以
，所以
，
所以
，所以
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以直线
的斜率为
=
所以直线
所以直线
恒过定点，且定点坐标为
.
49．如图，椭圆的长轴
与x 轴平行，短轴
在y 轴上，中心为
．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线
交椭圆于两点
；直线
交椭圆于两点
，
．求证：
；
(3)对于（2）中的中的在
，
，
，
，设
交
轴于
点，
交
轴于
点，求证：
（证明过程不考虑
或
垂直于
轴的情形）
【解析】（1）
椭圆的长轴
与
轴平行，短轴
在
轴上，中心
，
椭圆方程为
焦点坐标为
，
离心率
（2）证明：将直线
的方程
代入椭圆方程
，得
资料来源：微信公众号 智慧学库
整理得
根据韦达定理，得
，
，
所以
①
将直线
的方程
代入椭圆方程
，同理可得
②
由 ①、②得
所以结论成立.
（3）证明：设点
，点
由
、
、
共线，得
解得
由
、
、
共线，同理可得
由
变形得
所以
即
