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题型16 竞赛降阶问题
题组一
1.(32 届预赛)如图所示,O 点是小球平抛运动抛出点;在O 点有一个频闪点光源,闪光频率为30 Hz;在
抛出点的正前方,竖直放置一块毛玻璃,小球初速度方向与毛玻璃平面垂直。在小球抛出时点光源开
始闪光。当点光源闪光时,在毛玻璃上有小球的一个投影点。已知图中O 点与毛玻璃水平距离
L=1.20 m,测得第一、二个投影点之间的距离为s=0.05 m。重力加速度g 取10 m/s2。下列说法正确
的是( )
A.小球做平抛运动的初速度为4 m/s
B.小球做平抛运动过程中,在相等时间内的速度变化不相等
C.小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大
D.小球第二、三个投影点之间的距离为0.15 m
2.(2024 浙江1 月选考)如图甲所示,质量相等的小球和点光源,分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水
平杆上,间距为l,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l,小球和光源做小振幅运动时,在观测屏上可
观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向,小球和光源的振动图像如图乙所示,则( )
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
题组二
3.(25 届复赛)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。为
克服这一困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度T=4.2 K)中处于超导态的用铅丝做成
的单匝线圈(超导转换温度TC=7.19 K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀,初始时通有I=100 A 的电流,
电流检测仪器的精度为Δl=1.0 mA,在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根
据这个实验,试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数
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密度为n
V
=8.00×1020 /m3,已知电子质量m=9.11×10-31 kg,基本电荷e=1.60×10-19 C。(采用的估算方法
必须利用本题所给出的有关数据)
4.(2024 浙江1 月选考)若通以电流I 的圆形线圈在线圈内产生的磁场近似为方向垂直线圈平面的匀
强磁场,其大小B=kI(k 的数量级为10-4 T/A)。现有横截面半径为1 mm 的导线构成半径为1 cm 的圆
形线圈处于超导状态,其电阻率上限为10-26 Ω·m。开始时线圈通有100 A 的电流,则线圈的感应电动
势大小的数量级和一年后电流减小量的数量级分别为( )
A.10-23 V,10-7 A
B.10-20 V,10-7 A
C.10-23 V,10-5 A
D.10-20 V,10-5 A
5.(2024 山东高二阶段练习)2023 年7 月,韩国科学家团队声称发现了世界首个室温常压超导体,引起
了全球物理学界的轰动和质疑,目前还没有得到科学界的承认。确认超导电阻是否为零的一种实验
为长时间监测浸泡在液态氦中的超导铅丝单匝线圈中电流的变化。设线圈初始时通有I=100 A 的电
流,在持续一年(约3.15×107 s)的时间内电流检测仪器测量线圈中电流的变化ΔI 小于1.0 mA。假设电
流的变化仅由电子定向移动的平均速率变化引起,且电子损失的动能全部转化为电热。已知单位体
积的线圈中电子个数为8.0×1020,电子质量为9.0×10-31 kg,电子电量为1.6×10-19 C,根据这个实验,估算
超导态铅的电阻率至少小于( )
A.1.4×10-20 Ω·m
B.1.4×10-22 Ω·m
C.1.4×10-24 Ω·m
D.1.4×10-26 Ω·m
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6.(多选)韩国某团队声称“首次”发现了室温常压超导材料LK-99,而北航和中科院实验团队重新实
验后发文称未能发现LK-99 的超导性。某兴趣小组将柱形磁铁沿竖直方向缓慢向上移动,直至使一
由LK-99 制成、质量为m 的导电圆环在t=0 时刻悬浮在某一高度,此时导电圆环边缘的磁感应强度
的方向与竖直方向的夹角为θ。理论上,如果实现了室温超导,圆环的电阻率将为零,此后圆环将一直
保持悬浮,经过一段时间t0后,小组同学发现该导电圆环缓慢下移了Δh(动能变化量可视为零),如图甲
所示。圆环下移过程中线圈中电流的平方与时间的关系图像如图乙所示,圆环的半径为r,重力加速
度为g,不计空气阻力,则( )
A.圆环缓慢下移过程中感应电流的方向视为逆时针
B.t=0 时,圆环所处位置的磁感应强度大小为
mg
2π r I 1sinθ
C.0~t0时间内,通过圆环电流的有效值为√
I 1
2+ I 2
2
2
D.由功能关系可求出导电圆环的电阻为4 mg Δh
( I 1+ I 2)
2t0
题组三
7.(31 届预赛)如图所示,一绝缘容器内部为立方体空腔,其长和宽分别为a 和b,厚度为d,其两侧等高处
装有两根与大气相通的玻璃管(可用来测量液体两侧的压强差)。容器内装满密度为ρ 的导电液体,容
器上下两端装有铂电极A 和C,这样就构成了一个液体电阻。该液体电阻置于一方向与容器的厚度
方向平行的均匀恒定的磁感应强度为B 的磁场中,并通过开关S 接在一电动势为ε、内阻为r 的电池
的两端。闭合开关。若稳定时两侧玻璃管中液面的高度差为h,求导电液体的电导率σ(重力加速度大
小为g)。
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8.(2023 浙大强基)将宽度为d、相距为s 的两块金属板竖直插入相对介电常数为εr、密度为ρm的汽
油中。在两板上外加电势差U0,则两板间液面将上升h,试求h。真空介电常数为ε0。
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参考答案
题型16 竞赛降阶问题
1.A
【解析】 取任意时刻作图,如图所示,根据相似三角形可知,有Y
y = L
x
,即Y= y
x
L=
1
2 gt
2
v0t
L= gL
2v0
t,故
小球在毛玻璃上的投影点做匀速运动,故C、D 错误;由v 投= gL
2v0
=sf,解得v0=4 m/s,故A 正确;平
抛运动是匀加速曲线运动,加速度不变,故小球做平抛运动过程中,在相等时间内的速度变化相等,
故B 错误;故选A。
2.D
【解析】 以竖直向上为正方向,根据图乙可知,t1时刻,小球位于平衡位置,随后位移为负值,且位
移增大,可知,t1时刻小球向下运动,故A 错误;以竖直向上为正方向,t2时刻光源的位移为正值,光源
振动图像为正弦式,表明其做简谐运动,根据F 回=-kx=ma 可知,其加速度方向与位移方向相反,位
移方向向上,则加速度方向向下,故B 错误;根据图乙可知,小球与光源的振动步调总是相反,由于
影子是光源发出的光被小球遮挡后,在屏上留下的阴影,可知,影子与小球的振动步调总是相同,即
t2时刻小球与影子相位差为0,故C 错误;根据图乙可知,t3时刻,光源位于最低点,小球位于最高点,
根据直线传播,可知屏上影子的位置也处于最高点,影子位于正方向上的最大位移处,根据几何关
系有
l
l+2l =
A + A
A + x影子
,解得x 影子=5A,即t3时刻影子的位移为5A,故D 正确。
3.【答案】 见解析
【解析】 设圆环周长为l、电阻为R,由电阻定律得R=ρ l
S
由焦耳定律得ΔE=I2RΔt
设环中单位体积内定向移动电子数为n,则I=nevS
式中n、e、S 不变,只有定向移动电子的平均速率的变化才会引起环中电流的变化,电流变化大
小为ΔI,相应定向移动电子的平均速率的变化为Δv,则ΔI=neSΔv
设环中定向移动电子减少的动能总和为ΔEk,则
ΔEk=nlS[
1
2 m v
2- 1
2 m(v - Δv )
2]≈nlSmvΔv
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联立得ΔEk=lmv
e
ΔI
根据能量守恒定律有I2RΔt=ΔEk
联立上述各式,得ρ= m Δ I
ne
2 I Δt
代入数据,得ρ=1.4×10-26 Ω·m
所以电阻率为零的结论在这一实验中只能认定到ρ≤1.4×10-26 Ω·m。
4.D
【解析】 线圈中电流I(t)的减小将在线圈内导致自感电动势,故ε=-L Δ I
Δt
=IR,其中L 代表线圈的
自感系数,有L=Φ
I
,在计算通过线圈的磁通量Φ 时,以导线附近即r1处的B 为最大,而该处B 又可
把线圈当成无限长载流导线所产生的,根据题意,有B=kI,则L=kS=kπr2
2,根据电阻定律,有R=ρ
2π r2
π r1
2 =ρ2r2
r1
2 ,联立解得ΔI= 2 Iρ Δt
k π r2r1
2 = 2×100×10
-26×365×24×3 600
10
- 4×3.14×10
-2×(10
-3)
2
A≈2×10-5 A,ε=2×10-20
V,则线圈的感应电动势大小的数量级和一年后电流减小量的数量级分别为10-20 V 和10-5 A。故
选D。
5.D
【解析】 如果电流有衰减,意味着线圈有电阻,设电阻为R,则在一年时间t 内电流通过线圈发热
损失的能量为ΔE=I2·Rt,设S 表示横截面积,l 为铅丝长度,电阻率为ρ,根据电阻定义式R= ρl
S
和电
流定义式I=Svne,连续一年(约3.15×107 s)的时间内电流检测仪器测量线圈中电流的变化ΔI 小于
1.0 mA,电流的变化仅由电子定向移动的平均速率变化引起,且电子损失的动能全部转化为电热,
由于导电的电子数密度n 是不变的,电流的变小是电子平均速率变小的结果,一年内平均速率由
v 到v-Δv 对应的电流变化ΔI=neSΔv,导电电子的平均速率变小,使导电电子的平均动能减少,铅丝
中导电电子减小的平均动能ΔEk=lSn[
1
2 m v
2- 1
2 m(v - Δv )
2],解得ΔEk≈lSnmvΔv,由于ΔI≪I,所
以Δv≪v,联立上式可得ΔEk=lmv
e
ΔI,铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而
损失的能量,即ΔEk=ΔE,联立上式可得ρ= m Δ I
ne
2It
,时间为t=3.15×107 s,代入可得ρ=1.4×10-26 Ω·m,
所以超导态铅的电阻率至少小于ρ=1.4×10-26 Ω·m,故选D。
6.BC
【解析】 圆环缓慢下移过程中穿过圆环的磁通量增加,根据楞次定律,可知从上往下看感应电流
的方向为顺时针,故A 错误;质量为m 的导电圆环在t=0 时刻悬浮在某一高度,处于平衡状态,对
圆环受力分析,可等效成直导线,竖直方向有mg=BI1Lsin θ,圆环周长L=2πr,联立解得B=
mg
2π r I 1sinθ
,故B 正确;根据焦耳定律有Q=I2Rt,变形有Q
R
=I2t,可知I2-t 图像中图线与时间轴所围
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几何图形的面积表示Q
R
,得Q12
R = I 1
2+ I 2
2
2
t0,0~t0时间内Q12=I 0
2Rt0,联立解得通过圆环电流的有效
值为I0=√
I 1
2+ I 2
2
2
,导电圆环缓慢下移了Δh,由能量守恒定律可知,减少的重力势能等于圆环产生
的焦耳热mgΔh=I 0
2Rt0,解得圆环的电阻为R=mg Δh
I 0
2t0
,把I0=√
I 1
2+ I 2
2
2
代入,得R=
2mg Δh
( I 1
2+ I 2
2)t0
,故
C 正确,D 错误;故选B、C。
7.【答案】
ρgha
b( Bε -rρghd )
【解析】 沿着电流I 的方向液柱长度为a,该液柱受到的安培力大小为Fm=BIa
液柱两侧面受到的由压强差产生的压力大小为FP=ρghad
由水平方向上力的平衡条件有Fm=FP
由欧姆定律得E=I(R+r)
式中R= a
σbd
由以上各式解得σ=
ρgha
b( Bε -rρghd )
。
8.【答案】 U 0
2(εr -1)ε0
s
2 ρm g
【解析】 电容器液面上升h,则电容变化为ΔC=(εr-1)ε0d
s
h
则ΔW=U0ΔQ=U 0
2ΔC=U 0
2(εr-1)ε0d
s
h
电容器中的能量变化为ΔE=1
2
ΔCU 0
2= 1
2 U 0
2(εr-1)ε0d
s
h
由能量转化可知ΔW-ΔE=Fh
2
其中F=ρmdshg
可得h=U 0
2(εr -1)ε0
s
2 ρm g
。
