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小昊，今天咱们来做一套"综合运用"题，感觉会比之前的复习巩固题更有挑战性了！
没错！综合运用嘛，就是把前面学过的三角概念知识——任意角的三角函数、同角关系式、诱导公式、三角函数值的符号——全都串起来。这一套题一共有9道，第7题到第15题，我们一道一道攻克！
太好了，那咱们就从第7题开始吧。题目给了我们一个函数，埃夫埃克斯等于正弦括号埃克斯加4分之派括号，加上2倍正弦括号埃克斯减4分之派括号，减去4倍阔斯2埃克斯，再加上3倍阔斯括号埃克斯加4分之3派括号。要我们在两个点处求值，先是埃克斯等于4分之派，再是埃克斯等于4分之3派。
这道题就是典型的"给函数求值"，关键是代入的时候要细心。我们先看第一个，埃克斯等于4分之派。那就把每个埃克斯都换成4分之派。第一项正弦括号4分之派加4分之派括号，也就是正弦2分之派，等于1。第二项2倍正弦括号4分之派减4分之派括号，正弦0等于0，所以这一整项是0。第三项负4倍阔斯2乘以4分之派，也就是阔斯2分之派等于0，所以这也是0。第四项3倍阔斯括号4分之派加4分之3派括号，就是3倍阔斯派，阔斯派等于负1，所以3乘负1等于负3。加起来就是1加0加0减3等于负2。
那第二个点，埃克斯等于4分之3派呢？
一样的方法。第一项正弦括号4分之3派加4分之派括号等于正弦派等于0。第二项2倍正弦括号4分之3派减4分之派括号等于2倍正弦2分之派等于2乘1等于2。第三项负4倍阔斯2乘4分之3派，也就是阔斯2分之3派等于0，这一项是0。第四项3倍阔斯括号4分之3派加4分之3派括号等于3倍阔斯2分之3派，阔斯2分之3派也是0，所以是0。加起来是0加2加0加0等于2。
所以第一个点答案是负2，第二个点答案是2。挺好的，这道题其实不复杂，只要细心代入就可以了。那第8题呢？
第8题是判断符号的。做这类题，关键看角所在的象限。第一小题，坦特125度乘正弦273度。125度在第二象限，第二象限的坦特值是负的。273度在第四象限，第四象限的正弦值是负的。负乘负得正，所以整个式子的符号是正号。
哦，分别判断每个因子的符号，再相乘。第二小题呢？坦特108度除以阔斯305度。
108度在第二象限，坦特108度是负的。305度在第四象限，阔斯305度是正的。负除以正得负，所以符号是负号。第三小题，正弦4分之5派乘阔斯5分之4派乘坦特6分之11派。正弦4分之5派，4分之5派等于225度，在第三象限，正弦是负的。阔斯5分之4派等于144度，在第二象限，阔斯是负的。坦特6分之11派等于330度，在第四象限，坦特是负的。三个负数相乘，负乘负得正，正再乘负得负，所以结果是负号。
三个负号，奇数个负数相乘结果为负！第四小题呢，一个分式：阔斯6分之5派乘坦特6分之11派，除以正弦3分之2派。
阔斯6分之5派等于150度，在第二象限，阔斯是负的。坦特6分之11派等于330度，在第四象限，坦特是负的。分子是负乘负得正。分母正弦3分之2派等于120度，在第二象限，正弦是正的。正除以正得正，所以整个式子的符号是正号。
原来如此！判断符号的题目，说到底就是要熟悉每个象限里各个三角函数的正负情况。第一象限全正，第二象限正弦正、坦特和阔斯负，第三象限坦特正、正余弦负，第四象限阔斯正、正正弦和坦特负。
小棠总结得非常到位！接下来第9题呢，是求三角函数值，而且可以用计算工具。第一小题，正弦负6分之67派。负角不好直接看，先加周期。正弦负6分之67派加2派也就是加6分之12派，等于正弦负6分之55派，再加2派，等于正弦负6分之43派……其实更好的方法是我们先把它转到0到2派之间。
负6分之67派，加多少个2派能到0到2派之间呢？
2派就是6分之12派。负6分之67派加上6分之72派等于6分之5派，所以正弦负6分之67派等于正弦6分之5派。6分之5派是150度，在第二象限，正弦是正的，正弦6分之5派等于正弦6分之派等于2分之1。所以正弦负6分之67派等于0点5，精确值就是0点5。如果用计算工具精确到0点0 0 0 1的话，就是0点5 0 0 0。
原来用诱导公式先化简再求值！第二小题，坦特负4分之15派呢？
坦特负4分之15派。坦特的周期是派，也就是4分之4派。负4分之15派加上4个派，也就是加4分之16派，等于4分之派。所以坦特负4分之15派等于坦特4分之派，等于1。
第三小题，阔斯398度13分。这个角大于360度，先减周期？
对的，阔斯的周期是360度。398度13分减去360度，等于38度13分。所以阔斯398度13分等于阔斯38度13分。用计算工具算一下，阔斯38度13分约等于0点7 8 5 7。
第四小题，坦特766度15分。
坦特周期也是360度。766度15分减去720度，也就是减去2个周期，等于46度15分。所以坦特766度15分等于坦特46度15分。用计算工具算，坦特46度15分约等于1点0 4 3 2。
好的！做这种题，就是先利用周期性把角化到0到360度之间，再用计算工具。接下来第10题是求证充要条件，感觉是个逻辑题？
是的，充要条件要证明"从左到右"和"从右到左"两个方面。先看第一小题：角西塔为第二或第三象限角的充要条件是正弦西塔乘坦特西塔小于0。
怎么证呢？
先证充分性：如果角西塔在第二象限，那么正弦西塔大于0，坦特西塔小于0，乘积小于0。如果角西塔在第三象限，正弦西塔小于0，坦特西塔大于0，乘积也小于0。所以第二或第三象限都能推出正弦西塔乘坦特西塔小于0。再证必要性：如果正弦西塔乘坦特西塔小于0，那说明正弦西塔和坦特西塔异号。正弦西塔和坦特西塔异号的情况，只有正弦正坦特负，或者正弦负坦特正。正弦正坦特负对应第二象限，正弦负坦特正对应第三象限。所以必要性也得证。因此这个充要条件成立。
明白了！关键是正弦和坦特的符号表。第二小题，角西塔为第三或第四象限角的充要条件是阔斯西塔乘坦特西塔小于0。
类似的方法。第三象限：阔斯西塔小于0，坦特西塔大于0，乘积小于0。第四象限：阔斯西塔大于0，坦特西塔小于0，乘积小于0。反过来，如果乘积小于0，阔斯和坦特异号。阔斯负坦特正对应第三象限，阔斯正坦特负对应第四象限。所以充要条件成立。
第三小题，角西塔为第一或第四象限角的充要条件是正弦西塔除以坦特西塔大于0。
这里要注意，除法大于0等价于分子分母同号。第一象限：正弦大于0，坦特大于0，比值大于0。第四象限：正弦小于0，坦特小于0，比值也大于0。反过来，比值大于0说明正弦和坦特同号。同正的情况是第一象限，同负的情况是第四象限。所以成立。
第四小题，角西塔为第一或第三象限角的充要条件是正弦西塔乘阔斯西塔大于0。
第一象限：正弦正、阔斯正，乘积正。第三象限：正弦负、阔斯负，乘积正。反过来，乘积大于0说明正弦和阔斯同号。同正在第一象限，同负在第三象限。这道题其实很有用，我们以后判断角所在的象限范围时，可以直接用这些结论。
好的，第10题搞定了！第11题是知一求二，已知正弦埃克斯等于负3分之1，求阔斯埃克斯和坦特埃克斯。
这是典型的同角关系式的应用。用正弦的平方加阔斯的平方等于1这个公式。阔斯埃克斯的平方等于1减去正弦埃克斯的平方，等于1减去9分之1等于9分之8。所以阔斯埃克斯等于正负3分之2倍根号2。那么问题来了，到底是正还是负呢？
题目只给了正弦埃克斯等于负3分之1，没有给角所在的象限啊。
对，所以这里需要讨论。当埃克斯在第三象限时，阔斯埃克斯小于0，所以阔斯埃克斯等于负的3分之2倍根号2。当埃克斯在第四象限时，阔斯埃克斯大于0，所以阔斯埃克斯等于正的3分之2倍根号2。有了正弦和阔斯，坦特埃克斯就等于正弦埃克斯除以阔斯埃克斯。第三象限时，坦特埃克斯等于负3分之1除以负的3分之2倍根号2等于2倍根号2分之1等于4分之根号2。第四象限时，坦特埃克斯等于负3分之1除以正的3分之2倍根号2等于负的4分之根号2。
所以这道题答案有两个情况！做"知一求二"的题目时，一定要关注角所在象限的信息，如果没有给出，就需要分类讨论。
没错！第12题也是知一求二，不过给了象限信息。已知坦特阿尔法等于根号3，而且阿尔法在派到2分之3派之间，也就是第三象限。
第三象限，坦特阿尔法等于根号3。根号3对应的特殊角是3分之派，但3分之派在第一象限，第三象限的话应该是派加3分之派等于3分之4派。
对，阿尔法等于3分之4派。那么阔斯阿尔法等于阔斯3分之4派等于负2分之1，正弦阿尔法等于正弦3分之4派等于负2分之根号3。所以阔斯阿尔法减正弦阿尔法等于负2分之1减去负2分之根号3，等于负2分之1加2分之根号3，也就是2分之根号3减1。
这道题其实可以用特殊角直接算出来，很方便。第13题呢？已知角阿尔法的终边不在坐标轴上，用阔斯阿尔法表示正弦阿尔法和坦特阿尔法。
这是同角关系式的灵活运用。我们知道正弦平方加阔斯平方等于1，所以正弦阿尔法的平方等于1减阔斯阿尔法的平方。那么正弦阿尔法等于正负根号下1减阔斯阿尔法的平方。注意，因为终边不在坐标轴上，所以正弦不为0，但符号要由阿尔法所在象限决定。
那坦特阿尔法呢？
坦特阿尔法等于正弦阿尔法除以阔斯阿尔法，所以坦特阿尔法等于正负阔斯阿尔法分之根号下1减阔斯阿尔法的平方，正负号同样取决于阿尔法的象限。第二小题，用正弦阿尔法表示阔斯阿尔法和坦特阿尔法。类似地，阔斯阿尔法等于正负根号下1减正弦阿尔法的平方，坦特阿尔法等于阔斯阿尔法分之正弦阿尔法，符号由象限决定。这里有一个关键点：因为终边不在坐标轴上，阔斯阿尔法和正弦阿尔法都不为0，所以分母都是有意义的。
所以说这题的关键就是记住"正弦平方加阔斯平方等于1"这个公式，和坦特等于正弦除以阔斯这个关系式，然后注意符号由象限决定。
非常正确！第14题是四道恒等式证明题，我们来一道一道看。第一小题，要证明1减2倍正弦埃克斯乘阔斯埃克斯，除以阔斯埃克斯的平方减正弦埃克斯的平方，等于1减坦特埃克斯除以1加坦特埃克斯。
这种题一般从左边证到右边，或者反过来？
我们可以从右边开始，或者从左到右。考虑从左边入手，分子1减2倍正弦埃克斯乘阔斯埃克斯，可以写成正弦埃克斯的平方加阔斯埃克斯的平方减2倍正弦埃克斯乘阔斯埃克斯，也就是括号正弦埃克斯减阔斯埃克斯括号的平方。分母阔斯埃克斯的平方减正弦埃克斯的平方，可以写成括号阔斯埃克斯减正弦埃克斯括号乘括号阔斯埃克斯加正弦埃克斯括号。分子分母同时约掉阔斯埃克斯减正弦埃克斯，注意这个值不为0。剩下阔斯埃克斯加正弦埃克斯分之阔斯埃克斯减正弦埃克斯。分子分母同时除以阔斯埃克斯，得到1加坦特埃克斯分之1减坦特埃克斯。证毕。
巧妙！运用了完全平方和平方差公式。第二小题呢？坦特阿尔法的平方减正弦阿尔法的平方等于坦特阿尔法的平方乘正弦阿尔法的平方。
这道题从左到右。左边等于坦特平方减正弦平方。把坦特平方写成阔斯平方分之正弦平方。那么左边等于阔斯平方分之正弦平方减正弦平方。提取公因子正弦平方，等于正弦平方乘以括号阔斯平方分之1减1括号。阔斯平方分之1减1等于阔斯平方分之1减阔斯平方，等于阔斯平方分之正弦平方。所以左边等于正弦平方乘阔斯平方分之正弦平方，等于正弦平方乘坦特平方。证毕。
第三小题，括号阔斯贝塔减1括号的平方加正弦贝塔的平方等于2减2倍阔斯贝塔。
左边展开等于阔斯贝塔的平方减2倍阔斯贝塔加1再加正弦贝塔的平方。阔斯贝塔的平方加正弦贝塔的平方等于1，所以左边等于1减2倍阔斯贝塔加1再加0……等等，我重新算一下。左边展开：阔斯贝塔平方减2倍阔斯贝塔加1加上正弦贝塔平方。阔斯贝塔平方加正弦贝塔平方等于1，所以等于1减2倍阔斯贝塔加1，等于2减2倍阔斯贝塔。和右边相等，证毕。
第四小题，正弦埃克斯的4次方加阔斯埃克斯的4次方等于1减2倍正弦埃克斯的平方乘阔斯埃克斯的平方。
这个式子可以用完全平方公式。正弦4次方加阔斯4次方等于括号正弦平方加阔斯平方括号的平方减去2倍正弦平方乘阔斯平方。正弦平方加阔斯平方等于1，所以等于1减2倍正弦平方乘阔斯平方。和右边相等，证毕。
恒等式证明其实是有套路的，要么从左到右，要么从右到左，关键是要灵活运用同角关系式和一些代数变形技巧。最后第15题了！已知坦特阿尔法等于2，求正弦阿尔法加阔斯阿尔法除以正弦阿尔法减阔斯阿尔法的值。
这道题很简单，分子分母同时除以阔斯阿尔法。分子变成坦特阿尔法加1，分母变成坦特阿尔法减1。代入坦特阿尔法等于2，得到2加1除以2减1等于3除以1等于3。所以结果是3。
这也太巧妙了吧！都不用求出正弦和阔斯的具体值，直接同除以阔斯就行了。
对，这种"齐次式"的处理方法很常见。分子分母每一项都是正弦或者阔斯的一次方，所以同除以阔斯就能转化成坦特的表达式。以后遇到类似的题目都可以这么处理。
好的，今天这9道综合运用题全部讲完了，我们复习了任意角三角函数值的计算、符号判断、诱导公式化简、同角关系式的灵活运用、齐次式的处理方法，还有充要条件的证明。收获满满！
是的，这套题目综合性很强，但每道题的知识点都是我们前面学过的。只要把三角函数的定义、各象限的符号、同角关系式这些基础打牢，做综合题一样从容应对。沈老师布置的这套题，大家要认真消化哦！
那我们下次再见，继续攻克更多的数学难题！
下次见！
