文档文本内容
题号猜押08 全国卷高考数学第14 题（填空题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T14
概率统计
有放回取球，期望（线性性质）
2025
Ⅱ卷
T14
立体几何
圆柱内切球，半径最值
2024
Ⅰ卷
T14
概率统计
卡牌游戏得分，期望与组合计数
2024
Ⅱ卷
T14
组合计数
方格表选数，计数与最值
2023
Ⅰ卷
T15
三角函数
余弦型函数零点求参数范围
2023
Ⅰ卷
T16
双曲线
离心率（向量共线、焦点三角形）
2023
Ⅱ卷
T15
直线与圆
三角形面积求参数
2023
Ⅱ卷
T16
三角函数
正弦型函数图象与性质
2022
Ⅰ卷
T15
导数
过原点切线求参范围
2022
Ⅰ卷
T16
椭圆
焦点三角形周长
2022
Ⅱ卷
T15
直线与圆
对称直线与圆有公共点求参范围
2022
Ⅱ卷
T16
椭圆
弦中点问题求直线方程
2021
Ⅰ卷
T15
函数
分段函数最小值
2021
Ⅰ卷
T16
数列
折纸问题，计数与求和
2021
Ⅱ卷
T15
平面向量
数量积求值
2021
Ⅱ卷
T16
函数与导数
切线垂直求范围
近5 年填空题压轴（等价T14）考点呈现明显轮换规律，每年考点各异。概率统计连续两年出现（2024Ⅰ卷
期望、2025Ⅰ卷期望），成为近年热点；立体几何（2025Ⅱ卷圆柱内切球、2024Ⅱ卷方格表属组合）偶有考
查；圆锥曲线（2023Ⅰ卷双曲线离心率、2022Ⅰ卷椭圆周长、2022Ⅱ卷椭圆中点弦）出现频率较高；三角函
数（2023Ⅰ卷零点求参、2023Ⅱ卷图象性质）亦占一席；导数（2022Ⅰ卷公切线、2021Ⅱ卷切线垂直）时有
出现；数列（2021Ⅰ卷折纸新定义）偶有创新。2024、2025 年连续两年考查概率统计与组合计数，打破了
往年“一年一换”的规律，成为新的命题趋势。
预测
2026 年T14 极大概率在概率统计（期望与组合计数综合、条件概率）与圆锥曲线（离心率、弦长、面积最
值）之间轮换。由于2024、2025 年已连续两年考查概率统计，2026 年转向圆锥曲线或立体几何的可能性
较大；若延续概率统计方向，则可能结合递推数列（如2023Ⅱ卷信道传输）。立体几何（外接球、截面最
值）与导数（公切线、零点问题）作为备选，三角函数与数列新定义偶有出现。
备考核心
主攻概率统计与组合计数，熟练掌握离散型随机变量期望的线性性质，会利用组合数计算古典概型概率，
理解期望的线性可加性在复杂计数问题中的应用（如“至少取到一次”类问题），掌握条件概率与全概率
公式；突破圆锥曲线压轴，熟练运用定义与几何性质求离心率、焦半径、焦点弦长，掌握设而不求与韦达
定理处理弦长、面积、最值问题，理解离心率的多种求法（直接法、几何法、齐次式法）；强化立体几
何，掌握外接球、内切球半径的补形法、截面法，能建立函数模型求体积、表面积最值；关注导数公切
线，熟练掌握“设切点、列方程”的解题流程，能处理含参切线问题。限时训练，每道题控制在5~8 分
钟，注重综合推理与计算能力，合理分配时间。
考点1 圆锥曲线
1. （2026·山西大同·一模）抛物线
的焦点为
，过
的直线与抛物线交于A，B 两点（其
中点
位于第一象限），
，
是线段
的中点，且点
纵坐标为2，则
________.
【答案】
【分析】方法一：过
作
，过
作
，利用抛物线的定义和相似三角形的性质，结合点差法
进行求解即可；
方法二：利用抛物线上的点到焦点的距离公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】方法一：由题知
，设
，则
，
，
延长
交准线于点
，过
作
，过
作
，
则
，
，显然
相似于
，
所以
，即
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以直线
的斜率为
，
设
，
，则
，
得
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
方法二：由题知
，
设直线的倾斜角为
，则有
，
所以直线的斜率为
，由方法一，
得
.
2. （2026·新疆·模拟预测）已知椭圆C：
，过左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于
，
两点（点A
位于x 轴上方），若
，则直线l 的斜率为_______.
【答案】
【分析】设出直线l 的方程及
的坐标，根据
可得到横坐标之间的关系式，再联立直线与椭
圆方程，根据韦达定理可用斜率分别表示出
的横坐标，列方程可求得斜率.
【详解】由
知椭圆的左焦点F 的坐标为
.
如图，
设过点F 的直线l 的斜率为k，则直线l 的方程为
.
设
、
（因为点A 位于x 轴上方，所以
）.
因为
，
，
，
所以
，即
，整理得
.
将
代入椭圆方程
，整理得
，
则
，
，
由
解得
，
所以
，解得
.
因
且
，故
，即
.
3. （2026·甘肃·一模）椭圆
的离心率为，双曲线
渐近线的斜率绝对值小
于
，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】因为双曲线渐近线斜率小于
，据此得到关于
、
的不等式关系，将离心率转化为关于
的
表达式，即可求出的取值范围。
【详解】对于双曲线
，渐近线方程为
，由题意得
，即
。
椭圆中满足
（c 为椭圆半焦距），代入
得
整理得
，两边同除以
得
，即
，解得
所以的取值范围为
4. （2026·江西·一模）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
为第一象限内
椭圆
上的一个动点，
为
的内心，过
作直线
的垂线，垂足为
，若
，
则椭圆
的离心率
___________
【答案】
【分析】利用三角形中位线的性质得到
，利用椭圆的定义
得到
，利用离心
率的公式
得解.
【详解】如图：延长
交直线
于
．由题可知，
则
，
，
因为
，
，所以
，则
.
故答案为：
.
5. （2026·内蒙古包头·一模）已知椭圆
和双曲线
有公共焦点
，
（
为左焦点），
与
在第三象限交于点
，直线
交
轴于点
且
平分
，则
的离
心率为_________．
【答案】
【分析】利用椭圆方程求出，利用椭圆和双曲线定义求出
，设点
，利用角平分线定理、两
点间距离公式结合椭圆方程求出
，进而求出离心率．
【详解】
椭圆
中
，故
，
，
，
由题意可知
，且
，
由椭圆定义可得
①，
由双曲线定义可得
②，
联立①②得
，
由角平分线定理可知，
，
设
，
在直线
上，由分点比例得
，
则
，解得
，
在椭圆上，则
，解得
，
，
，
由
得
，
，化简得
，
，
，解得
，
．
6. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知
是双曲线
上不同的三点，点
关于坐标原点对称，且
，过点
作垂直于
轴的直线分别交双曲线
，直线
于
两点，若
，则双曲线
的离心率为_____．
【答案】2
【分析】由双曲线第三定义得
，分别找到直线
斜率计算即可
【详解】设
，
，由题意得
，
，
因为
，所以
，
，
又
，即
，两边平方并整理得
，
即
，所以
，
由双曲线第三定义得
，
即
，整理得
，
解得
故答案为：2
7. （2026·广东·一模）如图，
为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，过
分别作椭圆
的切线的垂线，垂足分别为
．当
时，
的面积为______．
【答案】2
【分析】切线
，与椭圆方程联立，由
得
，求出直线
方程，进而求
得
坐标，计算
，得解.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，设切线
，
联立
，消去
整理得
，
，化简得
；
因为
，且
，则直线
，
联立
，解得
，所以
，
同理，可得
，
，
同理，可得
，
又
，所以
.
8. （2026·河北保定·一模）已知双曲线
左、右焦点分别为
，点
是
上一点且位于
第二象限，
的面积为
，过原点O 且平行于
的直线与
和
的平分线分别交于
点
，且
则双曲线
的渐近线方程为________.
【答案】
【分析】设
，根据中位线定理及角平分线的定义可得
，根据双曲线的定义及三角
形的面积公式、余弦定理可求出
，由勾股定理可求出c，利用
求出
，进而得到双曲线 C 的
渐近线方程.
【详解】设
，如图，
因为
，
为
的中点，所以
为
的中点，且
,
又
为
的角平分线，所以
，所以
，
所以
为等腰三角形，所以
，即
，所以
.
由双曲线的定义可知
，所以
，
所以
的面积为
，
所以
.
在
中，由余弦定理得
，
将
代入上式整理得
，解得
.
所以
，解得
，
所以
，且
，所以
，
所以
，解得
，
所以
，即
，
则双曲线 C 的渐近线方程为
9. （2026·陕西榆林·一模）已知P 为抛物线
上任意一点，
，
，若存在实数k，点
满足
，则m 的最大值为________．
【答案】
/
【分析】向量
的方向与
的内角平分线相同，利用角平分线定理将
表示为
的函数，
再求该比值在抛物线上的最大值，代入即得
的最大值.
【详解】如图．设
，则有
，
则
，
．
因为
，
为单位向量，向量
的方向与
的内角平分线相同，
由于
在
轴上，故
为内角平分线与
轴的交点，
由角平分线定理，可得
，其中
，
，
因为
在线段
上，则有
，
设
，
当且仅当
时，等号成立．因为
，
所以
，则
随单调递增，所以当取最大值时，
也取最大值，
故
的最大值为
．
10. （2026·广西河池·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，其一条渐近
线的斜率为
，过点
且斜率存在的直线与
的右支交于
两点．若
分别为
和
的内
心，且四边形
的面积为
，则直线的斜率的绝对值为___________．
【答案】
【分析】先利用双曲线定义求出点
的横坐标，然后设出的倾斜角，表示
长度，从而解出倾斜角，
得到的斜率.
【详解】由题知
，所以
，即
.
设点
在
上的投影分别为
，如下图：
则有
，
而
，所以解得
，即点
横坐标为
，
所以，点
横坐标为
.同理可得点
横坐标为
，则
.
所以四边形
的面积为
，得
.
设直线的倾斜角为
，则
，
，
，
.
所以
，解得
，则
，
所以
，即直线的斜率的绝对值为
.
考点2 立体几何
1. （2026·河北唐山·一模）若一个棱长为
的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁
厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出正四面体外接球
半径，再求出球
为圆锥内切球时圆锥体积表达式，然后
利用基本不等式求出最小值.
【详解】正四面体
棱长为
，该正四面体绕其中心
在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，
则正四面体
的外接球
在该封闭的圆锥形容器内，要该圆锥体积最小，
必有球
为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球
的截面大圆，
结合
延长线交平面
于
，则
是正
的中心，
平面
，
，
，设球
半径为
，
则
，解得
，令圆锥底面圆半径为，母线为，高为，
于是
，由
，得
，
圆锥的体积
，
，当且仅当
时取等号，
所以此圆锥体积的最小值为
.
2. （2026·山东菏泽·一模）在长方体
中，
，
，
.若平面
平面
，且与四面体
的棱
、
、
、
分别交于点P、Q、R、S 四点，则四棱锥
的体积的最大值为________.
【答案】
【分析】设
，利用平行线分线段成比例，得出平行四边形
的面积，求出体积，
再由导数求最大值即可.
【详解】设
，
因为平面
平面
，
，
则
到平面
的距离
，
因为平面
平面
，平面
与平面
，平面
的交线分别为
,
所以
，
因为平面
与平面
，平面
的交线分别为
，
所以
，所以
，
又
，所以
,
同理，
，
在矩形
中，
，
，所以
,
故
的夹角为
，故
的夹角为
，
所以
，
所以
，
由
，解得
或
（舍去），
当
时，
，函数单调递增，当
时，
，函数单调递减，
故当
时，
.
3. （2026·陕西·模拟预测）在棱长为1 的正方体
内放入9 个半径相等的小球，8 个角各放
1 个，中间放1 个，则小球半径最大为______.
【答案】
【分析】当小球的半径最大时，8 个角上的球都与正方体的3 个面相切，且它们均与中间的1 个球相切，
根据圆心距列方程求解，几何法或向量法求解均可.
【详解】当小球的半径最大，设为r 时，8 个角上的球都与正方体的3 个面相切，且它们均与中间的1 个球
相切，
由正方体和球的对称性可知，这些球心在正方体的对角线上.
方法一：设对角面
上5 个球的球心分别为
，作出对角面
，如图，
则球
与
的交点
，即为球
与底面
的切点，
所以
，所以
，
所以
，因为正方体的棱长为1，所以
，
所以
，解得
，同理
，
又
，即
，解得
.
方法二：以A 为原点，分别以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设角A 处小球的球心为
，中间小球的球心为
，则
，
由球
与球
相切可知
，即
，解得
.
4. （2026·贵州贵阳·一模）已知点M 为正三棱柱
的外接球上动点，且
，若
，
，则点M 的轨迹长度为______．
【答案】
【分析】根据题意，先取底面
的中心
，确定正三棱柱的外接球的球心为
，求出其半径为2，建系
后求出相关点的坐标，设点
，利用
可推得点
的轨迹为以点
为球心，
半径为2 的球面，进而可得点M 的轨迹为两球的交线圆，利用垂径定理求出交线圆的半径即得轨迹长度.
【详解】设点
为正三棱柱
的底面
的中心，
为其外接球的球心，
易得
平面
，且
，因
，则
，
则该外接球的半径为
.
以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
以过点
与
平行的直线为
轴建立空间直角坐标系.
则
，设点
，
由
可得
，
两边取平方，展开整理得：
，
配方可得
，
则点
的轨迹为以点
为球心，半径为2 的球面.
因球
的球心距为
，
两球半径都是2，则两球的交线圆的半径满足
，
故点M 的轨迹为交线圆，其周长为
，即点M 的轨迹长度为
.
5. （2026·浙江·模拟预测）已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球
与圆锥的侧面、底面均相切．球
与球
外切，且与圆锥的侧面相切．球心
位于圆锥的顶点和
之间，则球
的体积为________．
【答案】
【分析】作出圆锥的轴截面，利用面积法及相似三角形性质求出球
的半径即可.
【详解】依题意，圆锥的轴截面截球
得球
的大圆，且为圆锥轴截面等腰
的内切圆，
截球
得球
的大圆，该圆与圆
外切，与
都相切，设球
、球
的半径分别为
，
在等腰
中，
，则边
上的高
，
由
，得
，解得
，
显然圆
可视为
平行于
的中位线截
所得小三角形的内切圆，而此小三角形与
相似，
因此
，解得
，所以球
的体积
.
6. （2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为
，当圆台体积最大时，以此圆台的
上、下底面为截面的球的表面积为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值
的条件，再按外接球球心在两平行平面间或外分类求出球半径即可.
【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为
，高
，
此圆台的体积
，
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则当
，即
时，此圆台体积取得最大值，
设球的半径为
，则球心到两个截面距离分别为
，
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上，
则
或
，
解
，无解；解
，得
，
所以此圆台的外接球的表面积为
.
7. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体
中，
两两垂直，
，以
为球心，
为半径的球与四面体
各面交线的长度和为___________．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到各边长，分析出与底面和侧面的交线，分别求出交线长，相加即可.
【详解】由题意得
两两垂直，
，
由勾股定理得
，
三棱锥
为正三棱锥，顶点
在底面
上的投影为
的中心
，
取
的中点
，则
三点共线，连接
，
由题意得
，
，
，
，
，
因为
，而
，
故以
为球心，
为半径的球与底面
相交于三段圆弧，
如图，分别为
，
其中
，
所以
，同理
，
所以
，故
，同理
，
所以
，
所以
，
由于
，故以
为球心，
为半径的球与底面
边
分别相交于
，
则
即为球与底面
的交线，
因为
，故
，所以
，
故
，
，则
，
所以
，
故以
为球心，
为半径的球与底面
的交线长度也为
，
所以交线的长度和
.
8. （2026·辽宁辽阳·一模）一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的
四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为
，将几何体放入半径为的半球
内，使得最下层正方体底面中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________．
【答案】
【分析】从下到上设第
个正方体的棱长记为
，设第
个正方体上底面的中心记为
，
分析可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，可得出数列
的通项公式，设第
个正
方体上底面的一个顶点为
，求出
、
，根据题意得出
，根据二次函数的单
调性以及数列
的单调性可得出
的可能取值，即可得解.
【详解】从下到上设第
个正方体的棱长记为
，设第
个正方体上底面的中心记为
，
设球心为
，则
为第一个正方体下表面的中心，
设半径为的半球内能放进该塔形几何体中正方体的个数为
，
由题意可知
，
，所以
，
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
，
，
，
根据题意可知
，即
，
令
，上述不等式可化为
，
化简可得
，
构造函数
，
二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
故二次函数
在
上单调递减，
当
时，
，且
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
故当
时，
，则
，
故满足不等式
的正整数
的取值构成的集合为
.
因此该塔形几何体中正方体的个数最多为.
9. （2026·河南南阳·一模）如图为四棱锥
的平面展开图，其中
为平行四边形，
是边
长为1 的等边三角形，
为
的中点，
，则四棱锥
的外接球表面积为______．
【答案】
【分析】由已知条件确定底面
为等腰梯形，并确定
，得到底面外接圆圆心即为
中点，
在底面以
为
轴建系，确定外接圆圆心坐标，再设球心
通过
即可求解.
【详解】
是边长为1 的等边三角形，故侧棱
，
，底边
；
是
中点，
，
是平行四边形，故底边
，
，
，
.
可知底面
为等腰梯形，
因为
为等边三角形，且
为平行四边形，
可得：
，在底面
中连接
，
则
，
即
，
，
在底面
以
分别为
轴，过
作平面
的垂线为
轴，如图：
可得：
，
，
，
，
因为
，则底面
外接圆，也即是
的外接圆，
即
的中点即为底面
外接圆圆心，坐标为
，
设
，由
、
、
，
可得
，
解得
即
由四棱锥外接球的性质，
外接球的球心在过
垂直于底面的直线上，故设球心
，
由
得：
，解得
，
因此外接球半径平方：
，
外接球表面积：
.
10. （2026·贵州毕节·二模）已知在三棱锥
中，
底面
，
，
，
，
.半径为
的球
与三棱锥的四个面都相切，则
______；若半径为
的球
与面
，面
，
面
及球
都相切，则
______.
【答案】
【分析】先根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积，再通过对三棱锥
分割，根据表面积与球
的
半径求得三棱锥的体积，等体积法列方程求解
即可；建立空间直角坐标系，求得球心距，根据两球外切
列方程求得
.
【详解】因为
，
，
，
，
所以
，
所以三棱锥
的体积
.
又
底面
，所以
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
所以
所以三棱锥
的表面积为
，
所以
，所以
.
如图，建立空间直角坐标系，则
，
所以
，
因为两球相切，且
，
所以两球外切，即
，
由题意知球
与四个面均相切，是三棱锥
的内切球，
球
与面
，面
，面
这三个面相切，
所以球心
比
靠近点A，即
，
所以
，解得
.
考点3 概率统计
1. （2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地
随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则
_______.
【答案】
【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可.
【详解】设甲制作的卡片为
；乙制作的卡片为
；丙制作的卡片为
.
代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片，
有
种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片；
当甲只取回一张自己的卡片时，有
种；
例如：甲取到的卡片为
，此时丙不能取
，
只能取
，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为
；
当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换，
即有
种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即
，
所以
;
代表三人有两人至少取回一张自己的卡片，
即有一个人没有取回自己的卡片，有
种情况；
不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在
四张中取两个，
显然丙不能取
或
，所以丙有
种取法，
例如：丙取的是
，则甲留下
，只能在
中取一个，即
种，剩下两张给乙，
即共有
种，所以
.
所以
.
2. （2026·湖南怀化·一模）如图，要用
个元件组成一个电路系统，当且仅当从
到
的电路为通路状态
时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为
，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏
的元件个数为
，则
__________.
【答案】
【分析】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
，其损坏的元件个数为
，
，可得
，结合两点分布可得
，即可得结果.
【详解】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
，其损坏的元件个数为
，
，
则
，可得
，
在电路系统正常工作的条件下，可知系统
均正常工作，对应概率为
，
则
，可得
，
，
则
，所以
.
3. （2026·陕西咸阳·模拟预测）小华在某不透明的盒子中放入4 红5 黑9 个球，随机摇晃后，小华从中取
出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8 个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉
的小球也是黑球的概率为______．
【答案】
【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率.
【详解】用
表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用
表示丢掉的小球为红球，
表示丢掉的小
球为黑球，
则
，
由全概率公式可得
，
所以
.
故答案为：
4. （2026·山东日照·一模）已知集合
，从集合
中随机抽取一个数记为
，再从
中随机抽取一个数记为
，则
___________．
【答案】
【分析】
可能的取值为
，根据条件概率和全概率公式可求
取相应值时概率，再根据期望公式
即可求期望.
【详解】
可能的取值为
，由全概率公式有：
，
故
.
5. （2026·黑龙江吉林·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个红球1 个白球，
其余盒子中均为1 个红球1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第2 个盒子中任取
一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从第
个盒子中取到白球
的概率是______．
【答案】
【分析】设事件
表示“从第i 个盒子中取到白球”（
），利用全概率公式列式求解；当
时，由全概率公式得
，再通过构造等比数列求
.
【详解】设事件
表示“从第i 个盒子中取到白球”（
），
则
，
，
所以
；
当
时，
，
所以
，又
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
所以
，
即从第2 个盒子中取到白球的概率是
，从第
个盒子中取到白球的概率是
.
6. （2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1 到15 的小球，现从箱中一次随机取出5 个球，若已知取
出的5 个球的编号中位数为9，则这5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9 的概率为__________．
【答案】
【分析】枚举法列出所有情况进行计算.
【详解】设取出的5 个球编号从小到大排列为
，
由已知中位数为9 即
，则
需从
中选取，
需从
中选取，
故基本事件总数为
．
若满足最大编号与最小编号之差为9，设
，则
．
由
知
，
由
即
知
，且
即
，故
，
此时
的选法总数为
，
求和得符合条件的事件数为
，
故所求概率为
．
7. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个
抽奖活动：在抽奖箱中放置3 个黑球和7 个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参
赛者摸3 次球，每次摸1 个球，第
次摸球，若摸到黑球，则得
元奖金，若摸到黄球，则没
有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X 元，则
___________．
【答案】90
【分析】设随机变量
表示甲第
次摸球获得的奖金，求得
的期望，再由期望线性运算即可求解.
【详解】设随机变量
表示甲第
次摸球获得的奖金（
），
则总奖金
，
的取值为：若第
次摸到黑球，
；若摸到黄球，
，
由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是
，（黑球3 个，总数10 个）
因此
，
由期望线性运算知：
.
8. （2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相同的3 个
红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球与其替换，这样
称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全
是红球的概率为
，则
________.
【答案】
【详解】若4 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则1 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次、第二
次和第三次抽到红球三种情况，
所以
，
若5 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一
次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以
.
考点4 导数
1. （2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
，则
的最小值为___________.
【答案】
【分析】对函数
进行求导，根据三角函数周期性并求出其单调性，得出函数极值，即可求得其最小值.
【详解】由
，得
，
因为
，所以当
时，
0；当
时，
，
又
满足
，所以
为
的一个周期，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因为
，所以当
时，
的最小值为
.
即当
时，
的最小值为
.
2. （25-26 高三上·山东青岛·期末）已知曲线
与曲线
只有一个公共点，则
______．
【答案】1
【分析】把两曲线
与
有一个公共点，转化为方程
只有一个实数解，
通过分离常数
，构造新函数求出
值。
【详解】由已知曲线
与曲线
只有一个公共点，
得方程
只有一个实数解，而
，
，
则
，即
，
故
，令
，
则
，
而
在
单调递增，且
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
故
，
而当
时，
；当
时，
，
所以
．
故答案为：1
3. （2026·浙江·模拟预测）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
【答案】
【分析】先求出曲线
在点
处的切线方程，再设出该切线与曲线
的切点，利用
导数的几何意义和切点既在切线上又在曲线上进行求解.
【详解】由题意可得：
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线为：
，即
，
设切线
与曲线
的切点为
，
对
求导可得：
，
又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数，
所以
，即
，
又因为
在切线
上，
所以
，
所以
在曲线
上，
即
，求解可得：
.
故答案为：
.
4. （2026·湖南·模拟预测）函数
的所有零点的和为__________．
【答案】
【分析】构造函数
，再判断其在
，
，
，
单调性，
最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解.
【详解】令
，
则
，
所以
，即
的图象关于直线
对称，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
，则
，
所以
在
上单调递减，
结合
的图象关于直线
对称可得：
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
又
，
且当
时，
，当
时，
，
所以
与
有4 个交点，且关于
对称，
故
有4 个零点，且关于
对称，
则所有零点的和为
．
5. （2026·广东佛山·一模）函数
在区间
上存在零点，则
的最小值为________．
【答案】
/0.5
【分析】利用函数零点的意义，将点
视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距
离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】设为
在
上的零点，则
，即点
在直线
上，
又
为点
到原点的距离的平方，原点到直线
的距离为
，
因此
，即
的最小值即为
在
上能成立，
令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，
，
所以
的最小值为
.
6. （2026·四川内江·二模）已知函数
，
．若不等式
恒成立，则a 的取
值范围为________．
【答案】
【分析】由题意可转化为
恒成立，构造函数
，利用导数求最小值即可
得解.
【详解】由
可得
，
因为
，所以
恒成立.
令
，则
，
令
，可得
，
当
时，
，则
，故
，而
，
所以
，即
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
当
时，
，而
，所以
，
当
时，
，所以
，
，
即
在
上单调递增，所以当
时，
，
所以
，即a 的取值范围为
.
7. （2026·江苏·一模）已知函数
，对任意
，都有
，则
的取值范围为
______.
【答案】
【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
当
时，当
时，该函数单调递增，
所以
，
所以对任意
，都有
，一定有
成立，
解得
，这与
相矛盾，不符合题意；
当
时，当
时，
，
所以对任意
，都有
，一定有
成立，而
，
所以
；
当
时，设
表示
两数中最大的数，
因为当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
所以当
时，
，
对任意
，都有
，一定有
且
，
解得
，
综上所述：
，
所以
的取值范围为
.
8. （2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，若
，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【分析】由题可得
，求导，利用导数确定函数
的单调性，再根据单调性解不等式
即可．
【详解】解：
，
，
令
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
，即
，函数
单调递减，
当
时，
，即
，函数
单调递增，
，解得
，
令
，
，解得
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
，
，
又函数
在
上单调递增，
，
，又
，即
，
令
，
，
在
上单调递增，又
，
的解为
，
故不等式
的解为
．
9. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
恰有1 个极值点，则实数
的取值范围
为___________．
【答案】
【分析】由题可得，
恰有一个零点.求导并分离参数
，构造新函数
，将问题转化为直线
与函数
的图象恰有一个交点，利用导数分析函数
的取值情况可得.
【详解】函数
的定义域为
.
.
由函数
恰有1 个极值点，得
恰有一个变号实数根.
即方程
恰有一个变号实数根.
令
，则直线
与函数
的图象恰有一个交点.
.
当
时，
，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，
，函数
单调递减.
所以当
时，
取得极大值，即最大值为
.
又当
时，
，所以
；
，
所以函数
的图象如下：
所以
或
.
当
时，
.
令
，则
，在
上单调递减.
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减.
所以当
时，
取得极大值，即最大值为
，即
恒成立.
所以
是减函数，无极值点.
所以实数
的取值范围为
.
10. （2026·辽宁·模拟预测）已知不等式
恰有两个整数解，则实数
的取值范围为_____．
【答案】
【分析】原不等式化为
，构造函数
，利用导数研究单调性并作出大致图象，数
形结合即可求出范围.
【详解】原不等式
等价于
，设
，
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取极大值1，又
，且
时，
，
在同一坐标系内作出
与
的图象，如图：
直线
恒过点
，当
时，显然不满足条件；
当
时，若0，1 是原不等式的解，只需要满足
，解得
，
的取值范围为
；
当
的切线过点
时，设切点为
，则切线方程为
，
该直线过点
，
，解得
，
若
是原不等式的解，则
，解得
，
所以k 的取值范围为
.
故答案为：
考点5 数列
1. （2026·江苏扬州·一模）定义：
是不大于x 的最大整数，
是不小于x 的最小整数，设函数.
在定义域
上值域为
，记
元素个数为
，则
________．
【答案】
【分析】分别求出
，
，
时，
的值域，可得
，
，
，推得
，
，利
用累加法求出
，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数
在定义域
上的值域为
，记
中元素的个数为
，
当
时，
，可得
，
，
，即
，
当
时，
，可得
或，
或
，
或1 或2，即
，
当
时，
，可得
或1 或2，
或
或
，
或1 或2 或4 或5 或6，即
，
当
时，函数
在定义域
上的值域为
，记
中
元素的个数为
，
当
时，函数
在定义域
上的值域为
，
记
中元素的个数为
，设
，则
，
，
所以
，
则可得递推关系：
，
所以
,
当
时，
成立，则
，则
，
所以
，
2. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列
的前n 项和为
，
，
是关于x 的方程
的两个不等实根，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】由韦达定理得到
，结合等比数列求和公式得到
，再结合
二次函数求最值即可.
【详解】设等比数列公比为
，由题意
，
由韦达定理得：
，即
，
，
代入
，
化简得：
令
，则得
，
二次函数开口向上，对称轴为
，
代入
得最小值：
所以
的最小值为
.
3. （2026·山西朔州·一模）已知数列
的前
项和为
，若
，
，则满足
的
的最小值为__________.
【答案】49
【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出
的表达式，接着由题
设不等式得到
的
的最小值即为所求，利用放缩法求得
和
即可得解.
【详解】由
知，
，所以
，
所以数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，则
，
所以
.
则满足
的
的最小值，
即满足
的
的最小值.
令
，易知
为单调递减函数.
又
，令
，解得
.
因为
，
当
时，
，
所以
.
当
时，
，
所以
.
因此满足不等式的
的最小值为49.
4. （2026·黑龙江大庆·二模）已知正项数列
的前
项和为
，且
.
若在
和
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
，即
，
记数列
的前
项和为
，则
___________.
【答案】2646
【分析】由题意，结合
，可得数列
是首项和公差均为1 的等差数列，从而求得
，所以
.进而求得
.根据数列
的特征可求出
.
【详解】因为
，所以前
项和
.
所以当
时，
因为
，
所以
，可得
，
所以数列
是首项和公差均为1 的等差数列，所以
，即
.
当
时，
，
又
满足上式，所以
.
新数列
中从
到
共有
项.
当
时，
；当
时，
.
所以
.
故答案为：2646.
5. （25-26 高三上·山东烟台·期末）若数列
满足
（
，当且仅当
为奇数时取“
”），则称
为“
数列”.设数列
为“
数列”，
，则
的最小值为
__________；若
，则正整数
的最大值为__________.
【答案】 16 86
【分析】根据“
数列”的概念，结合
，利用递推关系可求
的最小值；根据数列
的单调性，
且数列增长速度最慢时，根据
求
的值即可.
【详解】因为数列
为“
数列”，且
，
，
所以当
时，
；
当
时，
，又
，所以
；
当
时，
.
所以
的最小值为16.
因为数列
为“
数列”，所以
，
又
，所以数列
为递增数列.
问题转化为：数列
增长速度最慢时，由
，求
的值.
此时：
设
，则
；
当
时，
，所以
；
当
时，
，又
，所以
；
当
时，
，所以
；
当
时，
，又
，所以
；
当
时，
，所以
；
……
归纳得：当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
又
.
若
，
，
由
，
即
；
若
，
，
由
，
即
.
此时
，
，
.
又
，所以数列
应该是在第85 项之后，突然改变增长速度，使得
.
故
的最大值为86.
故答案为：16；86
6. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）将数列
中随机剔除两项
（其中
）
然后在原数列中添加一项
叫做数列
的一次变换，那么数列
经过
次
变换后数列中还剩下的一项为______.
【答案】2026
【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：
，正好是
新添加的项
求解.
【详解】题目中一次变换是：删除两项
，添加
，
观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：
，
这正好是
新添加的项，
也就是说，整个数列所有项的
的乘积在变换前后是不变的。
原数列是
共 2026 项，
初始乘积为：
，
每一次变换会让数列的项数减少，初始有
项，经过
次变换后，
数列只剩项，设为
，根据不变量，有：
，
解得
，
故答案为：2026
考点6 排列组合
1. （2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1 到10 的10 个产品，计划从中抽取3 个进行
检测，若抽取的3 个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
【答案】112
【详解】从编号为1 到10 的10 个产品中任意抽取3 个，共有
种方法，
当取到的3 个产品编号是相邻整数时，不符合要求，即123，234，345，456，567，678，789，8910，这8
种情况不符合要求，
所以抽取的产品编号不全是连续整数的抽取方法有
种方法.
2. （2026·重庆·一模）在矩形
内部（不包含矩形边界）有
个点，将这些点以及矩形的顶点作适当
连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当
时，三角形区域的个数为___________；若对
如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色．
【答案】
【分析】在矩形
内部（不包含矩形边界）有
个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形
分割成没有公共部分的三角形区域，利用等差数列得到三角形的个数为
，将
代入得解； 若对
如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，至少需要种不同的颜色．
【详解】在矩形
内部（不包含矩形边界）有
个点，
将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，
设三角形的个数为
，
当
时，在矩形
内部（不包含矩形边界）有个点，这个点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形
分割成没有公共部分的三角形区域，即这个点和矩形的四个点构成
个的满足条件的三角形，即
；
当
时，第二个点是在满足第一个点的三角形中的一个三角形内部，这个点和这个三角形的三个点构成
三个满足条件的三角形，同时去掉这个点所在的大三角形，故
；
同理，
，故
构成等差数列，首项为
，公差为
，
故
则三角形的个数为
，
则当
时，三角形的个数为
；
若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，
如果用2 种颜色，则
同色且
同色，且两色相异，则必定与
中某块同色，
与题设不合；
如果用3 种颜色，
假设在号区域内涂红色，在
号区域内涂黑色，在
号区域内涂黑色，
在
号区域内涂红色，则在号区域内不能涂红色和黑色，只能涂第三种颜色，
假设在号区域内涂蓝色，在
号区域内涂黑色，在号区域内涂红色，
故至少需要种不同的颜色．
故答案为：
，.
3. （2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入一个
的方格中，每个格子填1 个
数字，且不重复，要求第一行数字满足
，第三行数字满足
，第三列数字满足
，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
【答案】1080
【分析】由计数原理分析求解即可.
【详解】从9 个数中任取2 个数填入
和
的位置，有
种方法．
因为
，
，
所以在剩下的7 个数中，最大的数只能填入
的位置，
再从剩下的6 个数字中选择4 个数字填入
，
，
，
的位置，且这4 个数字只能按照从小到大的顺
序分别填入
，
，
，
的位置，
最后剩下的2 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入
，
的位置，
故填好
，
，
，
，
，
，
共有
种方法．
因此，按照要求填好该方格共有
种方法．
故答案为：1080.
4. （2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4 名男生和3 名女生组成的7 人团队参加数学建模竞赛.该
竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1 名
选手，每人只参加1 个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2 人，
且至少有1 名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人
员分配方案共有______种.
【答案】1122
【分析】由规则②④可知环节三最多有3 个人，分环节三有3 个人、环节三有2 个人两种情况，结合计数
原理和组合知识解决.
【详解】为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节
一、环节二、环节三、环节四，
由规则②④可知，环节一至少有2 个人，环节一、环节二和环节四至少共有4 个人，因此环节三最多有3
个人.
（1）当环节三有3 个人时，
则有可能是3 个女生，或者2 个女生和1 个男生，或者1 个女生和2 个男生，
则安排好环节三有
种方案，
剩余4 个人，环节一必然有2 个人，环节二和环节四各有1 个人，
则安排好环节一、环节二和环节四有
种方案.
所以安排好四个环节共有
种方案.
（2）当环节三有2 个人时，则有可能是2 个女生，或者1 个女生和1 个男生，
则安排好环节三有
种方案，
剩余5 个人，
当环节一有2 个人时，环节四有2 个人，环节二有1 个人，此时有
种方案；
当环节一有3 个人时，环节四有1 个人，环节二有1 个人，此时有
种方案.
所以安排好四个环节共有
种方案.
综上，满足条件的安排方案共有
种.
5. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
【答案】200
【详解】
将有阴影的圆分别标为
，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为
时，则将
填在
中有
种方法，接着剩下的
个数字填到圆中有
种方法，所以共有
种方法；
当阴影的圆中的数字为
时，若将
填到，则接着安排
有
种方法，与相邻的两个圆只能从
中选两个有
种方法，剩下两个数有
种填法，所以共有
种方法；
若将
填到
或
，有
种方法，则接着安排
有
种方法，与
相邻的三个圆只能填
有
种方法，
剩下一个数有种填法，所以共有
种方法；
当阴影的圆中的数字为
时，则只能填到，则接着安排
有
种方法，与相邻的两个圆只能安
排
有
种方法，剩下两个数有
种填法，所以共有
种方法；
所以总共有
种填法.
故答案为：
6. （2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向
上或向右移动1 格，则从起点到终点共有______种不同的走法.
【答案】29
【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可.
【详解】设：列从左到右为
，行从下到上为
，
起点(
)，简记为
，终点(
)，简记为
如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1 格，
则小明必经过
和
，
当小明经过
到达
时，按以下步骤：
从
到
，这三步中有一步向右，两步向上，故有
种走法，
下面又分两类情形到达
，
第1 类是从
到
，只有2 种走法，然后再向右走到
，
而从
到
，这三步中有一步向上，两步向右，故有
种走法，
所以第1 类从
到
的走法有
种；
第2 类是从
到
，这三步中有一步向右，两步向上，故有
种走法，
然后从
到
，只能全向右走，只有1 种走法，
所以第2 类从
到
的走法有
种；
所以小明经过
到达
的走法有
种；
当小明经过
到达
时，按以下步骤：
从
到
，只能全向右走，只有1 种走法，
再从
到
，只能全向上走，也是只有1 种走法，
最后从
到
，只有2 种走法，
所以小明经过
到达
的走法有
种；
故小明从起点到终点不同的走法共有
种.
1．（25-26 高三下·湖南·月考）如图所示的挂件由7 个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸
出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四
种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所
有的涂色方法种数为______.
【答案】
【分析】按中心主挂件、第一层分挂件、第二层分挂件的顺序分步涂色，中心 4 选 1，第一层用剩余 3
色全排列，第二层用容斥原理解决错位排列问题，最后用分步乘法计数原理得到总方法数.
【详解】按分步计数原理，依次涂色：
涂中心主挂件：共4 种颜色可选，因此有
种涂色方法；
涂第一层分挂件（共3 个）： 要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色；
且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1 种颜色，剩余3 种颜色，给3 个不同的第一层分挂件涂色，
是全排列问题，方法数为
；
涂第二层分挂件（共3 个）： 要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色；
且同一层分挂件颜色不同.此时已有4 种不同颜色：中心颜色
，三个第一层颜色
（互不相同，且都
不等于
），
需要选3 个不同颜色分配给3 个第二层，满足位置不选
，用容斥原理计算： 总排列数
，
减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数：
；
总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为：
.
2．（25-26 高三下·湖北黄冈·月考）某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6 人（4 男2 女），乙
班科技课外兴趣小组有6 人（3 男3 女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2 个学生参
加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________．
【答案】
/0.375
【分析】先明确问题与事件定义，再计算总样本及相关事件概率，最后利用条件概率公式求解．
【详解】已知甲班科技小组：4 男2 女，共6 人；乙班科技小组：3 男3 女，共6 人，
则总人数为
，其中男生7 人，女生5 人；
设事件
为“选出的2 个学生都是男生”，事件
为“选出的2 个学生中至少1 个是男生”，
已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率为：
事件
发生的情况下事件
发生的概率，即为
，
是
的子集，
，
，
．
故答案为：
．
3．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），
规定每局胜者得
分，平局各得分，负者得
分．比赛结束后，四人的得分各不相同，且第二名的得分是
最后两名得分之和的
．则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为__________．
【答案】
【分析】分析可知共比赛
场，则四位选手总得分为
分，设第一、二、三、四名的得分分别为
、
、、
，则
，根据题意列出关于
、
、、
的等式与不等式，求出这四个量的可能取值，然后
分
、
两种情况讨论，列举出所有可能情况，结合古典概型的概率
公式可得出所求事件的概率.
【详解】甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），共比赛
场，
其中每场两位选手的得分之和为
分，则
场比赛后四名选手的得分之和为
分，
设第一、二、三、四名的得分分别为
、
、、
，则
，
根据题意得
，解得
或
，
①当
时，有
种得分结果：
分（
胜平）、
分（胜
平）、
分（
平负）、分（平
负）；
分（
胜平）、
分（胜
平）、
分（胜
负）、分（平
负）；
分（
胜平）、
分（
胜负）、
分（
平负）、分（平
负）；
分（
胜平）、
分（
胜负）、
分（胜
负）、分（平
负）.
每种得分结果中平局的分别有：局、
局、
局、局；
②当
时，有
种得分结果：
分（
胜平）、
分（胜
平）、分（胜平负）、
分（负）；
分（
胜平）、
分（
胜负）、分（胜平负）、
分（负）；
每种得分结果中平局分别有：
局、局.
综上所述，由对称性知，共有
种可能的得分构成情况，由对称性可知这
种情况等可能，
各种情况下，总比赛场次为
场，平局的场次数分别为、
、
、、
、，
所求概率为
.
故答案为：
.
4．（2026·山东烟台·一模）一圆周上均匀分布着8 个点，将这8 个点连接成4 条弦，且任意两条弦没有公
共点．记
为“4 条弦中由相邻两点连接成的弦的条数”，则
的数学期望为______．
【答案】
【分析】变量
表示第对相邻点被连成弦的情况（
表示被连，
表示未被连），则
.
由期望的线性性，
，利用对称性只需计算单个
再乘以8.
【详解】设
为圆周上
个点无交叉连接成
条弦的总数，通过递推计算：
（2 个点）：只有1 种连接方式，
（4 个点）：固定点1，可连2 或4：
连2：剩余2 个点（3,4），连接数
，
连4：剩余2 个点（2,3），连接数
，
故
.
（6 个点）：固定点1，可连2、4、6：
连2：剩余4 个点（3-6），连接数
，
连4：分成两部分（2-3 和5-6），连接数
，
连6：剩余4 个点（2-5），连接数
，
故
.
（8 个点）：固定点1，可连2、4、6、8：
连2：剩余6 个点（3-8），连接数
，
连4：分成两部分（2-3 和5-8），连接数
，
连6：分成两部分（2-5 和7-8），连接数
，
连8：剩余6 个点（2-7），连接数
，
故总连接数
.
任取一对相邻点（如点1 和点2），若它们被连成弦，则剩余6 个点（3-8）需无交叉连接成3 条弦，连接
数为
.
单个相邻对被连的概率：
由期望的线性性：
.
5．（2026·浙江·模拟预测）有5 个相同的球，分别标有数字
，从中有放回地随机取3 次，每次取
1 个球.记
为标有数字的球被取出的次数，
，则
__________.
【答案】
【分析】列出随机变量的所有取值为1、2、3，再计算所有取值的概率，最后再由期望公式求解即可.
【详解】依题意，
的可能取值为1､2､3，总的选取可能数为
，
，
，
，
所以
，
故答案为：
.
6．（25-26 高三上·广东深圳·期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射
击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________.
【答案】
【分析】设射击总次数的数学期望为
，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可.
【详解】设射击总次数的数学期望为
，
若第一次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为
，
此情况下发生的概率为
，射击总次数为
，
若第一次中靶，且第二次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为
，
此情况发生的概率为
，射击总次数为
，
若第一次中靶，第二次中靶，则此情况发生的概率为
，射击总次数为2，
则射击总次数的数学期望为
，
解得
故答案为：
7．（2026·重庆九龙坡·一模）盒子中有4 个红球，6 个白球，从盒中每次取1 个球，取出后将原球放回，
再加入2 个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2 次取到红球的概率为_____；在第2 次取到红球
的前提下，第3 次取到白球的概率为_____.
【答案】
/
/
【分析】根据条件概率及全概率公式即可求解.
【详解】记事件
“第次取到红球”，
则
，
，
所以
，
即第2 次取到红球的概率为
；
，
所以
，
即在第2 次取到红球的前提下，第3 次取到白球的概率为
.
故答案为：
；
.
8．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线
：
的左焦点为
，左顶点
为
．以原点
为圆心，分别以
，
为半径作圆
，
．设
是圆
与
在第一象限的交点，连接
交圆
于
，
两点．若
，则
的离心率为_________．
【答案】
【分析】根据线段之间的关系结合勾股定理、弦心距等知识得到
与的关系，代入双曲线离心率公式计
算即可.
【详解】设
的右焦点为
，半焦距为（
）．设
的中点为
，连接
，
，
，
，
，
易知
．
不妨设
在
的左侧，因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，
不妨均设为
（
），易知
，
从而
，
因此
，整理可得
①．
又在
中，有
，整理得
②．
由①②可得
，解得
，可得
，
因此离心率
．
9．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，双
曲线C 的一条渐近线的斜率为
，过点
的直线l 与双曲线C 的右支交于P，Q 两点.A，B 分别为
和
的内心，若四边形
的面积为
，则直线l 的斜率为__________.
【答案】2 或
【分析】易得
，由三角形内切圆的性质，可得
的横坐标均为
，即
.根据四边形的面积
为
，求得
.设直线l 的倾斜角为
（
），利用直角三角形中角的正切的定义，
用
表示
，从而解得
.由二倍角的正切公式，求出
，即直线l 的斜率.
【详解】因为双曲线C：
（
，
）的一条渐近线的斜率为
，所以
.
设双曲线C 的焦距为2c，则
，得
.
设点A 在直线
，
，
上的射影分别为
，
则
，
又
，所以
，故点M 的横坐标为a，所以点A 的横坐标为a.
同理可得点B 的横坐标也为a，所以
三点共线，所以
，
故四边形
的面积
.
因为四边形
的面积为
，所以
，所以得
.
设直线l 的倾斜角为
（
），则
，且
.
所以
，
，
所以
，
所以
，解得
或
.
所以
或
，故直线l 的斜率为2 或
.
故答案为：2 或
.
10．（2026·贵州安顺·一模）已知点M 为正三棱柱
的外接球上的动点，且
，若
，
，则点M 的轨迹长度为______．
【答案】
【分析】根据题意，先取底面
的中心
，确定正三棱柱的外接球的球心为
，求出其半径为2，建系
后求出相关点的坐标，设点
，利用
可推得
，即得点
的
轨迹为以点
为球心，半径为2 的球面，进而可得点M 的轨迹为两球的交线圆，利用垂径定
理求出交线圆的半径即得轨迹长度.
【详解】设点
为正三棱柱
的底面
的中心，
为其外接球的球心，
易得
平面
，且
，因
，则
，
则该外接球的半径为
.
以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，以过点
与
平行的直线为
轴建立空间直角坐
标系.
则
，设点
，
由
可得
，
两边取平方，展开整理得：
，配方可得
，
则点
的轨迹为以点
为球心，半径为2 的球面.
因球
的球心距为
，
两球半径都是2，则两球的交线圆的半径满足
，
故点M 的轨迹为交线圆，其周长为
，即点M 的轨迹长度为
.
故答案为：
.
11．（2026·广东佛山·一模）已知
是椭圆
上关于原点
对称的两点，
是
的
右焦点，
的延长线交
于点
，则
的离心率为__________.
【答案】
/
【分析】设椭圆
的左焦点为
，证明四边形
为平行四边形，设
，结合椭圆定义和余弦
定理可得
，在
中，由余弦定理可得
的关系，由此可求离心率.
【详解】如图，设椭圆
的左焦点为
，连接
、
、
，
由题意可知，
关于原点
对称，且
为
的中点，所以四边形
为平行四边形，
因为
，所以
，
由
，设
，则
，
所以
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
，
，解得
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，故椭圆
的离心率
.
故答案为：
.
12．（2026·重庆·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的右支上（不含顶
点），设
的内切圆圆心为
，则
______，
的最小值为______.
【答案】 3 16
【分析】利用双曲线定义和切线定理列方程组计算可得圆心横坐标，结合正切函数定义可得第一空；利用
二倍角公式，用表示出目标式，结合基本不等式求解可得第二空.
【详解】空一：双曲线
的实半轴长
，虚半轴长
，半焦距
，
设圆
与
的三边分别相切于点
，
由切线定理可知，
，
结合双曲线定义可知，
，
又
，联立求解可得
，
所以点
的横坐标为1，即
的横坐标为1，设圆
的半径为，
则
，
；
空二：
，同理
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为：3；16
13．（2026·河南开封·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
作
直线分别交两条渐近线于点
，交
轴于点
为坐标原点．若
的面积是
的面积的3 倍，
则
_____．
【答案】
【分析】根据已知条件求出双曲线渐近线方程、焦点坐标、点
的坐标，然后利用面积比列出等式，
最后根据两点距离公式列出
的表达式，进行化简即可求得结果.
【详解】因为双曲线
的左、右焦点分别为
，
所以
，渐近线方程为
.
因为过点
的直线与
轴有交点
，所以该直线的斜率存在，
设该直线方程为
，则
，该直线与渐近线方程联立得
，解得
.
，解得
.
所以
，
.
由题意知，
，所以
，
化简得
，所以有
.
，
所以
，又
，
.
所以
.
故答案为：
.
14．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在三棱锥
中，
是棱
上的点，
，
，
，
，三棱锥
的体积是
，则
______．
【答案】
【分析】设
分别为棱
的中点，连接
，
，
，
,证得
平面
，求得
，且
，结合三棱锥的体积公式，列出方程，求得
的长，进而得到
的长度.
【详解】设
分别为棱
的中点，连接
，
，
，
,
在
中，
，因为
，所以
，
在
中，
，所以
．
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
,
在
中，
，所以
．
因为
，且
平面
，所以
平面
，
在直角
中，
，
则
，又
，
则
，
因为
，
所以
，
即
，解得
，
又因为
，所以
．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体
所有棱长都相等，
，点
在底面
的射影为
中点，且直线
与底面
夹角为
，则三棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积为_____．
【答案】
/
【分析】根据外接球性质确定球心及半径，再结合等体积法得到球心到面
，进而得到截面半径即可
求解．
【详解】设
中点为
，
，
，
，
，
即
，
，则
，
，
又
平面
，
平面
，
，则
，
，即
，
三棱锥
中
均为直角三角形，
且平面
平面
，
三棱锥
的外接球是以
为直径，
为球心，半径
，
设
到平面
的距离为
，外接球被平面
截得的截面半径为，
，
，
，
，解得
，
截面半径
，面积为
．
16．（2026·甘肃兰州·一模）正四面体
的棱长为
，过棱
作平面
与棱
平行，则平面
截
该正四面体的外接球所得截面的面积为__________.
【答案】
【分析】通过分析平面
的位置，确定外接球球心到平面
的距离，再计算出截面圆的半径求解.
【详解】正四面体的外接球半径为：
，
对棱
和
互相垂直且距离为：
，
平面
过
且平行于
，故平面
与
的距离等于
与
的距离为
，
球心在正四面体的中心，所以球心到平面
的距离
，
则截面圆的半径
，
所以截面的面积为：
.
17．（2026·广东佛山·二模）在平面四边形
中，
．将
沿
翻折到
，若三棱锥
的外接球半径是2，则二面角
的正弦值是
___________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用球面的性质及二面角的定义求解.
【详解】在三棱锥
中，取
中点
，
为
的外心，
由
，得
，
在线段
上，且
，
由
，得
是
的外心，令三棱锥
的外接球球心为
，
则
平面
，
平面
，而
，则
，
显然
平面
，则
平面
，
令平面
平面
，则
是二面角
的平面角，
且
，而
，则
，
所以二面角
的正弦值是
.
18．（2026·山东德州·一模）在矩形
中，已知
是
的中点，将
沿直线
翻
折成
为线段
的中点，连接
.当
与平面
所成角为
时，三棱锥
外接
球的表面积为__________.
【答案】
/
【分析】取
的中点
，先证明平面
平面
，则
与平面
所成角为
，即
，再证
为
的外接圆的圆心，设
为三棱锥
外接球的球心，半径为
，设
，分别考虑球心
和点
位于平面
的两侧和同侧分别讨论，利用球的表面积公式求解.
【详解】因
是
的中点，则
，
是矩形，
，
翻折后
，因
为线段
的中点，则
，
因
，
，则
，故
，
取
的中点
，连接
，则
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
在平面
的射影为
，
与平面
所成角为
，
，
因
和
都是直角三角形，则
，
为等边三角形，
取
的中点为
，连
，则
，
平面
，
平面
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
是直角三角形，
，
为
的外接圆的圆心，
设
为三棱锥
外接球的球心，半径为
，则
平面
，
设
，则
，
若球心
和点
位于平面
的两侧，如图1，延长
到点
，使得
，
平面
，
平面
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，
，
解得
，则
，
三棱锥
外接球的表面积
；
若球心
和点
位于平面
的同侧，如图2，
平面
，
平面
，
，
过点
作
，交
于点
，则四边形
为平行四边形，
则
，
，
则
，解得
，舍去.
综上可得，三棱锥
外接球的表面积为
.
19．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初
始数列
经过
次扩充后的新数列记为
，项数记为
，所有项的和记为
.现若扩充规则为每相
邻两项之间插入这两项的和，如：数列
经过一次扩充后得到数列
，
，
.已知初始数列
，则
______；
______.
【答案】
【分析】根据已知可得
的关系，推出
是等比数列，从而可得
，由
的关系，推出
是等比数列，即可求解
.
【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，
所以经第
次扩充后增加的项数为
，因此
，
所以
，因为
，
所以可得数列
是以4 为首项，公比为2 的等比数列，
所以
，即
；
设第n 次扩充后数列的各项为
，
则
．
因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
，
又
，所以
是首项为3，公比为3 的等比数列，故
，
综上，
，
.
20．（2026·江西赣州·一模）一自动运动的小车连续运行
次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，
记未连续出现2 次向后运动的概率为
，则
的值为__________.
【答案】
【分析】根据题意可知
，再推导出
为定值即可求解．
【详解】根据题意，小车向前或向后运动的概率为
，
未连续出现2 次向后运动的概率为
，
则第
次可能向前或向后运动，
当第
次是向前运动时，只要前
次未连续出现2 次向后运动，其概率为
；
当第
次是向后运动时，则第
次只能向前运动，且前
次未连续出现2 次向后运动，其概率为
；
，
，
，
即
，
由②得
代入①，
，即
，
．
21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，
，直线l 与
和
均相切，切
点分别为
，
，则
________．
【答案】
【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可．
【详解】函数
，
，有
，
，
函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
，
函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
，
一条直线l 与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，
则有
，可得
，两边同乘
得：
①，
由
可得
，即
，代入①可得
，即
；
又由
可知，
，
则
.
故答案为：
22．（2026·安徽合肥·一模）已知直线
与
轴、
轴分别交于点
，点
在曲线
上，点
在上，点
满足
，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】平移直线与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得
到直线的距离的最小
值，取
的中点为
，进而可求
的最小值.
【详解】当直线平移到与曲线
相切于点
，
此时切点
是曲线上的点到直线的距离最小的点，
由
，得
，
因为直线的斜率为，所以令
，整理得
，
解得
（舍去）或
，又
，故此时切点
，
且此时
到直线
的距离为
，
又
，故此时
到直线的距离为
，
取
的中点为
，
时，
的长取得最小值
，如图所示：
由直线
，可得
，
所以
，所以
，
又
,
故
最小时，
的最小值，且最小值为
.
故答案为：
.
23．（2026·四川巴中·一模）若不等式
恒成立，则
的取值范围_____.
【答案】
【分析】将原不等式变形为
，构造函数
，得到
在R
上单调递增，从而将问题转化为
恒成立，令
，
，利用导数求出
的最小值即可求解.
【详解】
左右两边同时加
，并将
移项得
，
整理得
，
设
，
，故
在R 上单调递增，
则原不等式可化为
，
所以
，
整理得
，
令
，
，设
，
，
则
，令
，则
，
故当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
对方程
，
，故存在实数
使
成立，
所以
，即
.
故答案为：
.
24．（25-26 高三上·山西晋城·月考）若函数
的最大值为
则
的
最小值为___________________.
【答案】
【分析】求导，利用导数的符号确定函数单调性，得到最大值
，再设
，继续求导，分析函数单调性得到最值即可．
【详解】函数
的定义域为
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，
，
所以存在唯一的
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
，
由
，得
，
所以
，
设
，则
，
令
，得
（舍）或
，
当
时，
，单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
有最小值
，
即
的最小值为3．
故答案为：3．
25．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为_____
【答案】
【分析】构造函数
，对函数求导，根据已知条件得出函数
在
上的单调
性，然后将所求不等式等价得出
，最后利用单调性解出不等式即可.
【详解】设
，
则
，
由已知当
时，
，
即
，又
，
所以
，
所以
在
上单调递减，
又
，所以
，
由
，则
，
因为
，所以
，
即
，
又因为
在
上单调递减，
所以
，
所以不等式的解集为
，
故答案为：
.
