文档文本内容
小题精练14 电磁感应中的电荷量、热量、单双棒
问题
一、求电荷量的三种方法
1.q＝It(式中I 为回路中的恒定电流，t 为时间)
(1)由于导体棒匀速切割磁感线产生感应电动势而使得闭合回路中的电流恒定，根据电流定义式
可知q＝It。
(2)闭合线圈中磁通量均匀增大或减小且回路中电阻保持不变，则电路中的电流I 恒定，t 时间
内通过线圈横截面的电荷量q＝It。
2.q＝n(其中R 为回路电阻，ΔΦ 为穿过闭合回路的磁通量变化量)
(1)闭合回路中的电阻R 不变，并且只有磁通量变化为电路提供电动势。
(2)从表面来看，通过回路的磁通量与时间无关，但ΔΦ 与时间有关，随时间而变化。
3.Δq＝CBLΔv(式中C 为电容器的电容，B 为匀强磁场的磁感应强度，L 为导体棒切割磁感线的
长度，Δv 为导体棒切割速度的变化量)
在匀强磁场中，电容器接在切割磁感线的导体棒两端，不计一切电阻，电容器两极板间电压等
于导体棒切割磁感线产生的电动势E，通过电容器的电流I＝＝，又E＝BLv，则ΔU＝BLΔv，可得
Δq＝CBLΔv。
二、求解焦耳热Q 的三种方法
三、单杆模型
初态
v0≠0
v0＝0
示意图
质量为m、电阻
不计的单杆ab
以一定初速度v0
在光滑水平轨道
上滑动，两平行
导轨间距为l
轨道水平光滑，
单杆ab 质量为
m，电阻不计，
两平行导轨间距
为l
轨道水平光滑，
单杆ab 质量为
m，电阻不计，
两平行导轨间距
为l，拉力F 恒
定
轨道水平光滑，
单杆ab 质量为
m，电阻不计，
两平行导轨间距
为l，拉力F 恒
定
运动分析
导体杆做加速度
越来越小的减速
运动，最终杆静
止
当E 感＝E 时，v
最大，且vm＝，
最后以vm匀速
运动
当a＝0 时，v 最
大，vm＝，杆开
始匀速运动
Δt 时间内流入电
容器的电荷量
Δq＝CΔU＝
CBlΔv
电流I＝＝CBl＝
CBla
安培力F 安＝IlB
＝CB2l2a
F－F 安＝ma，a
＝，
所以杆以恒定的
加速度匀加速运
动
能量分析
动能转化为内
能，mv＝Q
电能转化为动能
和内能，E 电＝
mv＋Q
外力做功转化为
动能和内能，WF
＝mv＋Q
外力做功转化为
电能和动能，WF
＝E 电＋mv2
四、双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨
光滑不等距导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度l1＝l2
质量m1＝m2 不
电阻r1＝r2
长度l1＝2l2
运动分析
杆MN 做变减速运动，杆PQ 做
变加速运动，稳定时，两杆的加
速度均为零，以相等的速度匀速
运动
稳定时，两杆的加速度均为零，
两杆的速度之比为1∶2
能量分析
一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度l1＝l2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度l1＝l2
运动分析
开始时，两杆做变加速运动；稳
定时，两杆以相同的加速度做匀
加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ 杆先变
加速后匀速运动；MN 杆静止。
若F>2Ff，PQ 杆先变加速后匀加
速运动，MN 杆先静止后变加速
最后和PQ 杆同时做匀加速运
动，且加速度相同
能量分析
外力做功转化为动能和内能，WF
＝ΔEk＋Q
外力做功转化为动能和内能(包括
电热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q 电
＋Qf
【例题1】（2025·浙江·一模）竖直方向的圆柱形区域内存在沿竖直轴线方向的磁场，磁感应强度
的表达式为B = B0sin ωt（ω 未知），其产生的感生电场满足E =1
2 B0ωr cosωt，r 为某点到圆心
O 点的距离。如图所示，现将一光滑绝缘细管固定于某一水平截面内，沿管方向设为x 轴。管内有
一质量为m，电荷量为q 的小球，t=0 时小球从A 点静止释放，已知OO
'⊥O
' A，OO
' =d，
∠AOO
' =α，小球恰好以O
'为平衡位置做简谐运动。管的内径远小于d，小球直径略小于管的内
径，简谐运动周期公式为T =2π ❑√
m
k
。则ω 为（ ）
A．B0qd
m tan α
B．B0qd
2m tan α
C．B0q
m tan α
D．
B0q
2m tan α
【例题2】（2025·湖南永州·一模）如图所示，固定的两条足够长的倾斜光滑平行导轨MN M
′ N
′和
PQ P
′Q
′，上部宽轨间距为4 L，下部窄轨间距为L，导轨电阻不计，两导轨与水平方向的夹角
θ =37°。宽轨与窄轨分别处于垂直导轨平面方向向上、向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B
。两根金属棒a、b分别垂直导轨放置在宽轨和窄轨上。金属棒b被锁定，a、b两棒接入导轨间的
电阻分别为2 R和R，质量分别为2m和m，金属棒a 用绝缘轻质细线跨过光滑定滑轮和一个质量为
3m的小物块c相连。金属棒a距离滑轮足够远，导轨上方的细线与导轨平行。物块c开始时距地面
足够远并在外力作用下保持静止。现撤去外力，物块c由静止开始竖直向下运动。当物块c的速度为
v0（未匀速）时，立即烧断细线且解除金属棒b的锁定，再经过时间t0，金属棒b沿导轨下滑的距离
为s，金属棒a沿斜面上滑的速率第一次变为0.6 v0。已知重力加速度为
g，sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。则（ ）
A．撤去外力瞬间，细线对c的拉力大小为12
5 mg
B．烧断细线后的瞬间，金属棒a的加速度大小为3
5 g+ 3 B
2 L
2v0
2mR
C．烧断细线后经过时间t0，b棒的速度大小为4
15 v0+ 1
5 gt0
D．烧断细线后经过时间t0，金属棒a上滑的距离为s
3 + 2mR(2v0−3 gt0)
15 B
2 L
2
1.
（2025·湖南·一模）如图所示，有两个同心共面的金属环放置于磁感应强度B =0.5T的匀强磁场中，
磁场方向垂直于纸面向下，两圆环的半径分别为R1=0.5 m和R2=0.3 m，金属杆在两圆环之间的电
阻为0.3Ω，以角速度ω沿顺时针方向绕O 点匀速旋转。用导线把两个环与电源和一保险丝电阻相
连接。电源电动势E =2V，内阻为r =0.5Ω，保险丝电阻R =0.2Ω，熔断电流为1A，则（ ）
A．电路中的电流方向一定从上至下流经R
B．当ω=50rad/s时，金属杆两端的电压为2V
C．若金属杆反向转动，只要ω足够小，保险丝就不会被熔断
D．当ω<75rad/s时，保险丝不会被熔断
2.
（2026·重庆沙坪坝·一模）某学习小组设计了一台电磁滑梯装置，简化模型如图所示。足够长倾角
为θ的光滑绝缘斜面上分布着间隔均匀的水平平行磁场带，内有磁感应强度均为B，方向垂直斜面
向下的匀强磁场，每个磁场带的宽度及相邻磁场带间隔均为L。现将一个质量为M，电阻为R，边
长为L的正方形金属线框abcd从斜面某处静止释放，已知重力加速度为g，则下滑过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．线框重力做功等于其动能增加、安培力做功、电热能之和
B．线框加速度随时间均匀减小
C．线框匀速时的速度大小v = MgR
B
2 L
2
D．若线框从静止到速度为v的过程中所用时间为t，则正、反向通过导线横截面的电荷量之和
Q = Mgt sinθ−Mv
BL
3.
（2025·浙江·一模）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，
导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O 点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x 轴夹角均为θ，一
电容为C 的电容器与导轨左端相连，初始两板不带电。导轨上的金属棒与x 轴垂直，在外力F 作用
下从O 点开始以速度v 向右匀速运动，忽略所有电阻，不考虑电磁辐射。下列说法正确的是
（ ）
A．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
B．金属棒到达x0时，通过金属棒的电流为BCv2tanθ
C．金属棒到达x0时，电容器极板带电量为2BCv2x0tanθ
D．从初始到金属棒到达x0的过程中，外力F 做的功为W 外=2B
2C v
2 x0
2 tan
2θ
4.
（2025·浙江·一模）如图，a、b 两完全相同的正方形均匀导线框ABCD，右边与匀强磁场边界重合，
磁感应强度与线框平面垂直，导线框a 在外力作用下匀速进入磁场、导线框b 以CD 为轴匀速转入
磁场，至第一次转至图中虚线位置，所用时间相同。下列说法正确的是 （ ）
A．两线框的电流方向都是A→B→C→D→A
B．a 线框电流的大小等于b 线框电流的平均值
C．外力对a 线框做的功大于对b 线框做的功
D．b 线框自图示位置转过90°~180°过程中磁通量的变化率逐渐增大
5.
（2026·江苏·一模）如图（a）所示，光滑金属导轨PQMNO由半圆形金属导轨PQ和直线金属导轨
QM、NO构成，金属导轨NO与QM平行，长度相等，金属导轨的电阻均不计。MN间连接阻值为
R =1Ω的定值电阻。t =0时刻，电阻为2Ω的导体棒从图示位置开始绕O点沿圆弧顺时针转动，其
角速度恒定，经6s由P转到Q。半圆形区域内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B1=2T
的匀强磁场，矩形abcd区域内存在磁场方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小B2随时
间t变化的图像如图（b）所示。已知半圆形金属导轨的半径为0.5 m ,O为其圆心，3∼6s内，电阻
R中的电流恒为零，下列说法正确的是（ ）
A．0∼3s内导体棒上O点的电势高于P点
B．0∼3s内导体棒OP两端的电压的绝对值为π
48
V
C．0∼3s内导体棒OP克服安培力做功π
2
144 J
D．边界ab、cd的间距为π
4 m
6.
（2025·浙江台州·一模）如图所示，日字形金属框CDEF长2 L、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，
左侧接一个阻值为4 R的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为2 R的金属棒PQ和金属棒CF，其
它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为2 L的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感
应强度大小为B。已知金属框以初速度v0进入匀强磁场，最终CF棒恰好没从磁场中穿出。下列说
法正确的是（ ）
A．在PQ棒进入磁场前，通过PQ棒间定值电阻的总电荷量为B L
2
10 R
B．在PQ棒进入磁场后，通过DE间定值电阻的总电荷量为B L
2
10 R
C．PQ棒刚进入磁场时的速度为2
5 v0
D．整个过程中D、E间定值电阻产生的焦耳热为7
125 m v0
2
7.
（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，将表面带有绝缘漆、粗细均匀的金属线圈的一部分扭
转半圈，扭成一“∞”形导线框，导线框所在空间存在斜方向的均匀磁场，磁场方向与水平方向的夹
角为α，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。已知大圆的半径为2r，小圆的半径为r，金属
线的横截面积为S0，电阻率为ρ，规定磁场斜向右上方为正。下列说法正确的是（ ）
A．0~t0
2
时间内，导线框有缩小的趋势
B．0~t0时间内，小圆中的感应电流方向从上向下看沿顺时针
C．导线框中的感应电动势大小为10 π B0r
2sin α
t0
D．0~t0时间内，导线框中产生的焦耳热为6 π B0
2 S0r
3sin
2α
ρt0
8.
（2025·黑龙江大庆·一模）如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于虚线
AB 左侧始终竖直向下的磁场B1中，bc 边与虚线AB 重合，虚线AB 右侧为B2=0.2T的匀强磁场。导
体框的质量m=1kg，电阻R =0.5Ω、边长L=1m，磁感应强度B1随时间t 的变化图像如图乙所示。
在t =1s
时，导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度v0=0.1m /s，下列说法正确的是（ ）
A．t =0.5s时流过ad 边的电流方向由a 到d
B．t =0.5s时流过ad 边的电流大小为0.4A
C．导体框的bc 边刚越过虚线AB 时受到的安培力的大小为0.024N
D．当线框速度减为0.02m/s 时ad 边移动的距离为4
9 m
9.
（24-25 高二下·江苏南京·期中）如图甲所示，空间中存在一方向与纸面垂直、磁感应强度随时间
变化的匀强磁场，一边长为L 的单匝正方形线框固定在纸面内，线框的电阻为R，线框一半面积在
磁场中，M、N 两点为线框与磁场边界的交点。t =0时磁感应强度的方向如图甲所示，磁感应强度
B 随时间t 变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，线框内的感应电流先顺时针再逆时针
B．t0~t1时间内，M 点电势低于N 点电势
C．0~t0时间内，线框所受安培力的方向水平向右
D．线框中的感应电流大小为B0 L
2
2t0 R
10. （2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，在磁感应强度随时间均匀变化的匀强磁场中垂直磁场
放置一圆形金属漆包线圈（磁场方向垂直线圈平面向里），线圈中产生的感应电流为I 0。若仅将线
圈扭转成图乙所示的形状，其中大圆半径是小圆半径的3 倍，假设扭转过程中金属线圈的总长度和
粗细均保持不变，不考虑导线中电流产生磁场对磁通量的影响，则图乙线圈中产生的感应电流大小
为（ ）
A．1
2 I 0
B．5
8 I 0
C．8
5 I 0
D．2 I 0
11. （2025·浙江宁波·三模）如图甲为利用电磁驱动原理制作的交流感应电动机。三个线圈连接到三相
电源上，电流形成的磁场可等效为以角速度ω0转动的辐向磁场。边长为l、总电阻为R 的单匝正方
形线框ABCD 可绕其中心轴OO′旋转，图乙为这种驱动装置的俯视图，线框的两条边AB、CD 所处
位置的磁感应强度大小均为B。当线框由静止开始转动时，AB、CD 两条边受到的阻力均为Ff=kv，
其中比例系数k = 2B
2l
2
R
，v 为AB、CD 两条边的线速度大小。不计其他阻力。则当线框达到稳定转
动时（ ）
A．线框的转动方向与辐向磁场的转动方向相反
B．线框的角速度大小为ω0
3
C．线框的感应电动势大小为Bl
2ω0
2
❑
D．线框AB 边所受安培力大小为B
2l
3ω0
R
❑
12. （25-26 高三上·广东·开学考试）如图所示，竖直平面内固定有一光滑导电轨道abedc，其中ab 和
cd 为竖直轨道，bed 为半圆弧轨道。半圆弧轨道直径为D，最低点e 处接有一体积可忽略不计、阻
值为R 的电阻，有一光滑细长钉子垂直轨道平面于圆心O 点。两个质量均为m 的带孔导体小球分
别穿在两竖直轨道上（小球孔径略大于轨道直径），小球之间接有一条长度为D 且不可伸长的轻质
软导线。整个装置处在磁感应强度大小为B，方向水平向里的匀强磁场中。将两小球同时从距离圆
心高度为H 处无初速度释放，小球进入半圆弧轨道前已经做匀速运动。已知重力加速度为g，各连
接点接触良好形成电流回路，除R 外其余电阻均不计，则以下说法正确的是（ ）
A．小球在竖直轨道上运动的最大速度为mgR
B
2 D
2
B．小球在竖直轨道运动过程，电阻R 产生的焦耳热为2mgH
C．小球刚进入圆弧瞬间，回路电流大小为2mg
BD
D．从释放小球到小球抵达最低点过程，流经电阻R 中的电量为BD (8 H +π D)
8 R
二、多选题
13. （2025·云南红河·一模）列车进站时可借助电磁阻尼辅助刹车，其简化结构如下图所示：站台旁轨
道上足够长的区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，在车身下方固定一与车身
等大的矩形单匝线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力来辅助列车刹车。列车进站时，线框
ab 边恰好进入磁场时列车的速度为v0，当线框cd 边进入磁场并运动一段时间后，列车停止。已知
列车的质量为m，车身长为s，线框ab 边的长度为L（L 小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为
R，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。则列车（ ）
A．刚进站时加速度大小a= B
2 L
2v0−fR
mR
B．从进站到停下来所用时间
t = Rm v0−B
2 L
2s
fR
C．从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的热量
D．完全在磁场中运动时，线框中感应电流为零，ab 间电势差也为零
14. （2026·黑龙江辽宁·一模）电磁制动是一种利用电磁感应产生的电磁力来制动的技术，广泛应用于
各种机械设备中。如图甲所示为一竖直下降的电梯内电磁制动系统核心部分模拟原理图，“日”字形
导线框始终处于竖直平面内，线框水平部分EF = PQ = MN = L=1.0 m，电阻均为R =2.0 Ω，PQ
与EF 、MN间距均为L=1.0 m，线框竖直部分电阻不计，线框总质量m=600kg；线框下方有垂
直纸面向外的有界匀强磁场，场强大小B =100T，磁场高度h=1.0 m，上下边界水平，导线框以初
速度v0进入磁场，流过MN 的电流与下降路程s 的关系如图乙所示（部分），不计空气阻力，重力
加速度g 取10 m /s
2。求（ ）
A．线框刚进入磁场时，MN 边中电流的方向N →M
B．线框刚进入磁场时，线框的速度6.0 m /s
C．PQ 边刚进入磁场时，线框的加速度a=40
3 m /s
2
D．线框MN 边穿越磁场的过程MN 边产生的焦耳热Q
′ =9400J
15. （2026·河北·一模）如图所示，光滑绝缘水平面上有一分界线MN，MN 的右侧存在范围足够大的竖
直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，矩形线框abcd 由粗细均匀的导线围成，开始时线框位于
虚线MN 的左侧，且cd 边与虚线MN 平行，线框的短边与长边的边长分别为 ab=L、bc=2L，线框
的质量为m、电阻为R。现给线框一水平向右的初速度v0，线框刚好完全进入磁场。下列说法正确
的是（ ）
A．线框进入磁场的过程，线框中的感应电流方向为adcba
B．cd 边刚越过MN 瞬间，cd 间的电压为5
6 BLv0
C．整个过程穿过线框某一横截面的电荷量为B L
2
R
D．线框刚好有一半进入磁场时，线框的加速度大小为B
2 L
2v0
2mR
16. （2025·甘肃武威·模拟预测）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L
的正方形单匝线圈abcd，在轨道间存在两个宽度均为L 的匀强磁场，边界1、2 间磁场的磁感应强
度大小为B、方向竖直向上，边界2、3 间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车
（包含线圈）的质量为m，运动过程中列车关闭动力，当线圈的ab 边运动到磁场边界1 时的速度
为v0，ab 边穿过磁场边界2 后，再向右运动L
2
速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．线圈ab 边经过边界2 时的速度大小为v0
4
B．线圈ab 边刚进入磁场时与线圈ab 边刚通过边界2 时的加速度大小之比为4∶1
C．线圈ab 边从刚进入磁场到刚穿过边界2 的过程中线圈产生的热量为20m v0
2
121
D．从线圈cd 边刚通过边界1 到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为3mv0
11BL
17. （2025·广西·模拟预测）如图（a）所示，光滑金属导轨PQMNO由半圆形金属导轨PQ和直线金属
导轨QM、NO构成，金属导轨NO与QM平行，长度相等，金属导轨的电阻均不计。MN间连接阻
值为R =1Ω的定值电阻。t =0时刻，电阻为2Ω的导体棒从图示位置开始绕O点沿圆弧顺时针转动，
其角速度恒定，经6s由P转到Q。半圆形区域内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
B1=2T的匀强磁场，矩形abcd区域内存在磁场方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小
B2随时间t变化的图像如图（b）所示。已知半圆形金属导轨的半径为0.5 m ,O为其圆心，3∼6s内，
电阻R中的电流恒为零，下列说法正确的是（ ）
A．0∼3s内导体棒上O点的电势高于P点
B．0∼3s内导体棒OP两端的电压的绝对值为π
72 V
C．0∼3s内导体棒OP克服安培力做功π
2
144 J
D．边界ab、cd的间距为π
4 m
18. （25-26 高三上·云南·月考）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面上建立直角坐标系xOy，第一象限
区域内存在着垂直于桌面向下的磁场，磁感应强度大小B随位移x变化的关系图像如图乙所示。一
质量m=0.2kg、边长L=1m的正方形单匝金属线框以v0= 4 m /s的速度沿x轴正方向匀速运动，其
中ad边与x轴重合，t =0时刻ab边恰好经过y轴进入磁场，此时对线框施加水平方向的外力使线框
保持匀速运动，当线框完全进入磁场时撤去外力，已知线框的总电阻R =1Ω，下列说法正确的是
（ ）
A．ab边进入磁场的瞬间，线框受到的安培力为1N
B．cd边进入磁场前的瞬间，水平外力的功率为16 W
C．线框完全进入磁场后，线框中磁通量的变化量为0
D．线框停止时ab边运动到x = 4.2m处
19. （25-26 高三上·江西·期中）如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，
导轨电阻不计，间距为L。金属棒a、b垂直导轨放置，电阻均为R，质量分别为m和3m。虚线MN
右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒a、b分别以初速度v0和v1同时
沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从a棒进入磁场区域开始，其电流i随时间t变化的图像如图
乙所示，则（ ）
A．a、b棒的初速度满足v1= 2
3 v0
B．b
棒即将进入磁场时，a
棒在磁场中移动的距离为4 mR v0
3 B
2 L
2
C．两棒最终的间隔距离为mR v0
3 B
2 L
2
D．两棒最终的间隔距离为mR v0
B
2 L
2
20. （2025·广东·模拟预测）如图所示，正方形金属线框abcd 下方存在宽度为L 的匀强磁场区域，该区
域的上、下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h 处由静止开始自由下
落。线框ab 边进入磁场时开始减速，cd 边穿出磁场时的速度是ab 边进入磁场时速度的1
2
。已知线
框的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab 边始终与磁场边界
平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．线框ab 边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda
B．线框ab 边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为BL❑√gh
C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为B
2 L
2
mR
❑√2gh
D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为2mgL+ 3
4 mgh
