58.证明空间平行的八种常见解法
一．基本原理
1．直线、平面平行的判定及其性质
在空间平行的证明中，线面平行的证明是最常见的，而线面平行的证明主要是证明空间线
线平行，其主要的手法有：
（1）.构造中位线证明平行
（2）.利用相似比证明平行
（3）.构造平行四边形证平行
（4）.利用线面平行性质证平行
2．直线、平面垂直的判定及其性质
二．典例分析
题型1.构造中位线证明平行
题型2.利用相似比证明平行
题型3.构造平行四边形证平行
题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）
题型5.利用线面平行性质证（找）平行
题型6.利用面面平行证线面平行
题型7.面面平行的证明
题型8.空间向量证明平行
例1．如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．证
PO
P
ABC
PA
PB
AB
AC
PB
明：
平面
.
/ /
OE
PAC
解析:证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，因为
是三棱锥
BO
AC
D
OA
PD
PO
P
ABC
的高，所以
平面
，
平面
，所以
、
，
PO
ABC
,
AO BO
ABC
PO
AO
PO
BO
又
，所以
，即
，所以
，
PA
PB
POA
POB
△
△
OA
OB
OAB
OBA
又
，即
，所以
，
，
AB
AC
90
BAC
90
OAB
OAD
90
OBA
ODA
所以
,所以
，即
，所以
为
的中点，又
ODA
OAD
AO
DO
AO
DO
OB
O
BD
为
的中点，所以
，又
平面
，
平面
，
E
PB
//
OE PD
OE
PAC
PD
PAC
所以
平面
//
OE
PAC
题型2.利用相似比证明平行
例2．如图，圆台
上底面半径为1，下底面半径为
，
为圆台下底面的一条直
1
2
O O
2
AB
径，圆
上点
满足
，
是圆台上底面的一条半径，点
在平面
的同
2
O
C
AC
BC
1
PO
,
P C
1
ABO
侧，且
.证明：
平面
.
1//
PO
BC
1
2//
O O
PAC
解析：取
中点
，连接
，如图，由题意，
，又
AC
M
2
,
O M PM
1
2
1,
2
2
PO
BC
AB
.又
，故
，
1
1
1
,
2
PO
BC PO
BC
∥
2
2
1
,
2
O M
BC O M
BC
∥
1
2
1
2
,
PO
O M PO
O M
∥
所以四边形
为平行四边形，则
，又
面
平面
，
1
2
PO O M
1
2
PM
O O
∥
PM
1
2
,
PAC O O
PAC
故
平面
.
1
2
O O A
PAC
题型3.构造平行四边形证平行
例3．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是梯形，
，AD⊥CD，
//
AB CD
CD=2AB=4，△PAD 是正三角形，E 是棱PC 的中点．证明：BE
平面PAD
//
解析：（1）取
中点
，连接
．
PD
F
,
AF EF
1
1
//
,
,
//
,
2
2
EF CD EF
CD AB CD AB
CD
，
四边形
为平行四边形，
，又
不在平面
//
,
EF AB EF
AB
ABEF
//
BE AF
BE
平面
，
平面
．
,
PAD AF
PAD
BE
//
PAD
题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）
例4．如图，
和
都是边长为2 的等边三角形，平面
平面
，
ACD
A
BCD
△
ACD
BCD
EB
平面
．证明：
平面
.
BCD
//
EB
ACD
解析：如图，取
的中点，连接
，则
，又因为平面
平面
，且平
CD
AO
AO
CD
ACD
BCD
面
平面
，
平面
，则
平面
，又
平面
，所
ACD
=
BCD CD
AO
ACD
AO
BCD
EB
BCD
以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
．
//
EB AO
EB
ACD
AO
ACD
//
EB
ACD
题型5.利用线面平行性质证（找）平行
线面平行的性质除了可以找到线线平行之外，还给出了一个找面与面交线的方法，这在很
多面面相交，但交线未知的问题中会用到该结论.
例5．如图，正四棱锥
和正三棱锥
顶点均为
.设平面
与平面
P
ABCD
P
CDE
P
PAB
PCD
的交线为，求证：
.
l
l
PE
解析：取
的中点
，连接
，因为
，所以
CD
M
,
MP ME
,
PC
PD CE
DE
，
,
MP
CD ME
CD
又
平面
，所以
平面
，又因
平面
，所
,
,
MP
ME
M MP ME
PME
CD
PME
PE
PME
以
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
，又
CD
PE
,
AB
CD AB
∥
PAB
CD
PAB
CD A
PAB
因平面
与平面
的交线为，
平面
，所以
，因为
，所以
PAB
PCD
l
CD
PCD
CD
l
∥
CD
PE
.
PE
l
例6．如图，在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的正三角形，
，
P
ABC
PAC
4
BC
，
分别为
的中点，平面
与底面
的交线为.证明：
平面
2 5
AB
,
E F
,
PC PB
AEF
ABC
l
/ /
l
.
PBC
解析：因为
分别为
的中点，所以，
.又
平面
，
平面
,
E F
,
PC PB
/ /
EF
BC
BC
ABC
EF
，
ABC
所以，
平面
.又
平面
，平面
与底面
的交线为，所以，
/ /
EF
ABC
EF
AEF
AEF
ABC
l
.
/ /
EF
l
从而，
.而
平面
，
平面
，所以，
平面
.
/ /
l
BC
BC
PBC
l
PBC
/ /
l
PBC
题型6.利用面面平行证线面平行
例7.如图，线段
是圆柱
的母线，
是圆柱下底面
的内接正三角形，
1
AA
1
OO
ABC
A
O
A
，劣弧
上是否存在点D，使得
平面
？
1
3
AA
AB
ABC
1
O D∥
1A AB
解析：如图过点
作
的平行线
交劣弧
于点D，连接
，
，
O
AB
OD
ABC
1
OO
1
O D
因为
∥
，
平面
，
平面
，则
∥平面
，同理可证
∥
1
OO
1
AA
1
AA
1
AA B
1
OO
1
AA B
1
OO
1
AA B
OD
平面
，
，且
平面
，
平面
，所以平面
∥平面
1
AA B
1
OO
OD
O
1
OO
1
OO D
OD
1
OO D
1
AA B
，又因为
平面
，所以
∥平面
，故存在点
满足题意.
1
OO D
1
O D
1
OO D
1
O D
1A AB
D
题型7.面面平行的证明
例8．如图所示的在多面体中，
，平面
平面
，平面
,
AB
AD EB
EC
ABD
BCD
BCE
平面
，点
分别是
中点.证明：平面
平面
.
BCD
,
F G
,
CD BD
AFG / /
BCE
解析：如图，取
中点
，连接
，因为
，所以
，又因为平面
BC
H
EH
EB
EC
EH
BC
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
BCE
BCD
BCE
BCD
BC
EH
BCE
EH
BCD
，
同理可得
平面
，所以
，又因为
平面
平面
，所以
AG
BCD
//
EH
AG
AG
,
BCE EH
BCE
平面
，因为点
分别是
中点，所以
，又因为
平面
AG / /
BCE
,
F G
,
CD BD
/ /
FG
BC
FG
平面
，所以
平面
，又因为
平面
，
,
BCE BC
BCE
FG / /
BCE
,
,
AG
FG
G AG FG
AFG
所以平面
平面
.
AFG / /
BCE
题型8.空间向量证明平行
例9.（2022 乙卷）在正方体
中，
分别为
的中点，则
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
F
E,
BC
AB,
A．平面
平面
B．平面
平面
1
B EF
1
BDD
1
B EF
1A BD
C．平面
平面
D．平面
平面
1
//
B EF
1A AC
1
//
B EF
1
1
AC D
解析：在正方体
中，
且
平面
，又
平面
1
1
1
1
ABCD
A B C D
AC
BD
1
DD
ABCD
EF
，所以
，因为
分别为
的中点，所以
，所以
ABCD
1
EF
DD
,
E F
,
AB BC
EF
AC
A
，
EF
BD
又
，所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
1
BD
DD
D
EF
1
BDD
EF
1
B EF
1
B EF
，故A 正确；接下来的选项通过向量法来分析.
1
BDD
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，设
，
D
2
AB
则
，
1
1
2,2,2 ,
2,1,0 ,
1,2,0 ,
2,2,0 ,
2,0,2 ,
2,0,0 ,
0,2,0
B
E
F
B
A
A
C
，则
，
，
1 0,2,2
C
1
1,1,0 ,
0,1,2
EF
EB
1
2,2,0 ,
2,0,2
DB
DA
设平面
的法向量为
1
1
1
0,0,2 ,
2,2,0 ,
2,2,0 ,
AA
AC
AC
1
B EF
， 则有
，可取
，
1
1
1
,
,
m
x y z
1
1
1
1
1
0
2
0
m EF
x
y
m EB
y
z
2,2, 1
m
同理可得平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
1A BD
1
1, 1, 1
n
1A AC
2
1,1,0
n
平面
的法向量为
，则
，所以平面
与平面
1
1
AC D
3
1,1, 1
n
1
2
2 1
1
0
m n
1
B EF
不垂直，故B 错误；因为
与
不平行，所以平面
与平面
不平行，故
1A BD
m
2n
uur
1
B EF
1A AC
C 错误；因为
与
不平行，所以平面
与平面
不平行，故D 错误，故选：A.
m
3n
1
B EF
1
1
AC D
