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14 弹簧能量相关模型
1．(2020·湖北恩施·高三月考)如图所示，两个质量均为m 的小滑块P、Q 通过铰链用长为L 的刚性轻杆连
接，P 套在固定的竖直光滑杆上，Q 放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角
=30°。原长为
的轻
弹簧水平放置，右端与Q 相连，左端固定在竖直杆O 点上。P 由静止释放，下降到最低点时
变为
60°。整个运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度
为g。则P 下降过程中( )
A．P、Q 组成的系统机械能守恒
B．P、Q 的速度满足
C．弹簧弹性势能最大值为
D．P 达到最大动能时，P 对杆的弹力等于0
2．(2020·山东青岛二中分校高三期中)如图甲所示，长为L 的长木板水平放置，可绕左端的转轴O 转动，
左端固定一原长为
的弹簧，一质量为m 的小滑块压缩弹簧到图甲中的a 点(物体与弹簧不连接)，Oa
间距离为
。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将木板绕O 点逆时针
转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体由a 点静止释放，物体最多运动到离O 点3L/4 的b 点。已知弹
簧的弹性势能
，其中k 为弹性系数，Δx 为弹簧的形变量。取sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列
说法正确的是( )
A．物体与木板间的动摩擦因数为
B．物体在a 点时，弹簧的弹性势能为
C．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为
D．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为
3．如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m 的小球，在离地面高度为H 处，由静止开
始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F 阻，则
弹簧在最短时具有的弹性势能为( )
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，质量为M 的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k 的轻弹簧，在弹簧处于原
长时，用手拉着其上端P 点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离。在这一过程中，
P 点的位移为H，则物体重力势能的增加量为( )
A．MgH
B．MgH＋
C．MgH－
D．MgH－
5．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O 点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下
拉重物，第一次把它直接拉到A 点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B 点后再让其回到A 点，弹力做
功为W2，已知
，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为( )
A．
B．
C．
D．
6．劲度系数分别为
和
的弹簧A 和B 连接在一起，拉长后将两端固定，如图，
弹性势能
、
的关系是( )
A．
B．
C．
D．无法比较
、
的大小
7．(2020·嘉祥县第一中学高二期中)如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一个光滑弧形槽静止放在
足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，让一个物块从槽上高h 处由静止开始下滑。下列说
法正确的是( )
A．物块沿槽下滑的过程中，物块的机械能守恒
B．物块沿槽下滑的过程中，物块与槽组成的系统动量守恒
C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，弹簧对物块的冲量等于零
D．物块第一次被反弹后一定不能再次回到槽上高h 处
8．(2019·山东高二学业考试)轻质弹簧左端固定于竖直墙壁上，右端连接一小球，开始时小球静止在光滑
水平直轨道上的O 点，如图所示，现将小球沿轨道移到A 点后由静止释放，小球运动到B 点时速度刚
好为零。忽略空气阻力，在小球由A 运动到B 的过程中，关于小球机械能的变化情况，以下判断正确的
是( )
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
9．(2020·安徽高三月考)如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m 的小球，从
离弹簧上端高h 处由静止释放。某同学探究小球在接触弹簧后向下的运动过程，他以小球开始下落的位
置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F 大小随小球下落的位置坐标x 的变化
关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的( )
A．当x=h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小
B．最低点的坐标为x=h+2x0
C．小球受到的弹力最大值等于2mg
D．小球动能的最大值为
10．(2020·浙江湖州中学高一期中)如图甲所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，
一质量为m 的小球，从离弹簧上端高h 处自由下落，接触弹簧后继续向下运动。若以小球开始下落的位
置为原点，沿竖直向下建立一坐标轴Ox，小球的速度v 随时间t 变化的图象如图乙所示。其中OA 段为
直线，AB 段是与OA 相切于A 点的曲线，BC 是平滑的曲线，则关于A、B、C 三点对应的x 坐标及加速
度大小，下列说法正确的是( )
A．xA＝h，aA＝0
B．xA＝h，aA＝g
C．xB＝h＋
，aB＝0
D．xC＝h＋
，aC＝0
11．(2020·山东高三期中)如图所示，质量均为m 的物块A、B 用轻弹簧相连，置于光滑水平面上，在水平
力F 的作用下，弹簧处于压缩状态，A 紧压在竖直墙壁上。现撤去力F，在以后的运动过程中B 的最大
的速度为v，对撤去力F 以后的过程，以下说法正确的是( )
A．物块A 离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A 的冲量大小为mv
B．物块A 离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A 做功的大小为
mv2
C．物块A、B 和弹簧组成的系统总动量守恒，机械能守恒
D．物块A 的最大速度为v
12．如图所示，一轻弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同一水平面且弹簧保持原长
的A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A 点摆向最低点的过程中( )
A．重物的机械能减少
B．系统的机械能不变
C．系统的机械能增加
D．系统的机械能减少
13．把质量为m 的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A 位置，如图甲所示，现将小球从A 位置由
静止释放，小球被弹簧弹起后升至最高位置C，如图丙所示，途中经过位置B 时弹簧正好处于原长状态，
如图乙所示，已知A、C 两位置高度差为h，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计，下列分析正确的是(
)
A．小球从A 运动到C 的运动过程中它的机械能守恒
B．小球从B 运动到C 的运动过程中它的机械能守恒
C．小球在位置B 时它的动能最大
D．弹簧释放的弹性势能最大值等于mgh
14．一升降机箱底部装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦和空气阻力的
影响，则升降机在从弹簧下端触地直到最低点的一段运动过程中( )
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D．重力势能减小，弹性势能增大
15．(2020·石嘴山市第三中学高二期中)用如图所示实验能验证动量守恒定律，两块小木块A 和B 中间夹着
一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平台面上，将细线烧断，木块A、B 被弹簧弹出，最后落
在水平地面上落地点与平台边缘的水平距离分别为
，
，实验结果表明下列说法正确的
是( )
A．木块A、B 离开弹簧时的速度大小之比
B．木块A、B 的质量之比
C．弹簧对木块A、B 做功之比
D．木块A、B 离开弹簧时的动能之比
16．(2020·河北唐山一中高三期中)如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径
R=0.6m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一
带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙
部分长度为L=0.8m，动摩擦因数为μ=0.2，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。
点燃炸药后，A 滑块到达轨道最高点时对轨道的压力大小恰好等于A 滑块的重力，滑块B 冲上小车。两
滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水
平直线上，且g=10m/s2。求：
(1)滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力；
(2)爆炸后A 与B 获得的总动能是多少？
(3)滑块B 滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。
17．(2020·江北·重庆十八中高二期中)如图所示，带有挡板的长木板置于光滑水平面上，轻弹簧放置在木板
上，右端与挡板相连，左端位于木板上的B 点。开始时木板静止，小铁块从木板上的A 点以速度
v0=4.0m/s 正对着弹簧运动，压缩弹簧，弹簧的最大形变量xm=0.10m；之后小铁块被弹回，弹簧恢复原
长；最终小铁块与木板以共同速度运动。已知当弹簧的形变量为x 时，弹簧的弹性势能
，式
中k 为弹簧的劲度系数；长木板质量M=3.0kg，小铁块质量m=1.0kg，k=600N/m，A、B 两点间的距离
d=0.70m。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)当弹簧被压缩最短时小铁块速度的大小v；
(2)小铁块与长木板间的动摩擦因数μ；
(3)试通过计算说明最终小铁块停在木板上的位置。
18．(2020·赤峰蒙古族中学高二月考)如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C 三个滑块，滑块A、
B 间通过一水平轻弹簧相连，滑块A 左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C 施加一个水平冲量使其以
初速度v0水平向左运动，滑块C 撞上滑块B 的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的
瞬间具有的弹性势能为1.35J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C 的质
量分别为mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，取
＝3.17。求：
(1)滑块C 的初速度v0的大小；
(2)当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C 的速度大小。
19．通过探究得到弹性势能的表达式为
。式中k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧伸长(或缩短)的长
度。请利用弹性势能的表达式计算下列问题。放在地面上的物体，上端系在劲度系数k＝400N/m 的弹
簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m 时，物
体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m 高处。如果不计弹簧质量和各种摩擦，求
拉力所做的功以及弹簧的弹性势能。
20．(2020·河南郑州·高三月考)如图所示，物块A 放在平台上，绕过定滑轮的细线一端连在物块A 上，另
一端连在物块B 上，物块B 与C 用轻弹簧相连，物块C 放在地面上，物块A、B、C 的质量分别为
2m、m、m，轻弹簧的原长为L0，劲度系数为
，重力加速度为g，物块A 与平台间的动摩擦因数为
μ=0.2。开始时，物块A 刚好要滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，然后给物块A 施加一个大小为
F=2mg 的水平向右的拉力，求：
(1)加上拉力F 的瞬间，物块A 的加速度a；
(2)当物块B 向上运动0.24L0的距离时，物块B 的速度v；
(3)若经过一段时间后撤去F，要使物块C 能离开地面，则拉力至少需要做的功W。
21．(2020·吉林吉林·高三月考)如图所示，在水平轨道右侧安放半径为
的竖直圆形光滑轨道，水平
轨道的PQ 段铺设特殊材料，调节其初始长度为
，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧
处于自然状态。质量为
的小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度
冲上轨道，
通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。物块A 与PQ
段间的动摩擦因数
，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度
。求：
(1)物块A 与弹簧刚接触时的速度大小v1；
(2)物块A 被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h1；
(3)调节PQ 段的长度L，A 仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L 满足什么条件时，物块A 能第一次返回圆
形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道？
22．(2020·黑龙江哈尔滨三中高三期中)如图所示，A、B、C 三个可视为质点的小物块质量分别为m1、
m2、m3，且m1＞m2。A、B 通过不可伸长的轻质细线绕过光滑的轻质滑轮相连，B、C 通过轻质弹簧相
连。用手拖住A 物体，使B、C 间的竖直弹簧恰好处于原长状态。松手释放A 后，A 下降距离d 时，C
恰好脱离地面且不能再上升。已知重力加速度为g。现把A 换成质量为2m1的D 物块，再次由弹簧处于
原长状态时释放D，求：
(1)弹簧劲度系数k 和释放D 的瞬间D 的加速度大小；
(2)当C 恰好脱离地面时D 的速度大小。
23．(2020·江西南昌二中高三月考)如图所示，足够长的光滑水平面上有A、B、C 三物块，A、B 质量都是
2kg，C 质量为4kg。A、B 分别与一个特殊的轻弹簧两端相粘连，弹簧处于压缩得不能再压缩状态而被
锁定，但还处于弹性限度内，此时弹簧储存的弹性势能为192J。现给A、B 及弹簧整体一个向右的6m/s
的速度，B 与C 碰后结合在一起不再分开。求：
(1)B、C 碰后C 的速度
(2)若碰后运动过程中某时刻弹簧突然解锁，求当弹簧恢复自由时A、B、C 的速度
24．(2020·湖北高三期中)在水平轨道上有一弹簧左端系于A 点，右端与质量为m 的小球接触但不连接。现
用外力推动小球将弹簧压缩至P 点保持静止，此时弹性势能为EP=mgs(s 为一定值)。P、B 之间的距离
为2.5s，小球与水平轨道的动摩擦因数为µ=0.1，静止释放弹簧，小球沿水平轨道向右运动从DB 进入
圆弧轨道，如图所示。BC 是一段竖直墙面，DEF 是固定在竖直平面内的一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道
上端D 点的切线水平，B、D 间距很小，可看作重合的点。圆心O 与轨道下端F 的连线与竖直墙面的夹
角为
。在BC 右边整个空间有水平向左、大小为F0=0.75mg 的恒定风力，小球进入圆孤轨道之后恰
好能沿着轨道DEF 运动，一段时间后从轨道下端F 处脱离，最后打在竖直墙面BC 的C 点。已知重力
加速度为g，sin
=0.8，求：
(1)小球运动到B 点的速度大小；
(2)轨道DEF 的半径R；
(3)小球打在C 点前瞬间的速度大小。
25．(2020·山东省青岛第十七中学高三月考)如图所示，斜面倾角为
，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，
轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg 的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为
原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg 的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为
1=0.75，木板
与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为
2=0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为
v1=5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x=0.5m 到P 点时，金属块与木板刚
好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木块达到共
速共用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹
性限度内，已知sin
=0.28、cos
=0.96，g 取10m/s2，结果保留二位有效数字。
(1)求木板开始运动瞬间的加速度；
(2)假设木板由P 点压缩弹簧到弹回P 点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑
行的距离。
