文档文本内容
试卷第1页，共4页
北流市2025 届高中毕业班5 月份适应性测试
数
学
（全卷满分150 分，考试时间120 分钟）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效。
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合
2
1
0
A
x x
，
0,1,2
B
，则A
B
（
）
A．
0
B．
1
C．
0,1
D．
1,0,1
2．若
4
sin
,tan
0
5
，则cos（
）
A．3
5
B．
3
5
-
C．3
4
D．
3
4
3．若a R ，则“
3
a
”是“
1
3
0
a
a
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．在数列
na
中，
1
1
a ，点
1
,
n
n
P a a
在直线
2
y
x
上，则
5S （
）
A．9
B．16
C．25
D．36
5．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2 名同学各自选两
种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（
）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
6．在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
1
2
A B
AA
，
4
AB
，则该正四棱台的外接球的表面积
为（
）
A．40π
B．40 10
C．40
3
D．40 10π
3
7．已知
1
2
,
F F 分别为椭圆
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左、右焦点，经过坐标原点的直线与C 交于A ，B ，
若
1
2
3
AF
AF
，则
1
cos
AF B
（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
1
3
D．
3
3
8．已知函数
3
5
2
1
2
x
f
x x
x
，若正数m，n 满足
1
1
2
f
f n
m
，则
1
2m
n
的最小
值为（
）
A．3
B．4 2
C．2
2 2
D．3
2 2
{#{QQABIYQw4goQkESACC4KVQWKCgmQsIIjJSoMAQCQuAQDiANIFIA=}#}
试卷第2页，共4页
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.）
9．下列说法中正确的是（
）
A．一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据5，则该样本的平均
数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据
50
m m
，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41 的极差为40，则这组数据
的第m 百分位数为79
D．依据小概率值
0.005
的独立性检验推断两个分类变量X 与Y 之间是否有关联，经计
算得
2
0.005
9.342
7.879
x
，则可以认为“X 与Y 没有关联”
10．已知函数
2
1
2
f
x
x
x
，则下列说法正确的是（
）
A．
f x 的极小值点为1
B．
f x 的最小值为3
C．不存在过原点且与曲线
y
f
x
相切的直线
D．若
1
2
f x
f x
，
2
1
,
0
x x
且
2
1
x
x
，则
2
1
2
1
2
192
x
x
x x
的最小值为128
11．如图，类似“心形”的曲线E ，可以看成由上部分曲线
1
C ：
2
2
y
x
x
，下部分曲线
2
C ：
2
2
2
2
1
0
y
x
y
a
b
构成，过曲线
2
C 的焦点
0, 1
F
的直线l 与曲线
2
C 交于M，N两点，
,
P x y
是“心形”曲线E 上的动点，下列说法正确的是（
）
A．
2
C 的方程为
2
2
1
0
5
4
y
x
y
B．
2
2
1
x
y
的最大值为1
5
C．直线y
x
m
与曲线E 有4 个交点，则m 的取值范围为
0, 2
1
D．
OMN
△
面积的最大值为
5
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.）
12．设
10
3
i
z
i
，则z 的共轭复数为
.
13．已知函数
2sin
6
f
x
x
，
0
在
0,上恰有一个最大值和一个最小值，则的
最小值为
.
14．对于两个空间向量
1
1
1
,
,
a
x y z
与
2
2
2
,
,
b
x
y
z
，我们可以定义它们之间的欧式距离为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
,
d a b
x
x
y
y
z
z
，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；
根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为
1
2
1
2
1
2
,
D a b
x
x
y
y
z
z
，曼哈
顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也
{#{QQABIYQw4goQkESACC4KVQWKCgmQsIIjJSoMAQCQuAQDiANIFIA=}#}
试卷第3页，共4页
被称为城市街区距离．如图，在棱长为1的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
,
d BD CB
；
若点P 在上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
内（含边界）运动，且
2
AP
，则
,
D AB AP
的取值范围
是
．
四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）记
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
.
(1)求A ；
(2)若
2 2
a
，
ABC
△
的面积为2 3 ，求
ABC
△
的周长
16．（15 分）如图．在四棱锥P
ABCD
中，
//
BC AD ，
1
AB
BC
，
3
AD
，点E 在AD 上，
且PE
AD
，
2
PE
DE
．
(1)若F 为线段PE 中点，求证：
//
BF
平面PCD；
(2)若AB 平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD夹角的正弦值．
17．（15 分）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
（
0
a
，
0
b
）的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，离心率
为2，P 是E 的右支上一点，且
1
2
PF
PF
，
1
2
PF F
△
的面积为3．
(1)求E 的方程；
(2)若E 的左、右顶点分别为A，B，过点
2F 的直线l 与E 的右支交于M，N 两点，直线AM
和BN 的斜率分别即为
AM
k
和
BN
k
，求
2
2
3
AM
BN
k
k
的最小值．
{#{QQABIYQw4goQkESACC4KVQWKCgmQsIIjJSoMAQCQuAQDiANIFIA=}#}
试卷第4页，共4页
18．（17 分）已知函数
e
1
x
f
x
ax
，a R .
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)当
0,
x
时，
ln
f
x
x x
恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
1
a 时，设
2
g x
f x
x
，证明：
g x 在
0,
上存在唯一的极小值点
0x 且
0
3
4
g x
.
参考数据：
3e
20.09
.
19．（17 分）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1 分钟，猫和老鼠都可以选择进行一
次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分
钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房
间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0 分钟时，猫在0 号房间，老
鼠在1 号房间.设在第n 分钟时，猫和老鼠在0 号房间的概率分别为
np ，
nq .
(1)求第1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1 的概率；
(2)求证：
1
{
}
2
np
，
5
4
{
}
3
3
n
n
q
p
均为等比数列；
(3)在第几分钟时，老鼠在0 号房间的概率最大.
{#{QQABIYQw4goQkESACC4KVQWKCgmQsIIjJSoMAQCQuAQDiANIFIA=}#}
