1
选择题对点练(四) 万有引力与航天
一、单项选择题:本题共7 小题,每小题4 分,共28 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.(2025 广西河池模拟)银河系中心黑洞通常被称为人马座A,质量约为太阳的440 万倍,
距离太阳约2.6 万光年。若将太阳绕银河系中心的运动视为匀速圆周运动,已知太阳质
量和引力常量,则下列物理量不可估算的是( )
A.太阳的运行周期
B.太阳的密度
C.太阳的运行角速度
D.太阳的运行线速度
2.(2025 山东济宁模拟)地球和月球间的距离为L,以地心作为坐标原点,沿地月连线建立x
轴,在x 轴上有一个探测器,如图甲所示。仅考虑地球和月球对探测器的引力作用,可得探
测器引力势能Ep随位置变化的关系如图乙所示,已知在x=d 处探测器的引力势能最大,
则地球与月球的质量之比为( )
A.(
d
L-d)
2
B.(
L-d
d )
2
C.(
d
L+d)
2
D.(
L+d
d )
2
3.(2025 福建厦门模拟)宇宙中广泛存在着一种特殊的天体系统——双星系统。如图甲所
示,某双星系统中的两颗恒星a、b 绕O 点做圆周运动,在双星系统外且与系统在同一平
面上的A 点观测双星运动,测得恒星a、b 到OA 所在直线的距离x 与时间t 的关系图像
如图乙所示,引力常量为G,则( )
2
A.a、b 的线速度之比为1∶1
B.a、b 的线速度之比为2∶3
C.a 的质量为50 π
2 x0
3
Gt0
2
D.a 的质量为200 π
2 x0
3
Gt0
2
4.假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动,周期为T;已
知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是( )
A.该飞船在轨运行的速度大小为2π R
T
B.月球的质量为4 π
2 R
3
GT
2
C.月球两极的重力加速度为32π
2 R
T
2
D.月球的第一宇宙速度为2√2π R
T
5.(2025 陕西汉中检测)某登月航天器登月过程中从绕月圆轨道Ⅰ变至椭圆轨道Ⅱ,两轨
道相切于A 点。已知轨道Ⅰ距离月球表面的高度为h1=300 km,轨道Ⅱ上的B 点距离月
球表面的高度为h2=100 km,月球半径约为R=1 700 km,下列说法正确的是( )
3
A.航天器在轨道Ⅰ与轨道Ⅱ上运行的周期之比T Ⅰ
2
T Ⅱ
2 = 27
8
B.航天器在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒
C.航天器在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在轨道Ⅰ上A 点的加速度
D.航天器返回地球,需在轨道Ⅱ上的A 点点火向前方喷气
6.(2025 重庆模拟)2024 年2 月23 日,我国成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道。
把地球看作是密度均匀的球体,这颗卫星轨道离地高度与地球半径之比为p。地球赤道
和两极重力加速度之比为q,以地球自转周期“天”为单位,这颗卫星的周期为( )
A.√
1+ p
1-q
B.√(1+ p)
3(1-q)
C.√
1-q
1+ p
D.√(1- p)
3(1+q)
7.(2025 福建泉州模拟)2024 年3 月20 日,鹊桥二号中继星成功发射升空,为嫦娥六号在月
球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h 的环月椭圆冻结轨
道(如图所示),近月点A 距月心约为2.0×103 km,远月点B 距月心约为1.8×104 km,CD 为
椭圆轨道的短轴,若只考虑卫星和月球间的相互作用,下列说法正确的是( )
A.鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81∶1
B.鹊桥二号在A、B 两点的速度大小之比约为3∶1
C.鹊桥二号从C 点经B 点到D 点的运动时间为12 h
D.鹊桥二号从C 点经B 点到D 点的运动过程中,万有引力对它先做正功再做负功
二、多项选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分。在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求,全部选对的得6 分,选对但不全的得3 分,有选错的得0 分。
4
8.(2025 山东聊城模拟)如图所示,某卫星绕地心做匀速圆周运动,运行的轨道与地球赤道
不共面,其周期为地球自转周期T 的7
10
。地球的质量为m 地,半径为R,引力常量为G。t0
时刻,卫星恰好经过地球赤道上P 点正上方。下列说法正确的是( )
A.卫星距地面的高度为
3√
49G m地T
2
400 π
2
-R
B.位于P 点处的物体随地球自转的向心加速度大于卫星的向心加速度
C.每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远的行程,卫星绕地心转过的角度比地球的
多π
D.每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远的行程,卫星绕地心转过的角度比地球的
多3π
9.(2025 陕西咸阳模拟)设想的真空列车隧道可使列车在地球表面任意两地间的运行时间
缩短。如图所示,把地球看作质量均匀分布、半径为R 的球体,在不考虑地球自转的情况
下,质量为m 的列车(不需要引擎)从A 点由静止进入隧道,从地球另一端的B 点离开隧道,
此过程中列车做简谐运动,所用的时间等于地球表面近地卫星周期的一半,与地心O 到
隧道的距离h 无关,图中O'为隧道的中点,已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为
零,地球表面的重力加速度大小为g,物体做简谐运动的最大速度等于振幅乘以角速度,即
vm=Aω=2π A
T
,下列说法正确的是( )
5
A.列车的动能不超过mgR
2
B.列车从A 点运动到B 点的时间为2π√
R
g
C.列车在O'点受到的支持力大小为mgR
h
D.列车在O'点的速度大小为√
R
2-h
2
R
g
10.(2025 辽宁大连模拟)我国的北斗系统可提供全球导航服务,包含地球静止同步轨道卫
星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星。如图为北斗系统中的两颗卫星,分别
是中圆地球轨道卫星A 和地球静止同步轨道卫星B,卫星A 环绕方向为顺时针,卫星B 环
绕方向为逆时针。已知地球自转周期为T0,地球的半径为R0,卫星A 和卫星B 到地球表
面的距离分别为3
4
R0、6R0,引力常量为G,图示时刻两卫星与地心连线之间的夹角为
120°,下列说法正确的是( )
A.卫星B 的动能一定小于卫星A 的动能
B.地球的质量m 地=4 π
2(7 R0)
3
GT 0
2
C.卫星A 围绕地球做圆周运动的周期TA=1
7
T0
D.从图示时刻开始,经过t= 1
27
T0时间两卫星第一次相距最近
6
参考答案
1.B 解析 根据题意,设太阳绕银河系中心运动的轨道半径为r,银河系中心的质量为m0,
根据万有引力提供向心力得Gm0m
r
2 =mv
2
r =mω2r=m4 π
2
T
2 r,可得v=√
G m0
r
,ω=√
G m0
r
3 ,T=2π
√
r
3
G m0
,则可以求出太阳的运行周期、角速度、线速度,故A、C、D 不符合题意;太阳的
半径未知,所以无法求出太阳的密度,故B 符合题意。
2.A 解析 设地球质量为m 地,月球的质量为m,探测器的质量为m0,引力的合力做功与引
力势能的关系为FΔx=-ΔEp,可知Ep-x 图线的切线斜率绝对值为|
Δ E p
Δ x |=F,由图乙可知,图
线切线斜率绝对值先减小后增大,则地球和月球对探测器的作用力的合力随探测器位置
x 的增大,先逐渐减小后逐渐增大;在x=d 处图线的切线斜率为0,则探测器在该处受地球
和月球的引力的合力为零,即G m地m0
d
2
=G
mm0
( L-d )
2 ,可得地球与月球的质量之比为
m地
m =(
d
L-d)
2
,故选A。
3.C 解析 由x-t 图像可知,该双星系统的周期为2t0,a 与轨迹中心间的距离为3x0,b 与轨
迹中心间的距离为2x0,可得ra∶rb=3∶2,由线速度v=ωr,可知a、b 的线速度之比为
va∶vb=3∶2,故A、B 错误;由题意可知maω2ra=mbω2rb,可得ma∶mb=2∶3,对b,由万有引
力提供向心力得mb4 π
2
T
2 rb=G
mamb
(ra+rb)
2 ,又T=2t0,解得ma=50 π
2 x0
3
Gt0
2
,故C 正确,D 错误。
4.C 解析 该飞船在轨运行的速度大小为v=2π ( R+ R)
T
= 4 π R
T
,故A 错误;根据G
m月m
(2 R)
2 =m4 π
2
T
2 ·2R,解得月球的质量为m 月=32π
2 R
3
GT
2 ,故B 错误;根据Gm月m
R
2 =mg 可得月球
7
两极的重力加速度为g=32π
2 R
T
2
,故C 正确;根据Gm月m
R
2 =mv1
2
R
,月球的第一宇宙速度为
v1=4√2π R
T
,故D 错误。
5.B 解析 根据开普勒第三定律有( R+h1)
3
T Ⅰ
2
=(
2 R+h1+h2
2
)
3
T Ⅱ
2
,解得T Ⅰ
2
T Ⅱ
2 = 20
3
19
3,故A 错误;
航天器在轨道Ⅱ上运行时只有引力做功,机械能守恒,故B 正确;根据牛顿第二定律有G
m月m
r
2
=ma,得a=Gm月
r
2
,所以航天器在轨道Ⅱ上A 点的加速度等于在轨道Ⅰ上A 点的加速
度,故C 错误;航天器返回地球,需在轨道Ⅱ上的A 点点火向速度的反方向即后方喷气,使
航天器速度增大,故D 错误。
6.B 解析 对于该卫星,有Gm地m
r
2
=m4 π
2
T
2 r,物体在极地,有Gm地m
R
2 =mg,根据题意有
r=R+pR,整理得4 π
2
T
2 R=
g
(1+ p)
3 ,设地球自转周期为T0,物体在赤道时,有Gm地m
R
2 -mg0=m
4 π
2
T 0
2 R,整理得4 π
2
T 0
2 R=g-g0,又g0=qg,解得T=√(1+ p)
3(1-q)T0,故选B。
7.A 解析 根据牛顿第二定律可得Gm月m
r
2
=ma,即a=Gm月
r
2
,所以aA
aB
= rB
2
r A
2 = 81
1 ,A 正确;根
据开普勒第二定律可知,在A、B 两点有1
2vAΔt·rA=1
2vBΔt·rB,解得v A
vB
= 9
1,B 错误;鹊桥二号
环月做椭圆运动,远离月球时做减速运动,靠近月球时做加速运动,所以鹊桥二号从C 点
经B 点到D 点的平均速度小于从D 点经A 点到C 点的平均速度,所以鹊桥二号从C 点
经B 点到D 点的运动时间大于半个周期,即大于12 h,C 错误;鹊桥二号从C 点经B 点到
D 点的运动过程中,先远离再靠近月球,万有引力对它先做负功再做正功,D 错误。
8
8.AD 解析 根据万有引力提供向心力可得G m地m
( R+h)
2 =m
4 π
2
(
7
10 T)
2(R+h),得卫星距地面
的高度为h=3√
49Gm地T
2
400 π
2
-R,故A 正确。卫星的向心加速度大小为a=
4 π
2
(
7
10 T)
2(R+h)=
400 π
2
49T
2 (R+h),位于P 点处物体的向心加速度大小为a'=4 π
2
T
2 R<a,故B 错误。卫星距P 点
最近或最远时,一定都在赤道正上方,每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远,需分
两种情况讨论,第一种情况:卫星转了x 圈再加半圈、P 点转了y 圈(x、y 为正整数),则有
7
10
Tx+1
2 × 7
10
T=yT,x、y 无解,所以这种情况不可能;第二种情况:卫星转了x 圈、P 点转
了y 圈再加半圈,则有7
10
Tx=yT+1
2
T,可得x=5,y=3,则卫星绕地心转过的角度比地球的多
3π,故C 错误,D 正确。
9.AD 解析 根据题意可知,当列车经过地心O 时动能最大,此时列车的运动为近地卫星
的一个分运动(匀速圆周运动可分解为两个正交的简谐运动),列车经过地心时的速度等
于第一宇宙速度v=√gR,所以列车的动能不超过1
2
mv2=mgR
2
,A 正确;在地球表面附近,卫
星的周期T 满足Gm地m
R
2
=m4 π
2
T
2 R,在地球表面附近有Gm地m
R
2
=mg,联立解得T=2π√
R
g
,所
以列车从A 点运动到B 点的时间为t=T
2 =π√
R
g
,B 错误:将地球看作两部分,一部分是以O
为球心、h 为半径的小球,另一部分即剩余的球壳,球壳对O'处的引力为零,列车在O'点
9
受到的支持力大小F=Gm地m
R
2
· h
R = mgh
R ,C 错误;列车在O'点的速度大小v=
√R
2-h
2· 2π
T =√
R
2-h
2
R
g,D 正确。
10.BD 解析 根据牛顿第二定律得Gm地m
r
2
=mv
2
r
,解得v=√
G m地
r
,因为两颗卫星做圆周
运动的轨迹半径rB>rA,所以vB<vA,但卫星A、B 的质量关系不确定,所以两颗卫星的动能
大小的关系也不确定,A 错误;地球静止同步轨道卫星B,其周期与地球自转周期相等,根
据万有引力提供向心力有G
m地m
( R0+6 R0)
2 =m4 π
2
T 0
2 (R0+6R0),解得m 地=4 π
2(7 R0)
3
GT 0
2
,B 正确;
根据开普勒第三定律有( R0+6 R0)
3
T 0
2
=(R0+ 3
4 R0)
3
T A
2
,解得TA=1
8T0,C 错误;卫星A 环绕方向
为顺时针,卫星B 环绕方向为逆时针,从图示时刻开始,经过时间t 两卫星第一次相距最近,
则有2π
T 0
t+2π
T A
t=120°
360°
×2π,解得t= 1
27
T0,D 正确。
