文档文本内容
题号猜押08 全国卷高考数学第14 题（填空题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T14
概率统计
有放回取球，期望（线性性质）
2025
Ⅱ卷
T14
立体几何
圆柱内切球，半径最值
2024
Ⅰ卷
T14
概率统计
卡牌游戏得分，期望与组合计数
2024
Ⅱ卷
T14
组合计数
方格表选数，计数与最值
2023
Ⅰ卷
T15
三角函数
余弦型函数零点求参数范围
2023
Ⅰ卷
T16
双曲线
离心率（向量共线、焦点三角形）
2023
Ⅱ卷
T15
直线与圆
三角形面积求参数
2023
Ⅱ卷
T16
三角函数
正弦型函数图象与性质
2022
Ⅰ卷
T15
导数
过原点切线求参范围
2022
Ⅰ卷
T16
椭圆
焦点三角形周长
2022
Ⅱ卷
T15
直线与圆
对称直线与圆有公共点求参范围
2022
Ⅱ卷
T16
椭圆
弦中点问题求直线方程
2021
Ⅰ卷
T15
函数
分段函数最小值
2021
Ⅰ卷
T16
数列
折纸问题，计数与求和
2021
Ⅱ卷
T15
平面向量
数量积求值
2021
Ⅱ卷
T16
函数与导数
切线垂直求范围
近5 年填空题压轴（等价T14）考点呈现明显轮换规律，每年考点各异。概率统计连续两年出现（2024Ⅰ卷
期望、2025Ⅰ卷期望），成为近年热点；立体几何（2025Ⅱ卷圆柱内切球、2024Ⅱ卷方格表属组合）偶有考
查；圆锥曲线（2023Ⅰ卷双曲线离心率、2022Ⅰ卷椭圆周长、2022Ⅱ卷椭圆中点弦）出现频率较高；三角函
数（2023Ⅰ卷零点求参、2023Ⅱ卷图象性质）亦占一席；导数（2022Ⅰ卷公切线、2021Ⅱ卷切线垂直）时有
出现；数列（2021Ⅰ卷折纸新定义）偶有创新。2024、2025 年连续两年考查概率统计与组合计数，打破了
往年“一年一换”的规律，成为新的命题趋势。
预测
2026 年T14 极大概率在概率统计（期望与组合计数综合、条件概率）与圆锥曲线（离心率、弦长、面积最
值）之间轮换。由于2024、2025 年已连续两年考查概率统计，2026 年转向圆锥曲线或立体几何的可能性
较大；若延续概率统计方向，则可能结合递推数列（如2023Ⅱ卷信道传输）。立体几何（外接球、截面最
值）与导数（公切线、零点问题）作为备选，三角函数与数列新定义偶有出现。
备考核心
主攻概率统计与组合计数，熟练掌握离散型随机变量期望的线性性质，会利用组合数计算古典概型概率，
理解期望的线性可加性在复杂计数问题中的应用（如“至少取到一次”类问题），掌握条件概率与全概率
公式；突破圆锥曲线压轴，熟练运用定义与几何性质求离心率、焦半径、焦点弦长，掌握设而不求与韦达
定理处理弦长、面积、最值问题，理解离心率的多种求法（直接法、几何法、齐次式法）；强化立体几
何，掌握外接球、内切球半径的补形法、截面法，能建立函数模型求体积、表面积最值；关注导数公切
线，熟练掌握“设切点、列方程”的解题流程，能处理含参切线问题。限时训练，每道题控制在5~8 分
钟，注重综合推理与计算能力，合理分配时间。
考点1 圆锥曲线
1. （2026·山西大同·一模）抛物线
的焦点为
，过
的直线与抛物线交于A，B 两点（其
中点
位于第一象限），
，
是线段
的中点，且点
纵坐标为2，则
________.
2. （2026·新疆·模拟预测）已知椭圆C：
，过左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于
，
两点（点A
位于x 轴上方），若
，则直线l 的斜率为_______.
3. （2026·甘肃·一模）椭圆
的离心率为，双曲线
渐近线的斜率绝对值小
于
，则的取值范围为__________.
4. （2026·江西·一模）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
为第一象限内
椭圆
上的一个动点，
为
的内心，过
作直线
的垂线，垂足为
，若
，
则椭圆
的离心率
___________
5. （2026·内蒙古包头·一模）已知椭圆
和双曲线
有公共焦点
，
（
为左焦点），
与
在第三象限交于点
，直线
交
轴于点
且
平分
，则
的离
心率为_________．
6. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知
是双曲线
上不同的三点，点
关于坐标原点对称，且
，过点
作垂直于
轴的直线分别交双曲线
，直线
于
两点，若
，则双曲线
的离心率为_____．
7. （2026·广东·一模）如图，
为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，过
分别作椭圆
的切线的垂线，垂足分别为
．当
时，
的面积为______．
8. （2026·河北保定·一模）已知双曲线
左、右焦点分别为
，点
是
上一点且位于
第二象限，
的面积为
，过原点O 且平行于
的直线与
和
的平分线分别交于
点
，且
则双曲线
的渐近线方程为________.
9. （2026·陕西榆林·一模）已知P 为抛物线
上任意一点，
，
，若存在实数k，点
满足
，则m 的最大值为________．
10. （2026·广西河池·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，其一条渐近
线的斜率为
，过点
且斜率存在的直线与
的右支交于
两点．若
分别为
和
的内
心，且四边形
的面积为
，则直线的斜率的绝对值为___________．
考点2 立体几何
1. （2026·河北唐山·一模）若一个棱长为
的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁
厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为______.
2. （2026·山东菏泽·一模）在长方体
中，
，
，
.若平面
平面
，且与四面体
的棱
、
、
、
分别交于点P、Q、R、S 四点，则四棱锥
的体积的最大值为________.
3. （2026·陕西·模拟预测）在棱长为1 的正方体
内放入9 个半径相等的小球，8 个角各放
1 个，中间放1 个，则小球半径最大为______.
4. （2026·贵州贵阳·一模）已知点M 为正三棱柱
的外接球上动点，且
，若
，
，则点M 的轨迹长度为______．
5. （2026·浙江·模拟预测）已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球
与圆锥的侧面、底面均相切．球
与球
外切，且与圆锥的侧面相切．球心
位于圆锥的顶点和
之间，则球
的体积为________．
6. （2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为
，当圆台体积最大时，以此圆台的
上、下底面为截面的球的表面积为________．
7. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体
中，
两两垂直，
，以
为球心，
为半径的球与四面体
各面交线的长度和为___________．
8. （2026·辽宁辽阳·一模）一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的
四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为
，将几何体放入半径为的半球
内，使得最下层正方体底面中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________．
9. （2026·河南南阳·一模）如图为四棱锥
的平面展开图，其中
为平行四边形，
是边
长为1 的等边三角形，
为
的中点，
，则四棱锥
的外接球表面积为______．
10. （2026·贵州毕节·二模）已知在三棱锥
中，
底面
，
，
，
，
.半径为
的球
与三棱锥的四个面都相切，则
______；若半径为
的球
与面
，面
，
面
及球
都相切，则
______.
考点3 概率统计
1. （2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地
随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则
_______.
2. （2026·湖南怀化·一模）如图，要用
个元件组成一个电路系统，当且仅当从
到
的电路为通路状态
时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为
，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏
的元件个数为
，则
__________.
3. （2026·陕西咸阳·模拟预测）小华在某不透明的盒子中放入4 红5 黑9 个球，随机摇晃后，小华从中取
出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8 个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉
的小球也是黑球的概率为______．
4. （2026·山东日照·一模）已知集合
，从集合
中随机抽取一个数记为
，再从
中随机抽取一个数记为
，则
___________．
5. （2026·黑龙江吉林·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个红球1 个白球，
其余盒子中均为1 个红球1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒子中任取
一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从第
个盒子中取到白球
的概率是______．
6. （2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1 到15 的小球，现从箱中一次随机取出5 个球，若已知取
出的5 个球的编号中位数为9，则这5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9 的概率为__________．
7. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个
抽奖活动：在抽奖箱中放置3 个黑球和7 个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参
赛者摸3 次球，每次摸1 个球，第
次摸球，若摸到黑球，则得
元奖金，若摸到黄球，则没
有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X 元，则
___________．
8. （2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相同的3 个
红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球与其替换，这样
称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全
是红球的概率为
，则
________.
考点4 导数
1. （2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
，则
的最小值为___________.
2. （25-26 高三上·山东青岛·期末）已知曲线
与曲线
只有一个公共点，则
______．
3. （2026·浙江·模拟预测）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
4. （2026·湖南·模拟预测）函数
的所有零点的和为__________．
5. （2026·广东佛山·一模）函数
在区间
上存在零点，则
的最小值为________．
6. （2026·四川内江·二模）已知函数
，
．若不等式
恒成立，则a 的取
值范围为________．
7. （2026·江苏·一模）已知函数
，对任意
，都有
，则
的取值范围为
______.
8. （2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，若
，则不等式
的解集为__________.
9. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
恰有1 个极值点，则实数
的取值范围
为___________．
10. （2026·辽宁·模拟预测）已知不等式
恰有两个整数解，则实数
的取值范围为_____．
考点5 数列
1. （2026·江苏扬州·一模）定义：
是不大于x 的最大整数，
是不小于x 的最小整数，设函数.
在定义域
上值域为
，记
元素个数为
，则
________．
2. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列
的前n 项和为
，
，
是关于x 的方程
的两个不等实根，则
的最小值为___________．
3. （2026·山西朔州·一模）已知数列
的前
项和为
，若
，
，则满足
的
的最小值为__________.
4. （2026·黑龙江大庆·二模）已知正项数列
的前
项和为
，且
.
若在
和
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
，即
，
记数列
的前
项和为
，则
___________.
5. （25-26 高三上·山东烟台·期末）若数列
满足
（
，当且仅当
为奇数时取“
”），则称
为“
数列”.设数列
为“
数列”，
，则
的最小值为
__________；若
，则正整数
的最大值为__________.
6. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）将数列
中随机剔除两项
（其中
）
然后在原数列中添加一项
叫做数列
的一次变换，那么数列
经过
次
变换后数列中还剩下的一项为______.
考点6 排列组合
1. （2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1 到10 的10 个产品，计划从中抽取3 个进行
检测，若抽取的3 个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
2. （2026·重庆·一模）在矩形
内部（不包含矩形边界）有
个点，将这些点以及矩形的顶点作适当
连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当
时，三角形区域的个数为___________；若对
如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色．
3. （2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入一个
的方格中，每个格子填1 个
数字，且不重复，要求第一行数字满足
，第三行数字满足
，第三列数字满足
，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
4. （2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4 名男生和3 名女生组成的7 人团队参加数学建模竞赛.该
竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1 名
选手，每人只参加1 个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2 人，
且至少有1 名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人
员分配方案共有______种.
5. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
6. （2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向
上或向右移动1 格，则从起点到终点共有______种不同的走法.
1．（25-26 高三下·湖南·月考）如图所示的挂件由7 个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸
出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四
种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所
有的涂色方法种数为______.
2．（25-26 高三下·湖北黄冈·月考）某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6 人（4 男2 女），乙
班科技课外兴趣小组有6 人（3 男3 女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2 个学生参
加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________．
3．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），
规定每局胜者得
分，平局各得分，负者得
分．比赛结束后，四人的得分各不相同，且第二名的得分是
最后两名得分之和的
．则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为__________．
4．（2026·山东烟台·一模）一圆周上均匀分布着8 个点，将这8 个点连接成4 条弦，且任意两条弦没有公
共点．记
为“4 条弦中由相邻两点连接成的弦的条数”，则
的数学期望为______．
5．（2026·浙江·模拟预测）有5 个相同的球，分别标有数字
，从中有放回地随机取3 次，每次取
1 个球.记
为标有数字的球被取出的次数，
，则
__________.
6．（25-26 高三上·广东深圳·期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射
击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________.
7．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4 个红球，6 个白球，从盒中每次取1 个球，取出后将原球放回，
再加入2 个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2 次取到红球的概率为_____；在第2 次取到红球
的前提下，第3 次取到白球的概率为_____.
8．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线
：
的左焦点为
，左顶点
为
．以原点
为圆心，分别以
，
为半径作圆
，
．设
是圆
与
在第一象限的交点，连接
交圆
于
，
两点．若
，则
的离心率为_________．
9．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，双
曲线C 的一条渐近线的斜率为
，过点
的直线l 与双曲线C 的右支交于P，Q 两点.A，B 分别为
和
的内心，若四边形
的面积为
，则直线l 的斜率为__________.
10．（2026·贵州安顺·一模）已知点M 为正三棱柱
的外接球上的动点，且
，若
，
，则点M 的轨迹长度为______．
11．（2026·广东佛山·一模）已知
是椭圆
上关于原点
对称的两点，
是
的
右焦点，
的延长线交
于点
，则
的离心率为__________.
12．（2026·重庆·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的右支上（不含顶
点），设
的内切圆圆心为
，则
______，
的最小值为______.
13．（2026·河南开封·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
作
直线分别交两条渐近线于点
，交
轴于点
为坐标原点．若
的面积是
的面积的3 倍，
则
_____．
14．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在三棱锥
中，
是棱
上的点，
，
，
，
，三棱锥
的体积是
，则
______．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体
所有棱长都相等，
，点
在底面
的射影为
中点，且直线
与底面
夹角为
，则三棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积为_____．
16．（2026·甘肃兰州·一模）正四面体
的棱长为
，过棱
作平面
与棱
平行，则平面
截
该正四面体的外接球所得截面的面积为__________.
17．（2026·广东佛山·二模）在平面四边形
中，
．将
沿
翻折到
，若三棱锥
的外接球半径是2，则二面角
的正弦值是
___________．
18．（2026·山东德州·一模）在矩形
中，已知
是
的中点，将
沿直线
翻
折成
为线段
的中点，连接
.当
与平面
所成角为
时，三棱锥
外接
球的表面积为__________.
19．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初
始数列
经过
次扩充后的新数列记为
，项数记为
，所有项的和记为
.现若扩充规则为每相
邻两项之间插入这两项的和，如：数列
经过一次扩充后得到数列
，
，
.已知初始数列
，则
______；
______.
20．（2026·江西赣州·一模）一自动运动的小车连续运行
次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，
记未连续出现2 次向后运动的概率为
，则
的值为__________.
21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，
，直线l 与
和
均相切，切
点分别为
，
，则
________．
22．（2026·安徽合肥·一模）已知直线
与
轴、
轴分别交于点
，点
在曲线
上，点
在上，点
满足
，则
的最小值为_____．
23．（2026·四川巴中·一模）若不等式
恒成立，则
的取值范围_____.
24．（25-26 高三上·山西晋城·月考）若函数
的最大值为
则
的
最小值为___________________.
25．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为_____
