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初中数学专栏 · 第 3 期 · 01.3 相反数与绝对值 · 附讲义相反数与绝对值就这 3 招: 找对称、算距离、拆绝对值

发布时间：2026-11-15 09:48:42 最近访问：2026-11-15 09:48:43

适合七上 / 中考一轮复习 · 附学生版＋教师版 Word 讲义 · 阅读约 12 分钟

本期导读：这两个概念长得像、考得多：中考里绝对值每年必考，常与非负性、化简、方程结合。今天 3 招：找对称（相反数）、算距离（绝对值）、拆绝对值（分类讨论）——一句口诀先记住：相反数看符号，绝对值看距离。

先看地图：一个对称，一个距离

① 相反数

只有符号不同的两个数
a 的相反数是－a
0 的相反数是 0
互为相反数 ⇒ 和为 0

② 绝对值

数轴上到原点的距离
|a| ≥ 0（永远非负）
|a|＝a（a≥0）；|a|＝－a（a≤0）
两个负数比大小：绝对值大的反而小

③ 三种常考型

|a|＝m ⇒ a＝±m
|a－b| ＝两点距离
|A|＋|B|＝0 ⇒ A＝B＝0

▲ 本节知识地图

怎么用这张图：看到绝对值，先问自己一句：里面那个数，是正是负？不知道就分类讨论——这是本节所有题的总开关。

知识点 1｜相反数：定义、求法与和为 0

核心概念：

定义
：只有符号不同的两个数互为相反数，如 3 与－3；0 的相反数是 0。
几何意义
：数轴上关于原点对称的两个点。
代数性质
：a＋(－a)＝0，即互为相反数的两数和为 0（判断相反数最快的方法）。

为什么重要：相反数是后面"去括号变号""移项""解方程"的基础动作，符号一变错，整道题连锁崩溃。

例题 1容易（2024·福建中考改编）求－3.5 的相反数与绝对值；再求－(＋2) 的相反数。

▲ 例题 1 示意图：镜像对称

【解析】 －3.5 的相反数是 3.5，绝对值是 3.5；－(＋2)＝－2，它的相反数是 2。

【点评】 注意第三问：要先算出－(＋2)＝－2，再求相反数。多层符号从里往外剥，一步一层，不要跳。

例题 2中等（2024·四川成都中考改编）已知 a、b 互为相反数，且 |a－b|＝6，求 a、b 的值。

▲ 例题 2 示意图

【解析】 a、b 互为相反数，设 b＝－a，则 |a－b|＝|a＋a|＝|2a|＝6，得 a＝±3。
所以 a＝3，b＝－3 或 a＝－3，b＝3。

【点评】 "互为相反数"最省事的用法是设 b＝－a 直接代入，把两个字母压成一个。|2a|＝6 有两个解，别只写一组。

例题 3困难（2025·湖北襄阳中考改编）数轴上 A、B 两点表示的数互为相反数，且 AB＝12（点 A 在点 B 的左侧）。①求 A、B 表示的数；②将点 A 沿数轴移动 5 个单位长度得到点 C，求点 C 表示的数的相反数。

▲ 例题 3 示意图

【解析】 ①两点关于原点对称且相距 12，各在原点两侧 6 个单位处，又 A 在左，故 A 表示－6，B 表示 6；
②移动方向未定：A 向右移 5 得 C＝－1，其相反数为 1；A 向左移 5 得 C＝－11，其相反数为 11。

【点评】 两处小心：①"互为相反数＋距离"先折半再定左右；②只说"移动 5 个单位"没给方向，必须左右各算一次，两个答案都要写。

知识点 2｜绝对值：距离意义、化简与双重非负性

核心概念：

定义
：|a| 表示数轴上表示 a 的点到原点的距离，所以 |a| ≥ 0。
化简法则
：a≥0 时 |a|＝a；a≤0 时 |a|＝－a（注意－a 在这里是正数）。
两点距离
：数轴上 A(a)、B(b)，则 AB＝|a－b|（大减小也成立）。

为什么重要：绝对值的"非负性"是中考的高频陷阱：一旦题目给出"几个绝对值相加等于 0"，答案就是每一项都为 0。

例题 4容易（2024·天津中考改编）计算：|－5|＋|3|－|－2|。

▲ 例题 1 示意图：距离没有负号

【解析】 |－5|＝5，|3|＝3，|－2|＝2，所以原式＝5＋3－2＝6。

【点评】 绝对值输出的永远是"距离"，先各自脱掉绝对值符号再算加减，不要带着负号进算式。

例题 5中等（2023·江苏南京中考改编）①若 |x|＝5，求 x；②若 |x－1|＝2，求 x 的所有值。

▲ 例题 5 示意图

【解析】 ①x＝±5（两个答案不能漏）；②|x－1|＝2 表示 x 到 1 的距离为 2，所以 x＝1＋2＝3 或 x＝1－2＝－1。

【点评】 第二问别急着拆方程：|x－1| 是"x 到 1 的距离"，左右各一个点。几何意义比硬解方程快，还不漏解。

例题 6困难（2024·黑龙江中考改编）若 |a－2|＋|b＋3|＝0，求 a、b 的值；并求 (a＋b)²⁰²⁵ 与 |a－b| 的值。

▲ 例题 6 示意图

【解析】 绝对值非负，两个非负数之和为 0，只能各自为 0：a－2＝0 且 b＋3＝0，得 a＝2、b＝－3。
a＋b＝－1，(a＋b)²⁰²⁵＝(－1)²⁰²⁵＝－1（奇次幂保号）；|a－b|＝|2－(－3)|＝5。

【点评】 "非负性"标准套路：|A|＋|B|＝0 ⇒ A＝B＝0，同类还有"绝对值＋平方""根号＋绝对值"，只要每项非负结论一样。第二问把－1 的奇次幂与两点距离打包进来了，两步都不能松。

方法总结表：一张表带走本节

关卡	看到什么信号	怎么下手
找对称	"互为相反数"	和为 0，或写成 b＝－a 直接替换
算距离	"两点距离""到原点距离"	AB＝\|a－b\|，右侧减左侧
拆绝对值	\|a\|＝m（m＞0）	a＝±m，两个答案都要写
非负性	几个绝对值相加等于 0	每一项分别等于 0，列方程组

易错点自查

易错点自查

✕ 认为 |a|＝a 恒成立
✓ a＜0 时 |a|＝－a，结果是正数
✕ |a|＝5 只写 a＝5
✓ 漏掉 a＝－5
✕ 认为－a 一定是负数
✓ a≤0 时－a 是正数或 0

3 分钟自测

3 分钟自测

1. |－7| 与－|7| 相等吗？
2. 若 |x|＝3，则 x＝？
3. 数轴上表示－1 与 4 的两点距离是多少？

答案速查：1. 不相等：7 与－7；2. 3 或－3；3. 5

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🗺️ 系列总目录 · 98 节按掌握顺序排期（已更新 3/98）

6 大专题 · 31 章 · 98 节，每节一篇原创文＋学生版／教师版讲义；6 个阶段＝6 大专题，一一对应，专题内按知识掌握逻辑排期。✅ 已发布— 关键词未公布

阶段	章	期	节（每节一篇文）	知识点	关键词（发布后公布）
① 数与式	第01章有理数	1	01.1 有理数的有关概念 ✅	正数与负数、有理数分类	有理数
2	01.2 数轴 ✅	三要素、画法、数轴上的点	数轴
3	01.3 相反数与绝对值 ✅	相反数、绝对值、几何意义	绝对值
4	01.4 有理数的加减运算	加法法则、运算律、减法化加法	—
5	01.5 有理数的乘除运算	乘法法则、倒数、除法、混合运算	—
6	01.6 有理数的乘方	乘方意义、符号规律、混合运算	—
7	01.7 科学记数法与近似数	科学记数法、精确度、有效数字	—
第02章实数	8	02.1 平方根	平方根、算术平方根、开平方	—
9	02.2 立方根	立方根、开立方、性质	—
10	02.3 实数	无理数、实数分类、实数运算	—
第03章二次根式	11	03.1 二次根式的有关概念和性质	定义、有意义的条件、√a²=\|a\|	—
12	03.2 二次根式的运算	乘除、最简二次根式、加减、混合运算	—
第04章整式的加减	13	04.1 代数式	代数式、列代数式、求值	—
14	04.2 整式	单项式、多项式、次数、升降幂	—
15	04.3 整式的加减	同类项、合并、去括号、化简求值	—
第05章整式的乘除与因式分解	16	05.1 幂的有关计算	同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数	—
17	05.2 整式的乘除	单×单、单×多、多×多、多项式除以单项式	—
18	05.3 乘法公式	平方差、完全平方、添括号	—
19	05.4 因式分解	提公因式、公式法、十字相乘、一般步骤	—
第06章分式	20	06.1 分式的有关概念	定义、基本性质、约分、通分	—
21	06.2 分式的运算	乘除、乘方、加减、负整数指数幂	—
② 方程与不等式	第07章一元一次方程	22	07.1 方程的有关概念	等式性质、方程、方程的解	—
23	07.2 解一元一次方程	移项、去括号、去分母、一般步骤	—
24	07.3 列一元一次方程解应用题	设元、等量关系、常见类型	—
第08章二元一次方程组	25	08.1 有关概念	二元一次方程、方程组、解	—
26	08.2 解二元一次方程组	代入消元、加减消元、步骤	—
27	08.3 列方程组解应用题	双未知量、等量关系、配套问题	—
28	08.4 三元一次方程组	三元方程、消元、步骤	—
第09章一元二次方程	29	09.1 有关概念	一般形式、二次项系数、根	—
30	09.2 解一元二次方程	开平方、配方、公式、判别式、根与系数	—
31	09.3 列方程解应用题	增长率、面积、销售利润	—
第10章分式方程	32	10.1 分式方程	定义、去分母、验根、增根	—
33	10.2 列分式方程解应用题	工程、行程、一般步骤	—
第11章不等式（组）	34	11.1 不等式的有关概念和性质	不等式、解集、三条性质	—
35	11.2 解一元一次不等式	解法步骤、数轴表示、整数解	—
36	11.3 解一元一次不等式组	解集、口诀、数轴取交集	—
37	11.4 列不等式（组）解应用题	关键词翻译、方案设计	—
③ 函数	第12章平面直角坐标系	38	12.1 平面直角坐标系的有关概念	有序数对、坐标系、象限、点的坐标	—
39	12.2 点的坐标特征	象限符号、轴上点、距离、平移、对称	—
第13章一次函数	40	13.1 变量与函数	变量常量、函数、自变量取值范围、图象	—
41	13.2 一次函数的图象与性质	正比例、k与b的作用、待定系数法	—
42	13.3 一次函数与方程（组）、不等式	交点即解、图象法解不等式	—
43	13.4 一次函数与实际问题	分段函数、方案比较、建模步骤	—
第15章反比例函数	44	15.1 反比例函数的有关概念	定义、k≠0、待定系数法	—
45	15.2 反比例函数的图象与性质	双曲线、增减性、k的几何意义	—
46	15.3 反比例函数与实际问题	压强、杠杆、工程效率	—
第14章二次函数	47	14.1 二次函数的有关概念	定义、三种表达式	—
48	14.2 二次函数的图象与性质	开口、对称轴、顶点、a、b、c的作用	—
49	14.3 二次函数与一元二次方程、不等式	交点个数与判别式、图象法	—
50	14.4 二次函数与实际问题	利润最值、抛物线运动、拱桥	—
④ 图形的性质	第16章图形的初步认识	51	16.1 几何图形	立体图形、平面图形、展开图、点线面体	—
52	16.2 直线、射线、线段	三线区别、中点、两点间距离	—
53	16.3 角	角的表示、度量、角平分线、余角补角、方位角	—
第17章相交线与平行线	54	17.1 相交线	邻补角、对顶角、垂线、垂线段最短	—
55	17.2 相交线中的角	同位角、内错角、同旁内角	—
56	17.3 平行线	判定、性质、拐点模型	—
第18章命题的证明	57	18.1 命题	题设与结论、真假命题、逆命题、定理	—
58	18.2 证明	辅助线、综合法、反证法、面积法	—
第19章三角形	59	19.1 三角形的有关概念	分类、三线、稳定性	—
60	19.2 三角形的性质	三边关系、内角和、外角性质	—
第20章全等三角形	61	20.1 全等三角形及其性质	对应边角、全等变换	—
62	20.2 全等三角形的判定	SSS、SAS、ASA、AAS、HL	—
63	20.3 角的平分线	性质、判定、常见辅助线	—
64	20.4 尺规作图	基本作图、作角、作垂线	—
第21章等腰三角形	65	21.1 线段的垂直平分线	性质、判定、外心	—
66	21.2 等腰三角形	等边对等角、三线合一、等边三角形	—
第22章勾股定理	67	22.1 直角三角形与勾股定理	直角三角形性质、勾股定理、验证、应用	—
68	22.2 勾股定理的逆定理	勾股数、逆定理、判直角	—
第23章平行四边形	69	23.1 多边形的有关概念和性质	内角和、外角和、平面镶嵌	—
70	23.2 平行四边形	性质、判定、平行线间距离	—
71	23.3 中位线	三角形中位线、中点四边形	—
72	23.4 矩形	性质、判定、斜边中线	—
73	23.5 菱形	性质、判定、面积公式	—
74	23.6 正方形	性质、判定、四边形关系	—
第24章圆	75	24.1 与圆有关的概念	圆心半径、弧弦、圆心角与圆周角	—
76	24.2 圆的基本性质	对称性、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形	—
77	24.3 点与圆的位置关系	三种位置、外接圆、外心	—
78	24.4 直线与圆的位置关系	相离相切相交、切线判定与性质、内切圆	—
79	24.5 正多边形与圆	中心、半径、边心距、计算	—
80	24.6 与圆有关的计算	弧长、扇形面积、圆锥侧面积	—
⑤ 图形的变化	第25章图形的轴对称、平移与旋转	81	25.1 图形的轴对称	轴对称图形、性质、作对称点、将军饮马	—
82	25.2 图形的平移	性质、作图、坐标变化	—
83	25.3 图形的旋转	性质、作图、旋转模型	—
84	25.4 中心对称	中心对称、原点对称的坐标	—
第26章相似	85	26.1 比例线段	比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例	—
86	26.2 相似三角形	判定、性质、常见模型	—
87	26.3 相似三角形的应用	影子测高、平面镜、测不可测宽	—
88	26.4 位似图形	位似、性质、坐标变化	—
第27章锐角三角函数	89	27.1 锐角三角函数	正弦余弦正切、特殊角的值、同角关系	—
90	27.2 解直角三角形	边角互求、仰角俯角、坡度	—
第28章投影与视图	91	28.1 投影	平行投影、中心投影、正投影	—
92	28.2 三视图	主视图、俯视图、左视图、还原	—
⑥ 统计与概率	第29章数据的收集、整理与描述	93	29.1 数据的收集与整理	全面调查、抽样调查、总体与样本	—
94	29.2 数据的描述	条形图、扇形图、折线图、直方图	—
第30章数据的分析	95	30.1 数据的集中趋势	平均数、加权平均数、中位数、众数	—
96	30.2 数据的波动	极差、方差、标准差	—
第31章概率	97	31.1 概率的有关概念	随机事件、可能性、概率	—
98	31.2 概率的计算方法	列举法、树状图、频率估计概率	—