2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第16篇｜第四章 一次函数·3 一次函数的图象——深度理解16法之「对话结构」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第四章 一次函数·3 一次函数的图象

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

翻到教材第八十九页，页面右上角是一幅摩天轮的图。图的名字叫图 4-1，画的是一条弯弯的线：横轴是旋转时间 t（单位：min），纵轴是轮上某一点离地面的高度 h（单位：m）。这条线不是画着玩的。孩子只要盯着它看三秒，就能说出「第 3 分钟他升到最高」「第 6 分钟他回到地面」。教材用这幅图告诉我们一个很要紧的事：函数的图象，是把两个量的关系搬到纸上，让人用眼睛看。数字变成位置，计算变成看图。

这一节要教的，就是怎么自己动手把这种图造出来。教材先从最简单的正比例函数 y＝2x 开始：列表、描点、连线，三步画出图 4-5，得到一条过原点的直线。接着换 y＝−3x，发现还是一条过原点的直线。再往后，表达式中多了一个 b，变成 y＝kx＋b，图象变成一条与 y＝kx 平行的直线，与 y 轴交在 (0，b)。整节的核心结论只有两三句，可孩子真正卡住的地方，从来不在那几句结论上。

卡在哪？我陪孩子做这一节的题，反复见到三处。第一处是列表：教材问「x 可以取 0 吗？可以取正数吗？可以取负数吗？」，孩子随手写 1、2、3，画出来的点全挤在第一象限，看着不像直线，心里就发慌。第二处是连线：孩子把五个点用尺子一段一段接起来，接成一条折线，交上来的图象带四个拐角。第三处是性质：孩子能把「k＞0，y 随 x 增大而增大」背得滚瓜烂熟，可一问他 y＝3x＋1 和 y＝3x−2 谁陡、为什么平行，他就答不上来——因为他背的是字，不是图。

这三处毛病，说到底是一个毛病：孩子把画图当成抄表交作业，没有把图象当成一个会回答问题的对象。他在纸上写数字，在纸上点点，在纸上连线，全程只是执行指令，没有一次向图象提问，也没有一次等图象回答。x 取哪些值，是教材替他定的；点连起来是不是直线，是教材告诉他的；k 变大图会怎么变，是教材总结好塞给他的。他手里一直握着答案，从来没有过一场真正的问答。

这一篇用的第十六法，叫「对话结构」。它把「理解」看成一场对话：我提出问题，对方给出回答，回答又逼我修改问题，如此往复，直到事情本身在我面前站住。用在这一节，就是让孩子把纸上的图象当成一个会说话的对象——列表是在提问「你经过哪些位置」，描点是在听它回答「我在这里」，连线是把孩子心里的猜测交出去，让图象点头或者摇头。孩子什么时候学会跟图对话，什么时候这一节就通了。

📊 二、思维导图

本节知识结构：从三步画图到 k、b 两个字母的几何意义

这张导图按教材的推进顺序铺开，一共五支。第一支是「图象是什么」，落在一句话上：把每对 (x，y) 当坐标描出来，所有点组成的图形就是图象。第二支是「正比例函数的图」，主线是三步画图、过原点、一点定线。第三支是「一次函数的图」，主线是平行、过 (0，b)、两点定线。第四支是「k 与 b 各管什么」，k 管倾斜方向与陡缓，b 管与 y 轴的交点位置。第五支是「题型的出口」，画图、读图写表达式、判断增减与平行、平移求表达式。孩子复习时按这五支走一遍，等于把六页教材重新走了一遍。

🔑 三、深度理解16法之「对话结构」

「对话结构」出自伽达默尔的《真理与方法》。他讲理解的时候，用的不是「主体加工客体」这套说法，而是「对话」。两个人谈话，不是一个人把另一个人当成材料来整理；谈话有它自己的走向，谁都没法完全预料，谈完之后双方都跟谈之前不一样。伽达默尔把这种经验搬到理解文本上：读一段文字，等于跟这段文字谈话。文字不是死材料，它是一个能回话的伙伴，它有自己要说的事，它会纠正你的预设。

对话能成立，靠的是「问」。伽达默尔说，提问就是把被问的东西悬起来，让它不至于一开口就被你的成见压死。真问题有一个特点：它有方向，但没有现成答案。你问「这条线经过哪些点」，方向是清楚的，可答案要等描完点才知道。反过来，凡是问之前答案已经在手里的话，都不是真问题，只是走个过场。他还有一个更狠的说法：提问比回答难。答错容易，问对难，因为问对意味着你已经摸到了这件事的边界。

拿这一法照孩子学这一节的毛病，照得很准。孩子画图，从头到尾没有一句真问题。x 取哪些值？教材第四小问明明在问，他跳过去，直接抄表。这些点在一条直线上吗？教材问了一遍，他答「是」，因为心里早知道答案。其他满足 y＝2x 的点也在直线上吗？这一句最要紧，他连读都没读完。整场学习没有一次真正的悬置，没有一次「我不知道，让我看看」。他一直在做一件事：把已经印在书上的结论，用自己的手再抄一遍。抄得再整齐，图象对他来说仍然是个哑巴。

这一节怎么把对话打开？教材的操作·思考本身就给了三步对话的骨架，孩子要做的只是照它的口气真问一遍。列表是提问：问「这条线走到哪些位置」。x 取 0 行不行，取正数行不行，取负数行不行——这三个问句是同一个问题的三次收窄，问的是「哪些位置值得我去看」。选 −2、−1、0、1、2，等于把原点的左右两边都摸了一遍，这是提问的技巧：问得对称，回答才不会偏。描点是等回答：把五组数写成五个点，落在格子上，这是让对方发言。孩子这时候最该做的是闭嘴，别急着连，先看这五个点排成什么阵势。连线是把猜测交出去：孩子心里已经有猜测了——它们好像排成一条直线。连线就是把这个猜测公开，交给纸面检验。连完再回头看第 (4) 小问：别的点也在线上吗？这一问把结论从「这五个点共线」推到「所有点共线」，才真正把直线坐实。

对话还有一层，是让对方反过来改我的问题。教材第九十二页的尝试·思考就是这一层：孩子先猜「b 会让图象上下挪」，画完 y＝2x＋1 再看，发现它跟 y＝2x 平行、只往上抬了 1 个单位。猜对了，问题就升级：那 b 是负数呢？b 就是与 y 轴交点的纵坐标吗？孩子自己问出的新问题，比教材给的下一句更有分量。伽达默尔把这叫「对话的自我推进」——谈话走到哪，不由发起的人说了算。孩子学这一节，学到能自己往下追问 b、追问 k 的绝对值，这一法就算用上了。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 函数的图象　教材第八十九页的定义要一字一句读：「把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象（graph）。」这句话里有三个要点。一是成对：x 与 y 必须配成一对，写成 (x，y)，不能只拿一个。二是全部：不是描几个点就算，是「所有这些点」，一个不漏。三是图形：点凑成的整体才叫图象，单看一个点没有意义。孩子读这句最容易漏掉「所有」两个字，于是以为描五个点就完事。教材紧接着补一句「借助图象可以直观地认识函数」，这是图象的价值所在——式子看不见形状，图能看见。

知识点二 · 画图象的三个步骤　教材第九十页的云朵把它压成六个字：列表、描点、连线。列表是把 x 的取值排成一行，算出对应的 y 排成另一行，教材的表是 x 取 −2、−1、0、1、2，y 得 −4、−2、0、2、4。描点是把每一列数读成一个点的坐标，在坐标系里点出来。连线是「把这些点依次连接起来」，注意「依次」两个字，按 x 从小到大的顺序连，不能跳着连。三步的顺序不能换：没有表就没有点，没有点就没有线。孩子常犯的错是跳过表直接凭感觉画，画出来的线位置全靠猜。

知识点三 · 正比例函数 y＝kx 的图象　教材第九十页的结论是「一条经过原点（0，0）的直线」。为什么必过原点？因为 x＝0 时 y＝k×0＝0，这一对 (0，0) 天然满足表达式，原点非在图上不可。这条结论带来一个实用的省力办法：画正比例函数的图象，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。y＝−3x 只需算 x＝1 时 y＝−3，得点 (1，−3)，与原点一连就成。孩子若老老实实列五个点再连，也不算错，只是慢，而且容易在连线上出岔。

知识点四 · 一次函数 y＝kx＋b 的图象　教材第九十二页：一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，它与正比例函数 y＝kx 的图象相互平行。平行的道理在 k 上：两个式子的 x 每增加 1，y 增加的量都是 k，爬坡的陡度一样，只是起点高低不同，所以两条线永远不交叉。由此得到画法：确定两个点，再过这两个点画直线。为什么两点够？因为两点定一条直线，这是几何里最基本的事实。选哪两点最省事？一个选 x＝0，得 (0，b)，落在 y 轴上，好画；另一个选让 y＝0 的 x，得与 x 轴的交点，或者干脆选 x＝1，算一个整数点。

知识点五 · k 与 b 各管什么　k 管两件事：正负管方向，绝对值管陡缓。k＞0，直线从左下往右上走，y 随 x 增大而增大；k＜0，直线从左上往右下走，y 随 x 增大而减小；|k| 越大，直线越陡，y 变得越快。b 管一件事：直线与 y 轴交在哪里，交点坐标就是 (0，b)。b＞0 交在 x 轴上方，b＜0 交在下方，b＝0 就退化成过原点的正比例函数。第九十二页的尝试·思考把这五条串成一道题：y＝3x＋1、y＝−x＋1、y＝3x−2、y＝4x−3，四个式子里 k 有正有负有大有小，b 有正有负还有相同，正好把 k 与 b 的分工考了个遍。

本节公式与常用算式　图象定义：(x，y) 满足 y＝f(x) 的全部点。画图三步：列表 → 描点 → 连线。正比例函数：y＝kx 过 (0，0)，再取一点 (1，k) 即可定线。一次函数：y＝kx＋b 过 (0，b)，与 y＝kx 平行。增减性：k＞0 时 y 随 x 增大而增大，k＜0 时 y 随 x 增大而减小。平行条件：k 相同。平移关系：y＝kx＋b 是 y＝kx 向上平移 b 个单位（b＞0）或向下平移 |b| 个单位（b＜0）。求表达式：设 y＝kx＋b，代入两个已知点，解出 k 与 b。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本节教材原文为北师大版义务教育教科书《数学》八年级上册第四章「一次函数」第 3 节「一次函数的图象」，印刷第 89 页至第 94 页，含页内四个栏目（操作·思考、思考·交流、尝试·思考、随堂练习）与课后「习题 4.3」（知识技能、数学理解及第 94 页连排的第 7 至 10 题）。教科书文字与插图版权归北京师范大学出版社所有，本文不复制原文页面，只做教学拆解。原文各栏目、各题号与题干要点的完整梳理，详见第八节「教材内容逐点拆解」。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 列表时 x 该取哪些值

难在这不是一个有唯一答案的问题。教材第九十页的表格取了 −2、−1、0、1、2，第九十一页画 y＝−3x 时只取两点也行，第九十二页画 y＝2x＋1 时又要选能算出整数坐标的点。孩子想要一句「就取这几个」的硬规定，教材偏偏不给，给的是三个问句：x 可以取 0 吗？可以取正数吗？可以取负数吗？孩子被这三问一绕，随手写 1、2、3，五个点全在第一象限，画出来只剩一小段，看着不像直线，心里就开始怀疑「y＝2x 的图象是不是直线」。破法很简单：让表里的 x 关于 0 对称。取 −2、−1、0、1、2，原点左右各两点，图象两边都露出来，直线的走向一眼看清。若式子带 b，比如 y＝2x＋1，取 −1、0、1 最省事：x＝−1 得 −1，x＝0 得 1，x＝1 得 3，全是整数，描点不费劲。一句话记住：取值要对称，要能算出整数，要跨过原点两边。

难点二 · 「依次连接」被连成折线

教材第九十页的原话是「把这些点依次连接起来」，孩子做出来常常是拿尺子一段一段接：从 (−2，−4) 连到 (−1，−2)，再从 (−1，−2) 连到 (0，0)，五段短线接成一条折线，每个点都是一个拐角。为什么明知是直线还会连成折线？因为他的手在跟着点走，眼睛没有退后看整体。这跟画函数图象的道理正相反：连线靠的是先看趋势，再落笔。正确的动作是描完点先不连，退半步看这五个点排成什么队形，确认在同一条斜线上，再把尺子压在第一个点和第五个点上，一笔画到底，中间的点只用来核对——点在尺边，说明画对了；点偏出尺边，说明算错了。教材第 (3) 小问「这些点真的在一条直线上吗」问的就是这一步。折线交上去，第 (3) 问其实没答。

难点三 · 为什么正比例函数必过原点

孩子会背「y＝kx 的图象是一条经过原点的直线」，可一问他为什么，答案往往是「书上说的」。这条结论的理由只有一行算式：x＝0 时，y＝k×0＝0。也就是说 (0，0) 这一对数满足表达式，它当然是图象上的点。看起来太简单，孩子反而不敢当理由，非要找个更复杂的说法。这里要跟孩子讲清一件事：图象上的点，就是满足表达式的数对。哪个数对满足，哪个点就在图上；哪个点在图上，它的坐标就满足表达式。这句话是整节的根。有了它，第九十二页「一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (0，b)」也不用背：x＝0 时 y＝k×0＋b＝b。孩子若把这条根抓住，后面求表达式、判交点、查表格，全都有了靠山。

难点四 · b 到底做了什么

教材第九十一页末的过渡段问得很直接：与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个 b，b 对函数图象会有什么影响？孩子最容易答成「b 让图象变大」或「b 让直线变陡」。这两种答法都错在把 b 当成了 k。要让孩子自己看出来，办法是同一张纸上画两条：y＝2x 与 y＝2x＋1。x 取 −1、0、1，两条线各自的 y 相差恒为 1，也就是 同一竖线上，第二条总比第一条高 1 格。整条线一起往上抬 1 格，陡度没变，所以两线平行。再多画一条 y＝2x−1，它整条往下挪 1 格。三线并排，孩子自己就能说出：k 一样就平行，b 管上下。这一步别看简单，第九十三页第 5 题「将直线 OA 向上平移 1 个单位长度」，第九十二页随堂练习第 1 题三条平行线，全靠这个眼光。

难点五 · 「增大得更快」怎么比

教材第九十一页的思考·交流问：y＝x 和 y＝3x，随着 x 增大，y 都增大，哪一个增大得更快？孩子凭感觉答「3x」，问他道理，说不出来。还有一层更绕的：y＝−1/2x 和 y＝−4x，两个都减小，哪一个减小得更快？孩子容易答「−4x」，也可能答「−1/2x」，因为 −4 比 −1/2「大得多」，方向一乱就乱。破法是给一个固定的步伐：让 x 每次增加 1，看 y 变多少。y＝x：x 从 0 到 1，y 从 0 到 1，变了 1。y＝3x：变了 3。3 比 1 大，所以 y＝3x 增得快。y＝−1/2x：x 加 1，y 变 −1/2，往下走半格。y＝−4x：往下走 4 格。往下走 4 格当然比走半格快，所以 y＝−4x 减得快。孩子一旦把「快慢」翻译成「每一步变多少」，比较就成了比 |k|，不用背，也不会被负号骗。

难点六 · 只看图，怎么把表达式写出来

教材第九十三页第 3 题给一张图，直线 l 过原点，线上标着 (1，3)，要求写出表达式；第 5 题给直线 OA 过 O 与 A(2，4)，再向上平移 1 个单位。孩子面对图常常无从下手，因为他脑子里没有「图的三个特征对应式子的三个信息」这张表。过原点 ⇒ b＝0；线与 y 轴交点 ⇒ 交点的纵坐标就是 b；任一格点 ⇒ 坐标代入可求 k。第 3 题：过原点，设 y＝kx，把 (1，3) 代进去，3＝k×1，k＝3，得 y＝3x。第 5 题：OA 过 O 与 (2，4)，得 y＝2x；向上平移 1 个单位，b 从 0 变成 1，得 y＝2x＋1。两个题一个路子：读特征、设式子、代点求 k、看平移定 b。孩子若肯把这条路线走三遍，往后再见到图就不会空手站着。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判增减：只看 k 的正负

例题：下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是哪几个？（1）y＝8x；（2）y＝−0.6x；（3）y＝√5x；（4）y＝(√2−√3)x。答：(2) 与 (4)。易错：只挑 (2)，漏掉 (4)。错因：孩子看 (4) 只看见 √2 和 √3 两个根号，没算它们的差是正是负。√2 约 1.414，√3 约 1.732，差是负数，括号里的数小于 0，等价于 k＜0。纠法：遇到带根号的 k，先估大小再定符号，两个根号比大小看被开方数就行，2＜3，所以 √2＜√3，差为负。

题型二 · 判平行与交点：k 与 b 分开看

例题：三条直线 (1) y＝6x−2；(2) y＝−6x−2；(3) y＝−6x＋2，与 y 轴交点坐标相同的两条是哪两条，y 随 x 增大而减小的是哪条。答：(1) 与 (2)，交于 (0，−2)；(2) 与 (3) 都减小。易错：把 (1) 和 (3) 配成一对，因为都是「6x」开头。错因：孩子把「k 的绝对值相同」当成了「k 相同」，6 与 −6 是相反数，方向正相反，交点是看 b 的。纠法：判断交点只盯 b，判断平行只盯 k，判断增减只盯 k 的符号，三件事分开算，别混在一眼里。

题型三 · 平移求表达式：平移只改 b

例题：将直线 OA 向上平移 1 个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式（O 为原点，A(2，4)）。答：OA 为 y＝2x，上移 1 个单位得 y＝2x＋1。易错：写成 y＝3x 或 y＝2x。错因：把「平移」当成「把 k 加 1」，或者把平移整个忘掉。纠法：平移是整条线一起挪，陡度不变，所以 k 一个字母都不动，只动 b。向上挪 b 加，向下挪 b 减，挪几个单位就加减几。y＝2x 的 b 本来是 0，上移 1 个单位后 b＝1。

题型四 · 看图写表达式：三个特征定三个数

例题：直线 l 过原点 O，线上标出点 (1，3)，写出 l 对应的函数表达式。答：过原点设 y＝kx，代入 (1，3) 得 k＝3，所以 y＝3x。易错：写成 y＝3x＋1，把图上那个「3」当成了 b。错因：孩子看见数字就往 b 上安，不分横纵。纠法：坐标是成对的，写在括号里第一个是 x，第二个是 y，(1，3) 说的是 x＝1 时 y＝3，跟 b（x＝0 时的 y）不是一回事。若要求 b，得看点落在 y 轴上时的高度。

题型五 · 谁先超过某个值：初值与速度一起看

例题：x 从 0 开始逐渐增大，y＝2x＋6 与 y＝5x−2 哪一个的值先超过 10？哪一个先超过 20？答：先超过 10 的是 y＝2x＋6（x＝2 时正好 10）；先超过 20 的是 y＝5x−2（x＝4.4 时到 20，而 y＝2x＋6 要到 x＝7）。易错：直接答「y＝5x−2 快，所以两个都它先」。错因：孩子只比了 k，忘了起步时一个已经站在 6 的高度，另一个还在 −2。纠法：这类题算两个时刻就行，谁先到谁后到要解不等式，别靠感觉。这题的道理正在这里：起点低的可以靠速度追上，起点高的能领先一阵，两条线迟早相交。

题型六 · 求 m 的取值范围：把条件翻译成不等式

例题：写出 m 的两个值，使一次函数 y＝(2m−1)x＋2 的值随 x 增大而减小。答：需要 2m−1＜0，即 m＜1/2，取 m＝0 与 m＝−1 都行。易错：只写 m＜0，或者把 2m−1 直接当成 m。错因：孩子没意识到「k」在式子里是一整块 2m−1，不是 m。纠法：先把式子对照 y＝kx＋b，圈出 k＝2m−1、b＝2，再把「减小」写成 k＜0，剩下的就是解一元一次不等式。题目只要两个值，取整数最稳。

题型七 · 表格里挑出错数：先定 k 再查 b

例题：某一次函数的表为 x＝−1、0、1、2 时 y＝3、2、−2、−6，其中一个 y 算错了，找出来并写出表达式。答：算错的是 x＝−1 时的 3，应为 6，表达式为 y＝−4x＋2。易错：四组数里挑不出错的，或者认定 x＝0 那组的 2 是错的。错因：孩子没有先确定 k，只能一组一组瞎试。纠法：一次函数的 y 变化是均匀的，先看相邻两列的差。x 从 1 到 2，y 从 −2 到 −6，差 −4，试试 k＝−4；用 x＝1、y＝−2 反推 b＝2；再核 x＝0 得 2，对；核 x＝−1 应得 6，与表上的 3 不符，错处就现出来了。

📄 八、教材内容逐点拆解

栏目引子 · 什么叫函数的图象（印刷第 89 页）

本节开头没有直接讲画法，先给定义。教材原话：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象（graph）。紧接着用本章图 4-1 做例：摩天轮上某一点离地面的高度 h（单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间函数关系的图象。这段引子有两个用意。一是把「数对」和「点」焊在一起，从此看见 (2，4) 就该看见坐标系里那个位置。二是让孩子相信图象有用：摩天轮那一圈转下来，高度怎么变，看线的高低就明白了，不用背一串数。

引子末尾一句是过渡：「在前一节学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！」这句话里「好像」两个字是钥匙。前一节只是感觉，这一节要把它变成确定的事实。家长可以在这里停一下，问孩子：你觉得是直线吗？凭什么？孩子答不出来是正常的，这一节就是来回答这个「凭什么」的。

操作·思考 第（1）问 · 列表时 x 取哪些值（印刷第 89 页）

题目原文要点　为了画出函数的图象，需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。列表时选取自变量 x 的哪些值？观察这个函数表达式，x 可以取 0 吗？可以取正数吗？可以取负数吗？考查什么　自变量取值范围的判断，以及列表取值的技巧。思路　y＝2x 是一次整式，x 取任何实数都有唯一的 y 对应，0、正数、负数都能取。既然都能取，选值就要讲策略：跨度够大、左右对称、算出来是整数。分步过程　第一步，确认 x 无限制，可取全体实数；第二步，为了让图象两边都露出来，取对称的五个值 −2、−1、0、1、2；第三步，逐个算 y：2×(−2)＝−4，2×(−1)＝−2，2×0＝0，2×1＝2，2×2＝4；第四步，把两行数写成表。易错　只取 1、2、3，五个点挤在第一象限，图象只见一小段。验算　任取一列代回原式，比如 x＝2 时 y 应为 4，表里正是 4，说明列没有算错。

带这一题：这一问最容易被跳过，因为它看起来只是「取几个数」的小事。可它是整场对话的第一句话。孩子问得对称，图就回答得完整；孩子问得偏，图就只肯露一角，孩子还以为线是弯的。家长陪做时不妨让他先取 1、2、3 画一遍，看看那三个点能不能看出什么名堂，再让他改成 −2 到 2 画一遍。两幅图放在一起，孩子自己就明白取值为什么要对称——这不是老师定的规矩，是画图本身的要求。教材里那张表把 x 写成一行、y 写成一行，位置一一对应，读表时上下看，别左右看。

操作·思考 第（2）问 · 描点（印刷第 89 页）

题目原文要点　以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。考查什么　把数对转换成点的位置，即横坐标找左右、纵坐标找上下。思路　一组数就是一个点的两张门票：x 决定往左还是往右，y 决定往上还是往下，两条虚线交叉的地方就是点。分步过程　(−2，−4)：左 2 格、下 4 格；(−1，−2)：左 1 格、下 2 格；(0，0)：就在原点；(−1，−2) 与 (1，2) 关于原点对称；(1，2)：右 1 格、上 2 格；(2，4)：右 2 格、上 4 格。五点落定，纸面上出现一条斜着升起的队伍。易错　把顺序颠倒，(1，2) 描成 (2，1)，点就跑到别处，连出来的线歪。验算　描完点回头读一遍坐标，从左到右 x 依次是 −2、−1、0、1、2，y 依次是 −4、−2、0、2、4，顺序对得上，说明没颠倒。

带这一题：描点这一步看着机械，其实最见功夫。孩子手上一乱，后面全错，而且错得很难查——线歪了，他会以为是「这条线本来就不直」，怀疑起结论来。陪做时提醒一句：先在横轴上找到 x，手指按住，再数 y。另一件小事是点要点的准，别画成一团墨，五个点要能看出是五个。数字小的时候，比如 y＝1/3x，点会落在格子中间，这时更要小心，宁可多估半格，也别把 (3，1) 画成 (3，2)。

操作·思考 第（3）问 · 这些点真的在一条直线上吗（印刷第 89 页）

题目原文要点　这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？考查什么　从「几个点」上升到「一条线」，并练习用直尺把线画准。思路　先看：把尺子压在首尾两点上，中间三点是否都贴着尺边。再画：贴着尺边一笔画过去，两头适当延长。分步过程　第一步，尺子过 (−2，−4) 与 (2，4)，检查 (−1，−2)、(0，0)、(1，2) 是否都在尺边上，五点共线；第二步，沿尺边画线，左端过 (−2，−4) 再伸出去一点，右端过 (2，4) 再伸出去一点；第三步，在直线旁写上 y＝2x，标上图号 4-5。易错　一段一段连成折线，或者只画两点之间的一小段，不延长。验算　在画好的线上任取一格点，比如 (3，6) 的位置，看线是否经过；再把 (3，6) 代入 y＝2x，6＝2×3 成立，线与式对得上。

带这一题：这一问是整节的分水岭。前面两问是收集证据，这一问是下判断。孩子若直接答「是直线」，等于没答；要能说出「五个点在同一条尺边上」，才叫有据。图 4-5 就画在这一页，横轴刻度 −3 到 3，纵轴刻度 −4 到 4，那条线正正经经过原点，往右上走，穿到第二、第四象限的对角位置。让孩子把自己的图跟书上那张比一比：谁的角度更陡？自己的线有没有过原点？差在哪？比图比得多，眼力就上来了。右侧云朵提示「也可以用数学软件进行探索，多取一些点试一试」，说的正是多问几次、看得更清。

操作·思考 第（4）问 · 别的点也在线上吗（印刷第 89 页）

题目原文要点　其他满足 y＝2x 的点（x，y）也在上面画出的直线上吗？考查什么　由部分推向全体，这是从「描出来的图」到「函数的图象」的关键一跃。思路　取表里没有的 x，算出 y，看点落不落在已画的线上。多取几个，取到心里踏实为止。分步过程　取 x＝3，y＝6，点 (3，6) 在线右端延长线上；取 x＝−3，y＝−6，点 (−3，−6) 在线左端延长线上；取 x＝0.5，y＝1，点 (0.5，1) 落在两点正中间；取 x＝−1.5，y＝−3，也落在线上。四个都没跑偏，可以下结论：所有满足 y＝2x 的点都在这条直线上。易错　只验一个点就说「都在」，样本太少；或者取的 x 都在已画的范围内，等于没验延长部分。验算　反过来说一遍：这条直线上随便一个点，坐标满不满足 y＝2x？取线上一格点读出坐标，代入一试，成立。

带这一题：这一问孩子最容易读漏。它不图什么计算，就图一句话——「其他」两个字把范围撑开了。前面描的五个点是抽样，这一问在说：抽的样能代表全部。数学上这叫由特殊到一般的合理推广，靠的是「x 每增加 1，y 就增加 2」这个稳定的步子，步子不变，点自然排成一条线。家长可以让孩子取一个分数 x 试，比如 x＝1/2，算出 y＝1，落点恰在 (1，2) 与 (0，0) 的连线上，孩子会「哦」一声，那声「哦」就是懂了。四小问走完，教材才给出三步名称：列表、描点、连线。

栏目小结 · 画函数图象的一般步骤（印刷第 90 页）

第八十九页末到第九十页初，教材把四小问收成三步，配一个云朵提示：画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线。表已经给全（x：−2、−1、0、1、2；y：−4、−2、0、2、4），描点一句带过，连线一句是「把这些点依次连接起来，得到 y＝2x 的图象（如图 4-5），它是一条直线」。这三步往后要用一整章，七年级学过的所有函数、将来学的反比例、二次，都从这三步起步。孩子若把三步记成口诀而不动手，等于没学；若每一步都知道为什么这么做，这一章就没有难处了。图 4-5 上还能读到更多：横轴刻度从 −3 到 3，纵轴刻度从 −4 到 4，直线穿过原点，向右上延伸，越走越陡，走过 (1，2)、(2，4) 这些格点。图上只有一个字母 y＝2x，没有别的线。

这一页还有一句提醒藏在云朵里：也可以用数学软件进行探索，多取一些点试一试。软件的好处是点可以点一百个，线可以无限延长，孩子能亲眼看见「点多到一定程度，线就出来了」。家里没软件也不打紧，让孩子自己往表里再加 x＝3、−3、0.5 三列，多描三个点，效果一样。这一步做完，孩子对「图象」二字的理解就从「画出来的图」变成了「所有满足关系的点凑成的图形」。

思考·交流 第（1）问 · 画 y＝−3x 的图象（印刷第 90 页）

题目原文要点　画正比例函数 y＝−3x 的图象。考查什么　三步画图的迁移能力，特别是 k 为负数时点落在哪些象限。思路　照三步走：列表取对称的五个值，算 y 时注意负号，描点后连线。分步过程　列表：x 取 −2、−1、0、1、2；y＝−3x 对应得 6、3、0、−3、−6。描点：(−2，6) 在左上，(1，−3) 在右下，五个点排成一条从左上往右下走的队伍。连线：尺子压住首尾，一笔到底，标 y＝−3x。易错　算 y 时漏掉负号，把 x＝−2 的 y 算成 −6；描点时把 (1，−3) 画到右上，线就成了上升的，跟答案正相反。验算　在图上取 x＝−1 的点，坐标应为 (−1，3)，看线是否经过，再代回 −3×(−1)＝3，对上。

带这一题：这一小题的作用是让孩子第一次看见「线可以往下走」。前面画的 y＝2x 一路往右上，孩子心里就以为函数的线都往上，这一笔画下来，方向被推翻了一次，印象才立得住。算 y 时有个小窍门：把 −2、−1、0、1、2 抄在表的上行，y 的符号跟 x 正好相反——x 是负的，y 就是正的，这样不容易错。画完让孩子对比两幅图：都在原点交叉，一个往右上，一个往右下，像一个大写的 X 的两条臂。图上的纵轴只要画到 6 就够，别舍不得格子。

思考·交流 第（2）问 · 正比例函数图象有何共同特点（印刷第 90 页）

题目原文要点　正比例函数 y＝2x 和 y＝−3x 的图象有什么共同特点？一般地，正比例函数 y＝kx 的图象有何特点？与同伴进行交流。考查什么　从两个特例归纳出一类函数的性质，即不完全归纳。思路　先找共同点：都过原点、都是直线。再问这共同点从哪来：x＝0 时 y 恒为 0，所以都过原点；x 每增加 1，y 增加固定的 k，所以都是直线。分步过程　第一步，看图说话：两条线一个是升的、一个是降的，形不同；都经过 (0，0)，而且都是笔直的，这两点是共同的。第二步，找理由：k×0＝0 对任何 k 成立，原点必在；y 随 x 均匀变化，所以是直线。第三步，推广到 y＝kx：不论 k 取什么非零数，图象都是一条经过原点的直线。易错　把「都过原点」说成「都在第一象限」，k 为负时线根本不在第一象限；或者把「直线」当成「向上倾斜的直线」。验算　再取一个 k，比如 k＝5，画 y＝5x，仍然过原点、仍然是直线，归纳没错。

带这一题：这一问之后，教材立刻给出那条省力结论：正比例函数 y＝kx 的图象是一条经过原点（0，0）的直线。所以画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。这句话价值很大，它把三步缩成两步半。孩子若只会老老实实列五个点，考试时要多花三分钟，多花的时间还容易换来描点错误。选那「一个点」也有讲究：选 (1，k) 最省事，x＝1 代进去 y 就是 k，不用算。y＝−3x 就选 (1，−3)，尺子一压，线就出来了。家长可以让孩子练三个：y＝4x 取 (1，4)、y＝−0.6x 取 (1，−0.6)、y＝1/2x 取 (2，1)——第三个取 (2，1) 是为了避开分数，落到格点上更准。

尝试·思考 第（1）问 · 同坐标画四条正比例函数图象（印刷第 90 页）

题目原文要点　在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x，y＝3x，y＝−1/2x 和 y＝−4x 的图象。考查什么　多图同框的能力，为下一步比较陡缓做准备。思路　四条都过原点，各取一个方便的点，四点定四线；两条上升、两条下降，正好占满四个象限。分步过程　y＝x 取 (1，1)；y＝3x 取 (1，3)；y＝−1/2x 取 (2，−1)；y＝−4x 取 (1，−4)。把四个点描在同一坐标系里，各自与原点连线并延长，一图之内得到两升两降四条线。易错　四条线挤在一起分不清哪条是哪条，漏标表达式；或者 y＝−1/2x 取 (1，−1/2) 落在格子中间，画不准。验算　在图上任取 x＝1 的竖线，四条线在竖线上的高度依次是 3、1、−1/2、−4，与四个 k 一一对应，说明没标错。

带这一题：一图四线，孩子的第一个困难是「哪条是哪条」。解决办法很土但有效：每条线的末端写表达式，别只写字母。第二个困难是陡缓看不出来。y＝x 和 y＝3x 都上升，在 x＝1 处一个高 1 格一个高 3 格，差得很清楚；y＝−1/2x 和 y＝−4x 都下降，一个几乎贴着横轴慢慢往下，一个几乎竖直往下，对比鲜明。这张图就是第九十一页思考·交流的实物证据，孩子画过一遍，再讨论「谁快」就不用凭空想了。教材旁边还有一段虚线框，讲可以用数学软件画图并通过改变 k 的值看影响，图 4-6 就是软件截图：一条 y＝1.81x 的线，滑杆上标着 k＝1.81，横轴刻度 −15 到 15，纵轴刻度 −10 到 10，线过原点，从第三象限穿到第一象限。那一格 k＝1.81 恰好告诉孩子：k 不只是整数，可以是任意实数。

尝试·思考 第（2）问 · 四条线的增减与走向（印刷第 90 页）

题目原文要点　上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？考查什么　把「式子里的 k」和「图上点的走向」挂起来，这是本节最核心的对应关系。思路　从左往右看线：往右上走就是增大，往右下走就是减小。分步过程　y＝x：k＝1＞0，x 增大 y 增大，点从左下往右上走。y＝3x：k＝3＞0，同样增大，走得更陡。y＝−1/2x：k＝−1/2＜0，x 增大 y 减小，点从左上往右下走，走得很平。y＝−4x：k＝−4＜0，也减小，走得很陡。四条合起来：两个增大、两个减小，正负号决定方向。易错　把「y 减小」看成「线往下掉得很急」，忽略了方向；或者把 y＝−4x 说成「y 变小得快所以 k 大」。验算　在每条线上取 x＝0 与 x＝1 两点比高低：上升的线右端高，下降的线右端低，四条全对上。

带这一题：这一小问的回答要落成一句规范话：在正比例函数 y＝kx 中，当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。教材把这句话单独放在第九十一页顶端的浅蓝框里，可见分量。孩子容易把话说反，说成「x 随着 y 增大」。纠的时候给一个具体场景：x 是从左往右走的时间，y 是高度，问「时间往后走，高度往哪变」，答起来就不会颠倒。另外要提醒：这句话说的是「随着……增大」，前提是 x 变大，不是在比两个函数谁大。y＝−4x 的值永远比 y＝x 小（x＞0 时），但它仍然是「随 x 增大而减小」，两件事不是一回事。

思考·交流 第（1）问 · y＝x 与 y＝3x 谁增大得快（印刷第 91 页）

题目原文要点　正比例函数 y＝x 和 y＝3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能解释其中的道理吗？考查什么　用「每步变化量」比较增长速度，也就是 k 的绝对值。思路　固定同一个步子：x 都增加 1，看 y 各增加多少。分步过程　y＝x：x 从 0 到 1，y 从 0 到 1，增加 1；x 从 1 到 2，y 从 1 到 2，仍增加 1。y＝3x：x 从 0 到 1，y 从 0 到 3，增加 3；x 从 1 到 2，y 从 3 到 6，仍增加 3。同样的步子，一个涨 1 一个涨 3，y＝3x 增大得更快。易错　只说「3 比 1 大」，说不出「每步多涨 2」这层意思，遇到 k 是分数就卡住。验算　看图：x＝1 处的竖线上，y＝3x 的点高 3 格，y＝x 的点高 1 格，图上的陡缓与算式一致。

带这一题：孩子答「3x 快」往往是对的，答不出理由才是问题。理由要说到「k 就是每走一步涨多少」这一层。这句话一旦说顺，后面所有关于陡缓的问题都能自己回答。可以让孩子造个场景：两个人爬楼梯，一个每上 1 级台阶升 1 厘米，一个每上 1 级升 3 厘米，谁升得快？孩子立刻会说后者。数学里的 k 就是那个「每级升多少」。教材在这里没有直接给「|k| 越大越陡」的结论，是想让孩子自己说出来；家长别急着替他说，多等一会儿，让他自己把「快」翻译成「多」。

思考·交流 第（2）问 · 两个下降的谁减小得快（印刷第 91 页）

题目原文要点　正比例函数 y＝−1/2x 和 y＝−4x 中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流。考查什么　比较两个下降直线的陡缓，考的是对负 k 的处理。思路　仍用同一个步子：x 增加 1，看 y 各掉多少；掉得多的减得快，比的是 |k|。分步过程　y＝−1/2x：x 从 0 到 1，y 从 0 到 −1/2，掉了半格；x 从 1 到 2，仍掉半格。y＝−4x：x 从 0 到 1，y 从 0 到 −4，掉了 4 格。掉 4 格比掉半格快得多，y＝−4x 减小得更快。易错　认为 −1/2 比 −4 大，所以 y＝−1/2x 变化更快；或者把「减小得快」理解成「值更小」。验算　看图：x＝1 处，y＝−4x 的点在下面 4 格，y＝−1/2x 的点只在下面半格，陡缓对比一目了然。

带这一题：这一问是专门用来抓「负号陷阱」的。两个 k 一个 −1/2 一个 −4，按数值大小 −1/2 大，按变化快慢 −4 快，两个「大」方向相反，孩子在这里翻车很常见。破法是把负号拿掉再比：|−1/2|＝1/2，|−4|＝4，4 大所以快。负号只管方向，不管快慢，这句话要孩子自己说出来。教材问「你是如何判断的」，就是在逼他说出方法，不是只要一个答案。答完之后可以顺手加一句：|k| 越大，直线越陡，y 变得越快，无论升还是降。

随堂练习 第 1 题 · 画 y＝1/2x 与 y＝−1/3x（印刷第 91 页）

题目原文要点　在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝1/2x 与 y＝−1/3x 的图象，并指出随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化。考查什么　正比例函数画法（过原点＋一点定线）与增减性判断的合并练习。思路　两条都过原点，各找一个整点；一个上升一个下降，方向由 k 的符号定。分步过程　y＝1/2x，取 x＝2 得 y＝1，点 (2，1)，与原点连线并延长，线往右上走，k＝1/2＞0，y 随 x 增大而增大。y＝−1/3x，取 x＝3 得 y＝−1，点 (3，−1)，与原点连线并延长，线往右下走，k＝−1/3＜0，y 随 x 增大而减小。易错　取 x＝1 得 y＝1/2 与 y＝−1/3，两个点都落在格子中间，线画不准；或者把 y＝−1/3x 的线画成上升。验算　在各自线上再取一点核对：y＝1/2x 过 (4，2)，图上那个位置是否在线上；y＝−1/3x 过 (−3，1)，同样核对。

带这一题：这题的坑全在分数上。孩子习惯取 x＝1，可 k 是分数时 x＝1 给出的 y 不在格点上，画出来歪歪扭扭。教他一个动作：让分母消失。y＝1/2x 取 x＝2，y＝−1/3x 取 x＝3，分母一对一消，点必落格上。这个动作往后要常用，第九十二页随堂练习的三条 1/3x 系列，第九十三页第 1 题的 2/3x，都要靠它。两条线画在同一张图上，一条很平缓地升，一条很平缓地降，都贴着横轴附近，孩子会问「怎么这么平」，正好接上刚讨论的 |k| 越小越缓。

栏目引子 · 多了一个 b 会怎样（印刷第 91 页）

教材在第九十一页中段插了一段话，把正比例函数和一次函数接起来：「正比例函数 y＝kx 的图象是一条过原点的直线，那么一次函数 y＝kx＋b 的图象又是怎样的呢？与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个 b，b 对函数图象会有什么影响？请你先猜想一下，并带着这个猜想继续一次函数图象的学习。」这段话的写法很值得学——它不先给结论，先让孩子猜。猜想是对话里的一次发问，猜错了也不要紧，后面画图会纠正。家长在这里可以停下来问一句：你猜 b 会让线怎么样？孩子十有八九会说「往上或往下挪」，这个猜想已经对了七成，剩下的三成留给画图去确认。

操作·思考 第（1）问 · 用三步画 y＝2x＋1（印刷第 91 页）

题目原文要点　用列表、描点、连线的方法画一次函数 y＝2x＋1 的图象。考查什么　把三步法从正比例函数迁移到一次函数，练习带常数项的计算。思路　照三步走，列表时取能让 y 落在整数上的值，描点后连线。分步过程　列表取 x＝−2、−1、0、1、2，对应 y＝2×(−2)＋1＝−3，2×(−1)＋1＝−1，0＋1＝1，2＋1＝3，4＋1＝5，得五组：(−2，−3)、(−1，−1)、(0，1)、(1，3)、(2，5)。描点在坐标系里落位，五个点排成一条斜线。连线用尺子压住首尾，一笔到底，标 y＝2x＋1。易错　算 y 时忘了加 1，把 x＝0 的 y 写成 0；或者点描在 (1，2) 而不是 (1，3)，线整体下沉一格。验算　看点 (0，1) 是否在线上——若线穿过纵轴上的 1，说明加 1 加对了；再看 x＝2 处线高是否 5 格。

带这一题：这题的意义在于它是全节第一个「一次函数」的实物。孩子画完会有两个发现：线还是直的；线不过原点，它从 (0，1) 起步。第二个发现比第一个重要，因为它是下一问的入口。计算时提醒一句「先乘后加」，2×(−2) 得 −4 再加 1 得 −3，别把顺序弄反写成 2×(−2＋1)。这个顺序错误在八年级特别常见，一错整张表都错。描点时若格子不够，y 到 5 就要往上多留两行，别为了省地方把线画到纸外。

操作·思考 第（2）问 · y＝2x＋1 的图象真是直线吗（印刷第 91 页）

题目原文要点　一次函数 y＝2x＋1 的图象真的是一条直线吗？考查什么　对「五点共线」的进一步检验，学会用更多点、更远的点来验证。思路　多取几个点，尤其取到表外的、x 为负的、x 在两点之间的，看点是否都落在同一条尺边。分步过程　再取 x＝−3 得 y＝−5，点 (−3，−5)；x＝3 得 y＝7，点 (3，7)；x＝0.5 得 y＝2，点 (0.5，2)。三点都落在已画的线上，且 (−3，−5) 与 (3，7) 相距很远，仍共线。这一步说明：不是五个点凑巧，而是所有点都在这条线上。易错　只在原来那五个点的范围内加点，等于没验；或者取的点算错，误判为「不共线」，把结论推翻。验算　反过来读图：在线上任找一格点，比如 (2，5)，代入 y＝2x＋1 得 5，成立。

带这一题：孩子容易把这一问当成刚才第 (3) 问的重复。区别在范围：正比例那一问验的是「五点是否共线」，这一问验的是「多点是否仍共线」，从五点扩到七点，还专挑远的、中间的。跟孩子讲清一件事：数学里说「是直线」，不是画得像直线，而是无论取哪一点都在同一条线上。这一步做完，孩子对「一次函数的图象是直线」才会有信任，而不是记住一句话。云朵里的提醒「也可以用数学软件验证你的观点」，说的就是让机器多点一千个点，人眼看不出弯的，机器一眼就看出。

操作·思考 第（3）问 · y＝2x＋1 与 y＝2x 的关系（印刷第 91 页）

题目原文要点　一次函数 y＝2x＋1 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象有什么关系？考查什么　两图象的位置关系，即平行与平移。思路　同一个 x，两个 y 相差 1；找几个 x 验证，再看图。分步过程　取 x＝−1：y＝2x 得 −2，y＝2x＋1 得 −1，高 1 格。取 x＝0：得 0 与 1，高 1 格。取 x＝2：得 4 与 5，高 1 格。每一处都高 1 格，整条线就是把 y＝2x 往上抬了 1 个单位，两条线永不相交，互相平行。易错　说成「y＝2x＋1 比 y＝2x 陡」，把平移看成倾斜变了；或者只说「高一点」，说不出「每处都高 1 格」。验算　两个式子的 y 之差恒为 (2x＋1)−2x＝1，与 x 无关，说明处处等距，平行成立。

带这一题：这一问是全节的转折。孩子在这里第一次遇到「两条线关系」的问题，答法要练成一句话：k 相同就是平行，b 差多少就上下错多少。可以用一个实物类比：两段同样的斜坡，一段从地面起，一段从一米高的台子上起，坡度一样，永远不碰头。孩子若愿意动笔把两条线画在同一张纸上，一眼就看出平行，比背十遍管用。别忘了让他标出 (0，0) 与 (0，1) 这两个点，它们是两条线在 y 轴上的落点，也是后面 b 的几何意义。

操作·思考 第（4）问 · 一般地，y＝kx＋b 与 y＝kx 的关系（印刷第 91 页）

题目原文要点　一般地，一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝kx 的图象有什么关系？考查什么　由特例推广到一般，把 b 的作用定下来。思路　照第 (3) 问的算法走一遍字母：两个 y 之差恒为 b，b 为正就上抬 b 个单位，b 为负就下压 |b| 个单位。分步过程　(a) 任取 x，y＝kx＋b 与 y＝kx 的差是 b，与 x 无关；(b) b＞0 时，每个点都高 b 格，整条线向上平移 b 个单位；(c) b＜0 时，每个点都低 |b| 格，整条线向下平移 |b| 个单位；(d) b＝0 时两者重合，退化为正比例函数；(e) 无论 b 是正是负，k 没变，陡度没变，两线平行。易错　把「向上平移 b 个单位」说成「向右平移」；b 为负时仍说「向上平移」。验算　取 y＝2x−3 与 y＝2x，x＝0 时一个 −3 一个 0，低 3 格；x＝4 时一个 5 一个 8，仍低 3 格，结论成立。

带这一题：四小问走完，教材第九十二页给出正式结论：一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，它与正比例函数 y＝kx 的图象相互平行。所以，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数 y＝kx＋b 的图象也称为直线 y＝kx＋b。这条结论里「相互平行」四个字要划出来。孩子若只记「是直线」，画 y＝4x＋1 时会老想着列五个点；记住平行，就知道它跟 y＝4x 一个样子，只是往上挪了 1。结尾那句「也称为直线 y＝kx＋b」是术语，考试里说「直线 y＝2x＋1」就是这个意思。

尝试·思考 第（1）问 · 四个一次函数谁增谁减（印刷第 92 页）

题目原文要点　在一次函数 y＝3x＋1，y＝−x＋1，y＝3x−2，y＝4x−3 中，哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而增大？哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而减小？考查什么　k 的符号与增减性的对应，且不被 b 干扰。思路　只看 x 前面的系数，正就增大，负就减小，b 一律不管。分步过程　y＝3x＋1，k＝3＞0，增大；y＝−x＋1，k＝−1＜0，减小；y＝3x−2，k＝3＞0，增大；y＝4x−3，k＝4＞0，增大。三个增大，一个减小。易错　把 y＝3x−2 判成减小，因为「减号」在那里——那个减号属于 b，不属于 k；或者把 y＝−x＋1 判成增大，因为「1 是正的」。验算　各取 x＝0 与 x＝1 比 y：3x＋1 从 1 到 4 升；−x＋1 从 1 到 0 降；3x−2 从 −2 到 1 升；4x−3 从 −3 到 1 升，四个全对上。

带这一题：这题专门考「不被 b 迷惑」。孩子看 y＝3x−2 时眼睛先撞见那个减号，脑子里就弹出「减小」，这是视觉先入。纠正手法很简单：先给式子划一道竖线，把 y＝kx｜＋b 分开，只看竖线左边。练两三遍，眼睛就学会只盯一处。四个函数排在一起还有个好处：y＝3x＋1 与 y＝3x−2 的 k 一样，孩子自己就能发现它们平行，第 (3) 问不用讲。

尝试·思考 第（2）问 · 谁的 y 增大得最快（印刷第 92 页）

题目原文要点　随着 x 值的增大，y 的值增大速度最快的函数是哪个？考查什么　比较三个正 k 的陡缓，即比较 k 的大小。思路　先筛掉减小的那个，再在 3、3、4 里挑最大的。分步过程　能增大的只有 k＞0 的三个：y＝3x＋1（k＝3）、y＝3x−2（k＝3）、y＝4x−3（k＝4）。x 每增加 1，三者分别增加 3、3、4，4 最大，所以 y＝4x−3 增大最快。易错　把 y＝−x＋1 也算进去比大小，或者认为「3x＋1 有个加 1，所以更快」。验算　取 x＝0 到 x＝1：4x−3 从 −3 升到 1，涨 4；3x＋1 从 1 到 4，涨 3；数字对得上。

带这一题：注意 y＝4x−3 的起步点最低（−3），可它涨得最快，这正好解释了随堂练习第 2 题里「先超过 10 的」和「先超过 20 的」为什么不是同一个函数。孩子在这里如果只记「k 大就快」，会漏掉一句话：快慢看 k，起点看 b，两件事都要看。家长可以顺手画一张小表：x＝0、1、2 时四个函数各是多少，摆在一起，谁追谁、谁反超，全在纸上。

尝试·思考 第（3）问 · 哪两条图象平行（印刷第 92 页）

题目原文要点　哪两个函数的图象相互平行？考查什么　平行条件：k 相同。思路　把四个式子的 k 列出来：3、−1、3、4，找相同的两个。分步过程　y＝3x＋1 与 y＝3x−2 的 k 都是 3，两线平行。它们的 b 一个是 1 一个是 −2，所以一条在 y 轴上交 1，一条交 −2，上下相差 3 格，永不相交。易错　把 y＝3x＋1 与 y＝4x−3 配成一对，因为「看着都挺陡」；或者把 y＝−x＋1 与 y＝3x＋1 配成一对，因为 b 都是 1。验算　两式相减：(3x＋1)−(3x−2)＝3，恒为 3，处处等距，平行无误。

带这一题：判平行只认一个字母——k。孩子若把「b 相同」当成平行的理由，就说明他把两件事搅在一起了；b 相同只说明两条线在 y 轴上碰头，那种关系叫「交于同一点」，是第 (4) 问的事。这两问挨着出，教材的意思就是让它们在孩子脑子里打一架，打完了分得清，才算学会。第九十二页右侧的云朵补了一句「k 值相同的两个一次函数图象平行」，话很短，是这一问的正式答案。

尝试·思考 第（4）问 · 哪两条与 y 轴交于同一点（印刷第 92 页）

题目原文要点　图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些？考查什么　b 的几何意义：与 y 轴交点坐标为 (0，b)。思路　把每个式子的 b 读出来，b 相同就交于同一点。分步过程　y＝3x＋1，b＝1，交 (0，1)；y＝−x＋1，b＝1，交 (0，1)；y＝3x−2，b＝−2，交 (0，−2)；y＝4x−3，b＝−3，交 (0，−3)。b 相同的是前两个，交于 (0，1)。易错　认为要算出来才知道交点，其实 x＝0 一代，y 就是 b，一步到位；或者把 y＝3x＋1 与 y＝3x−2 当成交点相同，因为它们平行。验算　把 x＝0 代入 y＝−x＋1 得 1，代入 y＝3x＋1 得 1，两点重合，说法成立。

带这一题：这一问是 b 的「定身法」。孩子若是靠画图去数，四个函数要画四遍，费时还容易错；知道 (0，b) 这条规律，四秒就能答。可以让孩子把四个交点先在图上标一遍，再回头对照式子，规律就从手上生出来了。第四问与第三问合起来，正好是本节结论的两半：k 管平行，b 管交点。孩子把这两句对齐背，比背一段长话有用。

尝试·思考 第（5）问 · 画出四个图象验证结论（印刷第 92 页）

题目原文要点　画出这四个函数的图象，验证你的结论。考查什么　两点定线法的实际运用，以及用图检验判断的习惯。思路　每个式子取两点：x＝0 得 (0，b)，再取 x＝1 或让 y＝0 的点。分步过程　y＝3x＋1 过 (0，1)、(1，4)；y＝−x＋1 过 (0，1)、(1，0)；y＝3x−2 过 (0，−2)、(1，1)；y＝4x−3 过 (0，−3)、(1，1)。四条线画进同一坐标系：前两条在 (0，1) 交会，第一条与第三条平行，第四条最陡。易错　四点混在一起画错位置，把 (1，4) 画成 (4，1)；或者只画一条线就下结论。验算　对图逐条核：平行的那两条线间距是否处处相等；交于 (0，1) 的两条是否真在这个点交叉；最陡的那条上 x＝1 时是否最高。

带这一题：这一问是把前三问的口头答案交到图上验。孩子若画出来跟前面答的不一样，问题一定在三点上：点取错了、点描错了、线连错了。让他自己去找，比大人指出来有用。图上还能多看一件事：y＝3x＋1 与 y＝−x＋1 在 (0，1) 交叉成一个尖角，一个往上急升，一个往下斜落，形状差得很远，可交点相同。这正说明 k 与 b 各管一件事，谁也替不了谁。

思考·交流 · 把一次函数图象的结论梳理出来（印刷第 92 页）

题目原文要点　对于一次函数 y＝kx＋b 的图象，你有哪些结论？梳理一下，并与同伴进行交流。框内已给出两段填空式结论，另有一个云朵提示。考查什么　把散落的发现整理成条理化的结论。思路　按「经过哪个点」「与谁平行」「k 定增减」三条列。分步过程　第一条：一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (0，b)，与函数 y＝kx 的图象平行。第二条：在 y＝kx＋b 中，k＞0 时 y 随 x 增大而增大，k＜0 时 y 随 x 增大而减小。第三条（云朵）：k 值相同的两个一次函数图象平行。三条合起来，加上「图象是直线」「两点可定线」，本节结论就齐了。易错　把 (0，b) 写成 (b，0)，横纵颠倒；或者把「k＞0 增大」说成「b＞0 增大」。验算　拿 y＝2x＋1 逐条对：x＝0 时 y＝1，过 (0，1)；与 y＝2x 平行；k＝2＞0，增大，三条全中。

带这一题：这个栏目表面是复习，实际是让孩子自己造一份「结论清单」。往后再做题，脑子里有这三条，判断就能立刻落笔。家长可以让孩子把这三条写在一张卡片上，贴在书桌前，每做一道本节的题就对着勾一遍。卡片上的字要少：(0，b)、平行、k 正负定增减。三条之外还有一条隐含的：|k| 越大越陡。这条教材没放进框里，第九十一页的思考·交流已经讨论过，孩子该会自己补上。

随堂练习 第 1 题 · 三条平行的一次函数（印刷第 92 页）

题目原文要点　在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象：（1）y＝1/3x−1；（2）y＝1/3x＋1；（3）y＝1/3x。考查什么　同 k 三线的平行关系与 b 对位置的影响，一题看全。思路　三条的 k 都是 1/3，必平行；b 分别是 −1、1、0，各过 (0，−1)、(0，1)、(0，0)。两点定线，每线取 x＝0 与 x＝3。分步过程　（1）过 (0，−1) 与 (3，0)；（2）过 (0，1) 与 (3，2)；（3）过 (0，0) 与 (3，1)。三条线画在同一坐标系里，两两间距相等，像三条平行的铁轨。易错　取 x＝1 得 y＝−2/3、4/3、1/3，全落在格子中间；或者把三条画成交叉的。验算　在三线上各取 x＝3，读数应为 0、2、1，与式子算出的结果一致；再看三线在 y 轴上的落点，依次下、上、原点。

带这一题：这一题是最好的「一条龙」练习：画法（两点定线）、平行（k 相同）、b 的意义（交点位置）三样全在里面。孩子若把三条线画成三条不同斜率的线，说明他只顾着算 y，没顾着看 k。取点仍然用「让分母消失」：k＝1/3，取 x＝3 最省事。三线画好后可以问一句：把 (3) 这条线往上挪 1 个单位，得到谁？孩子会说 (2)，那他就把平移也弄明白了。第九十三页第 5 题正是这个思路反过来考。

随堂练习 第 2 题 · 谁先超过 10，谁先超过 20（印刷第 92 页）

题目原文要点　x 从 0 开始逐渐增大时，函数 y＝2x＋6 和 y＝5x−2 哪一个的值先超过 10？哪一个的值先超过 20？这说明了什么？考查什么　初值（b）与速度（k）共同决定谁先达标，为一次函数的应用埋伏笔。思路　分别解不等式 2x＋6＞10、5x−2＞10，再解两道 ＞20，比较 x 的大小，x 小的先到。分步过程　超过 10：2x＋6＞10 得 x＞2，x＝2 时正好 10；5x−2＞10 得 x＞2.4。2＜2.4，y＝2x＋6 先超过 10。超过 20：2x＋6＞20 得 x＞7；5x−2＞20 得 x＞4.4。4.4＜7，y＝5x−2 先超过 20。说明的是：起点高的能领先一阵，速度快的后来居上，两条线必有一个交点。易错　只比 k，答「两个都是 y＝5x−2 先」；或者把「超过」当成「等于」，把 x＝2 说成还没到 10。验算　把 x＝2 代回：2×2＋6＝10，5×2−2＝8，一个到 10 一个还差 2，判断无误；x＝4.4 代入：5×4.4−2＝20，2×4.4＋6＝14.8，也核得上。

带这一题：这一题是本节最见思维的一题，它把 k 和 b 的分工摆到明面上。孩子若只记「k 大就快」，第一问就答错；若只记「b 大就领先」，第二问就答错。真正的答案是：两个都要看，谁先达标取决于解出来的 x 谁小。家长陪做时不妨画出两条线，看它们在哪儿交叉——2x＋6＝5x−2 得 x＝8/3，交点在 x＝8/3 处、y＝34/3。交叉之前 y＝2x＋6 在上，交叉之后 y＝5x−2 在上。这张图一画，「先超过 10」和「先超过 20」的答案就都在眼前了。

习题 4.3 · 知识技能 · 第 1 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　画出下列函数的图象：（1）y＝4x；（2）y＝2/3x；（3）y＝−2/3x；（4）y＝4x−1；（5）y＝4x＋1；（6）y＝−4x−1。考查什么　三步法与两点定线法的合并操练，六个式子把正负 k、正负 b 全配了一遍。思路　（1）至（3）都是正比例函数，过原点加一点；（4）至（6）是一次函数，取 (0，b) 与另一点。分步过程　（1）y＝4x 取 (0，0)、(1，4)。（2）y＝2/3x 取 (0，0)、(3，2)，让分母消失。（3）y＝−2/3x 取 (0，0)、(3，−2)，线往右下。（4）y＝4x−1 取 (0，−1)、(1，3)。（5）y＝4x＋1 取 (0，1)、(1，5)。（6）y＝−4x−1 取 (0，−1)、(−1，3)。六条线中，（1）（4）（5）互相平行，（2）（3）关于 x 轴对称，（6）最陡且下降。易错　把 y＝−2/3x 的线画成上升；y＝4x−1 与 y＝4x＋1 画岔了，把 b 的符号弄错；六条线画在同一张纸上时张冠李戴。验算　每条线取 x＝1 核一遍 y 值：4、2/3、−2/3、3、5、−5，与图上读出的高度一致。

带这一题：六个小题分两批做，正比例的三个一批，一次函数的三个一批，别一口气全画进一张图。画完让孩子指出哪几条平行——y＝4x、y＝4x−1、y＝4x＋1 三条，中间那条过原点，上下各错 1 格。再让他指出哪两条关于 x 轴对称：y＝2/3x 与 y＝−2/3x，一个升一个降，角度一样。这一题的价值就在这种「一群线里看关系」的眼力，比单独画一条线高一个层次。若时间紧，至少要动笔画出（1）（4）（5）三条，平行关系一看就明。

习题 4.3 · 知识技能 · 第 2 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是____。（1）y＝8x；（2）y＝−0.6x；（3）y＝√5x；（4）y＝(√2−√3)x。考查什么　k 的符号判断，含带根号的系数比较。思路　逐个看 k：（1）8＞0；（2）−0.6＜0；（3）√5＞0；（4）√2−√3，被开方数 2＜3 所以 √2＜√3，差为负。分步过程　（1）增大；（2）减小；（3）增大；（4）减小。答案填（2）与（4）。易错　漏掉（4），觉得「带根号的都是正数」；或者把（2）的 0.6 看成整数，犹豫不决。验算　估（4）的 k：√2≈1.414，√3≈1.732，差≈−0.318，负数，减小，判断无误。

带这一题：这题的考点不在函数，在实数比大小。孩子若在第二章「实数」学得虚，这里就会漏答。补的办法是让他把 √2 与 √3 的近似值写在题边，一眼看出差为负。另一个思路更干净：两个正数比大小，平方后比，2＜3，所以 √2＜√3。这个办法不用背近似值，且能用在第（3）问那种「√5 是不是正数」的判断上——√5 是正数，无须犹豫。

习题 4.3 · 知识技能 · 第 3 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　写出图中直线 l 所对应的函数表达式。图：横轴标 −1、O、1、2、3，纵轴标 1、2、3、−1，直线 l 过原点 O，线上标出点 (1，3)。考查什么　从图象读信息并还原表达式，即待定系数法的看图版。思路　线过原点，说明是正比例函数，b＝0，设 y＝kx；再把 (1，3) 代进去求 k。分步过程　第一步，看线过 O(0，0)，判定 b＝0；第二步，设 y＝kx；第三步，把 x＝1、y＝3 代入，3＝k×1，得 k＝3；第四步，写出答案 y＝3x，检查线是否从左下往右上——是，k 为正，吻合。易错　写成 y＝3x＋1，把图上那个 3 当成 b；或者写成 y＝x＋3，把 (1，3) 读成截距。验算　再在线上取一点，比如 x＝2 时 y 应为 6，看图线在 x＝2 处是否升到 6 的高度；代回 y＝3x 也得 6，两路一致。

带这一题：看图写表达式，孩子最容易把坐标读成截距。(1，3) 说的是「x 是 1 的时候 y 是 3」，它跟「线在 y 轴上多高」完全两回事。可以让孩子用手指在图上比一比：从原点往右走 1 格，再往上走 3 格，正好落在标出的点上，说明 k＝3 是「每往右 1 格就往上 3 格」。这个手势比算式直观，练几次，孩子看到图就能报出 k。答案 y＝3x 还要满足「过原点」这个前提，若线不过原点，就得两点联立求 k 与 b。

习题 4.3 · 知识技能 · 第 4 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　下列三条直线中，与 y 轴的交点坐标相同的两条直线是____与____，y 的值随着 x 值的增大而减小的是____。（1）y＝6x−2；（2）y＝−6x−2；（3）y＝−6x＋2。考查什么　b 定交点、k 定增减，两件事分开判。思路　交点看 b：（1）−2、（2）−2、（3）2；增减看 k 的符号：6、−6、−6。分步过程　（1）交 (0，−2)，增大；（2）交 (0，−2)，减小；（3）交 (0，2)，减小。第一空填（1）与（2），第二空填（2）与（3）。易错　把（1）与（3）配成一对，因为都带 6；或者只填（2）漏掉（3）。验算　三个式子都令 x＝0：得 −2、−2、2，交点判定无误；再看 k 的正负，与增减判断一一对上。

带这一题：这道题的设计很巧：（1）与（2）k 互为相反数，b 相同，所以交于同一点、一升一降；（1）与（3）b 互为相反数，k 差一个负号。三选二的两空，正好把「k 与 b 各管一件事」考透。孩子若第一空就填（1）（3），说明他判交点时看的是 k；若第二空只填（2），说明他判增减时看的是 b。两个错误方向相反，可以拿来当诊断题：错哪一空，就知道他混了哪个字母。

习题 4.3 · 知识技能 · 第 5 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　如图，将直线 OA 向上平移 1 个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式。图：横轴标 1、2、3，纵轴标 1、2、3、4，点 A 的竖直虚线对横轴 2、水平虚线对纵轴 4，直线过原点 O。考查什么　平移与 b 的关系，以及由图读两点求表达式。思路　先由图定 OA：过 O(0，0) 与 A(2，4)，得 y＝2x；再上移 1 个单位，b 从 0 变 1。分步过程　第一步，读点：A 的横坐标看竖直虚线对到 2，纵坐标看水平虚线对到 4，A(2，4)；第二步，OA 过原点，设 y＝kx，代入 4＝k×2，k＝2，得 y＝2x；第三步，向上平移 1 个单位，k 不变、b 加 1，得 y＝2x＋1；第四步，核对：新线应过 (0，1)，并与 OA 平行。易错　把 A 读成 (4，2)，横纵颠倒；把平移做成 k 加 1，得 y＝3x；或者上移写成 b＝−1。验算　新线 y＝2x＋1 上取 x＝2 得 y＝5，比 A 高 1 格；x＝0 得 1，比原点高 1 格，处处高 1 格，平移正确。

带这一题：这一题是全节两个考点的合体：看图读点、平移改 b。孩子最容易错在「平移改 k」上，因为他脑子里的 k 是「让线变」的那个字母。要跟他强调：平移是整条线搬家，姿势一点没变，所以 k 不动；变的只是它落在 y 轴上的高度，也就是 b。图上还可以多看一眼：OA 经过 (0，0)、(1，2)、(2，4) 三个格点，说明 k＝2 是「每往右 1 格就往上升 2 格」。把这条线往上抬 1 格，它就依次经过 (0，1)、(1，3)、(2，5)，仍然是每往右 1 格升 2 格。

习题 4.3 · 数学理解 · 第 6 题（印刷第 93 页）

题目原文要点　写出 3 个函数值随着自变量值的增大而增大的正比例函数，并说明其中哪个正比例函数增大得更快一些。考查什么　正比例函数的构造与增长速度的比较，答案不唯一。思路　「增大」要求 k＞0，随便取三个正数作 k；「更快」比 k 的大小。分步过程　取 k＝1、2、3，得 y＝x、y＝2x、y＝3x，三个都满足 k＞0，都随 x 增大而增大。比较：x 每增加 1，三者分别增加 1、2、3，y＝3x 增加最多，所以增大得最快。易错　取到 k＝0（y＝0）或负数，不符合「增大」；或者只说「3x 最快」不说理由；也有人取 y＝1/2x 却说它比 y＝x 快，把分数看小了。验算　把三个函数在 x＝1、2 处的值算出来：1 与 2、2 与 4、3 与 6，差值依次是 1、2、3，与 k 一致。

带这一题：这是一道开放题，答案可以有很多，但「哪个更快」必须给出理由。孩子若只写「y＝3x 最快」而不说「因为 k 最大」，等于没答完整。家长可以顺势加一个追问：如果三个函数是 y＝1/2x、y＝1/3x、y＝1/5x，哪个快？答 1/2x 快，因为 1/2 最大。再加一句：k 若是 0.1 和 0.01，也是大的快。这样练两遍，孩子对「|k| 越大越陡」这条规律就不再是背的，而是能自己造例子验证。开放题的训练价值就在这里——它逼孩子自己想出满足条件的例子。

习题 4.3 · 第 7 题（印刷第 94 页，题号前带星号）

题目原文要点　小明是这样理解「函数 y＝x 的图象是一条经过原点的直线」的：当 x＝0 时，y＝0，所以原点（0，0）在函数 y＝x 的图象上；当 x＝t 时，y＝t，即 MN＝ON，∠MON＝45°，而这个结论对任意的 t 值都成立，所以函数 y＝x 的图象是一条经过原点、与横轴成 45° 角的直线。请你解释他的想法。图：横轴刻度 −3、−2、−1、O、1、2、3，纵轴刻度 3、2、1、−1、−2、−3，直线上有 M、N 两点，N 在横轴上，MN 垂直于 x 轴。考查什么　把「等量关系」翻译成几何特征，再由几何特征说明图象的形状，是本节最高一层的要求。思路　抓两点：M 的坐标是 (t，t)；MN 是竖直的线段，ON 在横轴上，两条一样长，所以三角形 MON 是等腰直角三角形。分步过程　第一步，设 N 是 x 轴上横坐标为 t 的点，则 N(t，0)，ON 的长度是 |t|；第二步，M 在直线上，横坐标也是 t，纵坐标 y＝t，得 M(t，t)，MN 的长度是 |t|，于是 MN＝ON；第三步，MN 与 x 轴垂直，∠MNO＝90°，两直角边相等，三角形 MON 是等腰直角三角形，∠MON＝45°；第四步，t 可以取任意值，每一点都这样，于是整条线与横轴的夹角恒为 45°，它当然是一条直线。易错　把 M 的坐标写成 (t，0)、(0，t)；或者只对某一个 t 验证就推广到全部，漏掉「对任意 t 成立」这句话。验算　取 t＝2，M(2，2)、N(2，0)，MN＝2、ON＝2，tan∠MON＝2/2＝1，角为 45°；取 t＝−1，N(−1，0)、M(−1，−1)，两条边长都是 1，角仍是 45°，结论对负数也成立。

带这一题：这是本节唯一的星号题，难不在算，在「说理」。小明的想法是一种很漂亮的证明雏形：他先用一个数对说明了原点在图上，再用一个任意的 t 说明「无论走到哪，竖边永远等于横边」，由这一个不变的关系推出整条线的方向。孩子读这段文字常常觉得「好像懂了」，让他自己复述一遍就露馅。复述要抓住三个词：任意的 t、MN＝ON、等腰直角。讲不通的地方多半在「t 是负数怎么办」，孩子会以为长度不能为负；这里要点明：长度用 |t|，两条都是 |t|，等式照样成立，角照样是 45°。这一题做透了，孩子对「证明」二字的理解会往前提一大步。

习题 4.3 · 第 8 题（印刷第 94 页）

题目原文要点　（1）写出 m 的两个值，使相应的一次函数 y＝mx−2 的值都是随着 x 值的增大而减小的；（2）写出 m 的两个值，使相应的一次函数 y＝(2m−1)x＋2 的值都是随着 x 值的增大而减小的。考查什么　把「减小」翻译成 k＜0，再解出参数的条件。思路　先认 k：（1）k＝m；（2）k＝2m−1。写成不等式求解，再各取两个数。分步过程　（1）需 m＜0，取 m＝−1、m＝−2，对应 y＝−x−2、y＝−2x−2，两条都下降。（2）需 2m−1＜0，即 2m＜1，m＜1/2，取 m＝0、m＝−1，对应 y＝−x＋2、y＝−3x＋2，都下降。易错　（2）里把 m＜1/2 写成 m＜1，忘了先移项再除以 2；或者取 m＝1 这种不满足条件的值；有人把 2m−1 当成 k 却写成 2m＋1＜0。验算　把取到的值代回：m＝0 时式子是 y＝−x＋2，k＝−1＜0，减小；m＝−1 时代回 2m−1＝−3，k＝−3＜0，减小，都合格。

带这一题：这一题把「认 k」这项基本功考到了骨头里。第（1）问简单，k 就是 m，一眼可见；第（2）问的 k 是一整块 2m−1，孩子若只盯 m，就会写成 m＜0，答案错一半。教他一个固定动作：拿笔在式子上把 x 和它前面的部分圈起来，圈住的那一块就是 k。这个动作练十遍，往后学到 y＝(k−1)x＋3 这类带参式就不会再乱。答案只要两个值，取整数最安稳，分数容易算错自己还不知道。

习题 4.3 · 第 9 题（印刷第 94 页）

题目原文要点　写出几个图象与 y 轴的交点在 x 轴上方的一次函数表达式；不画图，分别说出它们的图象与 y 轴的交点坐标。考查什么　b 的几何意义，且要求不依赖图形直接判断。思路　交点在 x 轴上方，就是交点纵坐标为正，也就是 b＞0。分步过程　取 b＝3，得 y＝2x＋3，交 (0，3)；取 b＝1，得 y＝−x＋1，交 (0，1)；取 b＝5，得 y＝0.5x＋5，交 (0，5)。三个交点的纵坐标都是正数，都在 x 轴上方。易错　把「交点在 x 轴上方」理解成「整条线在 x 轴上方」，于是要求 k 也大于 0；或者交点的纵坐标写成 b 以外的数。验算　三个式子都令 x＝0：得 3、1、5，与说出的交点坐标一致，且都大于 0。

带这一题：这题的关键词是「不画图」。孩子习惯先画再看，一旦不许画，就得靠 b 这个字母判断，功夫才真正落地。家长可以追问一句：y＝−x＋1 的线整条都在 x 轴上方吗？孩子会发现它从左上往右下穿过 x 轴，交点 (1，0) 之后就到下方去了——可见「交点在 x 轴上方」和「整条线在上方」完全是两件事。这个区分能帮孩子把「图象的位置」和「与坐标轴的交点」分开来看，往后做综合题不吃亏。

习题 4.3 · 第 10 题（印刷第 94 页）

题目原文要点　小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。表为两行五列：x 取 −1、0、1、2，y 对应 3、2、−2、−6。考查什么　一次函数「y 变化均匀」这一性质的逆向运用，以及用两个点定表达式。思路　先看相邻两列 y 的差：若函数是一次函数，各段差应当相同。找出差不一样的那一处，改回来，再用两个正确的点求 k 与 b。分步过程　第一步，算差：x 由 −1 到 0，y 由 3 到 2，差 −1；x 由 0 到 1，y 由 2 到 −2，差 −4；x 由 1 到 2，y 由 −2 到 −6，差 −4。第二步，后两段差都是 −4，前一段是 −1，反常，说明 x＝−1 那一列的 y＝3 算错了。第三步，按 k＝−4 与点 (0，2) 求 b：2＝−4×0＋b，b＝2，得 y＝−4x＋2。第四步，回代 x＝−1：−4×(−1)＋2＝6，所以正确值应为 6。答案：算错的函数值是 x＝−1 时的 3（应为 6），表达式 y＝−4x＋2。易错　挑不出错处；或者认定 x＝0 的 2 是错的，因为「2 看起来像是没算」；也有人算出 k＝−4 却把 b 定成 3。验算　把四组 x 全代进 y＝−4x＋2：6、2、−2、−6，除第一列外全与表一致，说明只错一处，改法唯一。

带这一题：这一题考的是「一次函数的值变化均匀」这句话的实战用法。孩子若没有这条意识，只能靠试，试到天黑也不一定中。给他一个动作：先在 y 那一行下面写出相邻的差，写成一排小字，看哪一处不合群。这一手往后学二次函数、学数列都要用。家长还可以让孩子想一想：如果错的是最右那一列呢？差会变成 −1、−4、−1，那时该改哪一处？孩子答「最右那一列」，说明他真懂了「找不合群的那一处」这个方法，不是记住了这一题的答案。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

画图这件事，手上功夫占了很大一半。教材第九十页图 4-5 那条 y＝2x 的线，孩子看着觉得简单，真让他画，五个点能描歪两个，尺子一压线就偏。这种偏差不是脑子的问题，是手的问题，手的问题只能靠手来改。每天留一个小时给身体，跑步、跳绳、打球都行，其中留十分钟做一件小事：在方格纸上徒手描十个点，要求不数格子也能落准；再用尺子把其中五个点连成一条线，要求线贴着每个点、不出现拐角。这个练习看着跟数学无关，其实练的是眼与手的配合——眼睛判断位置，手照着落笔。第九十三页第 5 题那种「从图上读点坐标」的活，靠的就是这种眼力。孩子每天动一动，坐回书桌前手不抖、眼不花，画 y＝4x 与 y＝−4x 这种陡线才不至于画成两条歪线。锻炼还有一层用处：这一节要连着画六条线、四张图，坐久了人会烦，动一动回来再画，错得少一半。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点不是 k、也不是 b，是第八十九页那句定义：把每对 (x，y) 当坐标描出来，所有这些点组成的图形叫图象。这句话如果没吃透，后面全悬空。什么叫吃透？孩子能回答三个问题：为什么坐标要成对？为什么说「所有」点？点在图上是「算出来的」还是「猜出来的」？第一个问题的答案在 x 与 y 的对应关系上，一个 x 只有唯一的 y 跟着，少了哪一个都定不住位置。第二个问题的答案在第九十页第 (4) 小问里，只描五个点叫抽样，说「所有」才叫图象。第三个问题的答案在「满足表达式」上，算出来的才在图上。第一课扎实了，孩子看 y＝2x 时脑子里自动浮出一条线，看 (3，6) 时自动判断它在不在线上。第一课虚了，后面背再多的「k＞0 增大」也只是字。家长检查的办法很土：让孩子用一句话说清什么叫图象，说不清就回去重读第八十九页那两行字，读到能用自己的话说为止。

第三步：能积微者速成

这一节的题分成很小的小块：一个小问只问一件事，一道题只考一个点。第九十一页随堂练习第 1 题就两条线，第九十二页随堂练习第 1 题就三条线，第九十三页第 2 题就一个空。孩子容易看不起这种小题，觉得做了没用，一心想做第九十四页第 7 题那种星号题。可星号题的路，全由这些小题铺成：不会列对称的表，画不准 y＝2x；不会两点定线，画不出 y＝4x−1；不会由 (1，3) 报出 k＝3，第 7 题的 M(t，t) 就读不懂。积微的意思是每天只把一两件小事做到底。这一节可以排一个七天的表：第一天只练列表取对称值，第二天只练描点不描错位，第三天只练两点定线，第四天练判 k 正负，第五天练读 (0，b)，第六天练平移只改 b，第七天做整节的十道题。每天二十分钟，七天下来这一节就稳了。孩子若一天想吞下六页，多半是画了六张歪图，一张也没记住。慢一点，反而快。

第四步：运用对标思维突破学习困境

对标就是找一面镜子照自己。这一节有三面现成的镜子。第一面是教材的图 4-5：孩子画完 y＝2x，把自己的图跟书上那张并排看，看线的角度是不是一样、有没有过原点、两端的延长够不够。第二面是同一张纸上并排的两条线：画完 y＝2x＋1，把它跟 y＝2x 摆在一起，看上下是不是处处差 1 格、有没有一处交叉。第三面是答案的写法：第九十三页第 3 题要求「写出表达式」，孩子写完 y＝3x，跟书上那种「一个字母都不多」的写法对一对，看自己有没有多写 b、有没有漏写 x。对标的用处在于把「我觉得对」变成「看起来对」。孩子做第九十四页第 10 题时最容易卡，卡在挑不出错处；这时让他对标「一次函数的值变化均匀」这条原文，把相邻两列的差写出来，一写就现形。困境往往不是不会，是不知道自己错在哪；镜子一照，错处自己跳出来。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃两头重、中间轻，用在学习上就是：一头做极简单的，一头做极难的，中间那些不上不下的少做。这一节正好能这么配。轻的那头是三步画图：画 y＝x、y＝2x、y＝−x 这种最简单的正比例函数，每条一分钟，一天画五条，画到手熟，这是打底。重的那头是两道题：第九十四页第 7 题（星号题，要用等腰直角三角形说理）和第九十二页随堂练习第 2 题（要比初值与速度，还要解释「说明了什么」）。这两道题不必一次做对，允许想二十分钟、允许画图、允许卡住再回来。中间那类「算一算、填一填」的机械题，做几道会了就行，别刷一百道。孩子的时间有限，全花在中间那类上，手不生但脑子不转；全花在难题上，挫败感攒满。两头都摸，中间挑着做，人才撑得久。这一节六页的内容，用杠铃法两天能过一遍：第一天轻头，把三步画图练熟；第二天重头，攻星号题与「谁先超过 20」；第三天再回头把随堂练习扫一遍，就算是收口了。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 什么叫函数的图象？

能答出来说明什么：说明第八十九页那句定义已经变成他自己的话，不是背下来的句子。参考答案：把一个函数里每一对 (x，y) 当成点的横坐标和纵坐标，在坐标系里点出来，所有点凑成的那个图形就是图象。答不出怎么办：回到第八十九页第 (4) 小问，问他「表里五个点之外的 (3，6) 在不在图上」，让他自己发现「图象说的是所有点，不是几个点」。

自问二 · 画一条正比例函数的图象，最少要几个点？为什么？

能答出来说明什么：说明他知道「过原点」这条结论不是废话，而是省力的依据。参考答案：一个点就够，加上原点共两个。因为 y＝kx 中 x＝0 时 y 恒为 0，原点必在图上；再加一个点，两点定一条直线。答不出怎么办：让他画 y＝−3x，先按五个点画一遍，再用「原点＋(1，−3)」画一遍，两幅图叠起来看是不是同一条线。

自问三 · 说出 y＝3x＋1 的图象与 y＝3x 的图象的三点关系。

能答出来说明什么：说明 k 与 b 的分工已经分清了。参考答案：一，两条线平行，因为 k 都是 3；二，y＝3x＋1 是 y＝3x 向上平移 1 个单位得到的；三，两条线在 y 轴上的落点分别是 (0，1) 与 (0，0)，差 1 格，处处差 1 格。答不出怎么办：回到第九十一页操作·思考第 (3) 小问，取 x＝−1、0、2 三个值，把两个 y 都算出来排成两行，看差是不是恒为 1。

自问四 · 为什么 y＝3x＋1 比 y＝4x−3 先超过 10，可先超过 20 的却是 y＝4x−3？

能答出来说明什么：说明他既会看速度，也会看起点，两件事不混。参考答案：快慢看 k，4＞3，所以 y＝4x−3 涨得快；可它起步在 −3，y＝3x＋1 起步在 1，早领先 4 格，所以小目标先到的是 y＝3x＋1（x＝3 时就到 10）。两条线在 4x−3＝3x＋1 处交叉，x＝4、y＝13，过了这个点 y＝4x−3 反超，大目标先到的是它（x＝5.75 就到 20，前者要到 x＝6.33）。答不出怎么办：让他把两条线的值在 x＝0、3、4、6 四个时刻列成两行，看什么时候反超；再回到第九十二页随堂练习第 2 题，那里用的是 y＝2x＋6 与 y＝5x−2，同一个道理。

自问五 · 第九十四页第 10 题，你怎么一眼看出哪个 y 算错了？

能答出来说明什么：说明他手里有「变化均匀」这件工具，不是靠试。参考答案：在 y 那一行下面写相邻的差，后两段都是 −4，前一段是 −1，不合群的就是它，x＝−1 时的 3 应为 6，表达式是 y＝−4x＋2。答不出怎么办：先问他「一次函数的 y，x 每加 1 就变多少」，答案是变同一个数；再让他把那排差写出来，让不合群的那一处自己冒出来。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节一句话概括：把式子里的每一对 (x，y) 搬到坐标纸上，点连成线，线上就长出了 k 和 b 的样子。k 决定线往哪边走、走得多陡；b 决定线在 y 轴上落在哪；三步是列表、描点、连线；两条线 k 相同就平行，平移到哪就改 b。这一节没有复杂计算，全是看与画，可它是整章的地基——后面求表达式、解方程组与图象的交点、用函数解决实际问题，都站在这一节画出的线上。

往前看，这一节接着「认识一次函数」：上一节认清了 y＝kx＋b 这个式子的样子，知道 k 与 b 各是什么数，这一节把式子变成图。往后看，下一节「一次函数的应用」要用这一节的图去读答案：给两个条件求表达式，就是第九十三页第 3、5 题的路子；给一个实际情境判断谁省钱，就是第九十二页随堂练习第 2 题的路子。再往后到第五章，二元一次方程组的解就是两条直线的交点，那时孩子若记得「交点坐标一并满足两个式子」，方程组与图象就通了。整章是一条线：式子是骨，图是肉，k 与 b 是筋。

给家长一句实在话：这一节最该盯的不是答案对不对，是孩子画图时那三步有没有真做。表列得对称，点描得准，线连得直，答案自然对；反过来，答案对了而过程是猜的，下一节就会露馅。孩子画歪一条线，别急着说错，让他把自己的图跟教材第九十页的图 4-5 摆在一起看，差在哪儿他自己会说出来。这一节能陪孩子画三条线、说清 k 与 b 各管什么，就够扎实了。

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