文档文本内容
题号猜押13 全国卷高考数学第19 题A（解答题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T19
函数与导数
三角函数最值、存在性证明、恒成立求最值
2025
Ⅱ卷
T19
概率与数列
乒乓球比赛概率、递推关系、不等式证明
2024
Ⅰ卷
T19
数列新定义
可分数列定义、组合计数、概率证明
2024
Ⅱ卷
T19
双曲线与数列
点列构造、等比数列证明、面积定值
2023
Ⅰ卷
T22
函数与导数
函数最值、存在直线、等差数列证明
2023
Ⅰ卷
T21
概率统计
投篮比赛、递推概率、数学期望
2023
Ⅱ卷
T22
函数与导数
不等式证明、极大值点求参
2023
Ⅱ卷
T21
双曲线
定直线证明
2022
Ⅰ卷
T22
函数与导数
函数最值、存在直线、等差数列证明
2022
Ⅰ卷
T21
双曲线
直线斜率、三角形面积
2022
Ⅱ卷
T22
函数与导数
单调性、恒成立、数列不等式
2022
Ⅱ卷
T21
双曲线
渐近线、三点共线条件证明
2021
Ⅰ卷
T22
函数与导数
单调性、极值点偏移、双变量不等式
2021
Ⅰ卷
T21
双曲线
轨迹方程、斜率之和
2021
Ⅱ卷
T22
函数与导数
单调性、零点证明（条件选择）
2021
Ⅱ卷
T21
概率统计
微生物繁殖、概率递推、实际意义
近5 年压轴位置（原T22/现T19）考点高度集中，函数与导数出现8 次，占据绝对主导地位。但2024-2025
年出现新变化：2024Ⅰ卷考查数列新定义、2024Ⅱ卷考查双曲线与数列结合、2025Ⅱ卷考查概率与数列综
合，表明压轴题已开始向跨模块融合与创新拓展。同时，原倒数第二题（T21）位置在旧版中常考查圆锥
曲线与概率统计，这些内容在新版中可能上移或与压轴题融合。
预测
2026 年压轴解答题（T19）极大概率以函数与导数为核心，但可能融合数列、概率等元素。第（1）问含参
函数单调性讨论；第（2）问可能考查恒成立求参、零点讨论、不等式证明、极值点偏移，或借鉴近年趋
势出现概率与数列综合、解析几何与数列结合等创新题型。若函数导数未出现于此，则可能在圆锥曲线与
数列综合方向出题，但概率较低。
备考核心
主攻含参函数单调性，熟练掌握分类讨论标准（导数零点与定义域关系、二次函数开口与判别式）；突破
恒成立问题，掌握参变分离与构造函数法；攻克零点问题，掌握零点存在定理、指对分离技巧；理解极值
点偏移，掌握对称构造法与对数平均不等式；；熟练解析几何及与数列综合，掌握设而不求与递推关系处
理。规范书写，分类讨论不重不漏，导数符号判断清晰。限时训练，每道题控制在20~25 分钟，注重思维
深度与计算精度。
考点1 导数及其应用
1．（2026·江西赣州·一模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性.
(2)设函数
，若存在唯一实数
使函数
的最小值为0，求实数
的取值范
围.
2．（2026·广西河池·二模）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)当
时，证明：
．
3．（2026·河南南阳·一模）已知函数
，其中
，且
．
(1)当
时，讨论
的零点个数；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恰有两个零点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
．
5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：对任意
，都有
；
(3)证明：
，
.
6．（2026·江苏·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
(3)当
时，证明：
．
7．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
有两个极值点
，
，证明：
．
8．（2026·河北保定·一模）已知函数
(1)当
时，求
的极值.
(2)已知
.
（i）证明:
；
（ii）若
在
上恒成立，求实数t 的取值范围.
9．（2026·江苏·一模）已知函数
.
(1)对任意
，
是
的必要条件，求
的最小值；
(2)对任意
，函数
存在两个零点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的
，证明：当
取得最小值时，
.
10．（2026·浙江宁波·二模）已知函数
．
(1)若
，求曲线在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，
，且
，
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知a 为实数，函数
，函数
.
(1)若
在区间
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)求函数
极值点的个数；
(3)当
时，证明：
，
，使
.
12．（2026·江西·一模）已知函数
．
(1)求
在
上的最大值；
(2)求证：
恒成立；
(3)若
都有
恒成立，求
的最大值．
13．（2026·天津河东·一模）已知函数
（
）.
(1)函数
在定义域内无极值，求a 的取值范围；
(2)函数
（
），
有三个不同的极值点
，
，
，
；
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明
.
14．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)函数
．
（ⅰ）当
时，讨论函数
在区间
上的零点个数；
（ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
15．（2026·河北邯郸·一模）已知函数
．
(1)若
，证明：
．
(2)设
有两个零点
．
①求
的取值范围；
②证明：
．
1．（2026·甘肃兰州·一模）已知
.
(1)若曲线
在
处的切线的一个方向向量为
，求实数
的值；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
2．（2026·河北唐山·一模）函数
，
.
(1)若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若曲线
与
在
处有相同的切线，
（i）求a 的值；
（ⅱ）若
，证明：
.
3．（2026·山东淄博·一模）设
、
为实数，且
，函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
；
(3)若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围.
4．（2026·贵州安顺·一模）已知函数
，
．
(1)令
，求
在点
处的切线方程：
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)证明：（i）当
时，
（ii）
．
5．（2026·广东佛山·一模）已知函数
，其中
为正实数．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）当
取最小值时，若
，
为正实数，且
，证明：
．
6．（25-26 高三下·河南·开学考试）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
；
(3)设
，若存在
，使得
，证明：
．
7．（2026·山东聊城·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求a 的取值范围；
(3)若
有最大值
，记曲线
在点
处的切线方程为
，证明：当
时，存在
使
，且
．
8．（2026·江西南昌·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
的零点为
，设曲线
在
处的切线为
，求证：
(3)当
时，设
，且满足
，求证：
.
9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)当
时，证明：当
时，
.
(3)若
有两个零点，求a 的取值范围.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，且
为函数
的极值.
(1)求实数a 的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
内极值点的个数．
(2)设函数
，若函数
存在两个不同的零点
，且
．
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
．
12．（2026·广东广州·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
有且仅有1 个零点，求
的值；
(3)若存在
，使得
对任意
恒成立，证明：
．
13．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，证明：
在
上存在2 个不同的零点
，且
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
14．（2026·河北衡水·一模）已知函数
.
(1)证明：存在
，使得曲线
在点
处切线的斜率为定值.
(2)当
时，讨论
零点的个数.
(3)当
的零点个数最多时，证明：
的零点之和大于3.
15．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
，
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
，
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）函数
图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理
由.
16．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知函数
，
，记
的
导函数为
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
在区间
内单调递增，求a 的取值范围；
(3)若
，
，证明：
．
17．（2026·福建泉州·一模）已知函数
.
(1)证明：
有且只有一个极值点；
(2)若
恰有两个零点.
（i）证明：
；
（ii）记
的极值点为
，若
，求
的取值范围.
18．（2026·新疆·模拟预测）函数
，
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
.
（参考数据：
）
19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（ⅰ）当
时，证明：
；
（ⅱ）当
时，设
，且
.求证：
.
20．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
上的值域；
(2)若对任意
，都有
，求实数
的取值范围；
(3)证明：
.
