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二 圆柱和圆锥
一、圆柱
1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.以长
方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。）
2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的
3、圆柱的特征：
（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。
（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆柱有无数条高
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加2 倍底面积，即S 增 =2πr²
②竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，
宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S 增=4rh
5、圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，展开图形为正方形
②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形
③无论怎么展开都得不到梯形
6、圆柱的相关计算公式：底面积 ：S 底=πr²
底面周长：C 底=πd=2πr
侧面积 ：S 侧=2πrh
表面积 ：S 表=2S 底+S 侧=2πr²+2πrh
体积 ：V 柱=πr²h
考试常见题型：①已知圆柱的底面积和高， 求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积
⑤已知圆柱的侧面积和高， 求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算
无盖水桶的表面积 =侧面积＋一个底面积
油桶的表面积 =侧面积＋两个底面积
烟囱通风管的表面积=侧面积
只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装
侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池
侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类
二、圆锥
1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的
圆锥也可以由扇形卷曲而得到
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高
3、圆锥的特征：
（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。
（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆锥有一条高。
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆
②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆
锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，
即S 增=2rh
5、圆锥的相关计算公式：底面积 ：S 底=πr²
底面周长：C 底=πd=2πr
体积 ：V 锥=πr²h
考试常见题型：①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长
②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算
三、圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3 倍。
2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3 倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3 倍。
4、圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差Sh
题型总结
①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比
②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)
③横截面的问题
④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)
容积是圆柱或长方体，正方体
⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，注意不要
乘以
四、典型题：
1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的π 倍，
即h=C=πd,它的侧面积是S 侧=h²
2、圆柱的底面半径扩大2 倍，高不变，表面积扩大2 倍，体积扩大4 倍。
3、圆柱的底面半径扩大2 倍，高也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大8 倍。
4、圆柱的底面半径扩大3 倍，高缩小3 倍，表面积不变，体积扩大3 倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48 立方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积
是（ ）立方厘米
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 ：3，圆柱占1 份，圆锥占3 份，一共4 份，题目中说了4 份的和一共
是48 立方厘米。 圆锥占了4 份中的1 份，圆柱占了4 份中的3 份
V 锥：48÷4=12(立方厘米) 或 48×=12(立方厘米)
V 柱：48÷4=12(立方厘米) 12×3=36(立方厘米) 或 48×=36(立方厘米)
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24 立方分米，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，圆锥的体
积是（ ）立方分米。
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 ：3，圆柱占1 份，圆锥占3 份，1 份和3 份相差了2 份，题目中说了
相差24 立方分米，2 份就是24 立方分米
圆锥占了2 份中的1 份，圆柱占了2 份中的3 份
V 锥：24÷2=12(立方分米) 或24×=12(立方分米)
V 柱：24÷2=12(立方分米) 12×3=36(立方分米) 或 24×=36(立方分米)
7、一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，圆柱的高是2 厘米，圆锥的高是（ ）厘米。
V 柱=V 锥 V 柱=V 锥
S 柱底h 柱= S 锥底h 锥 S 柱底h 柱= S 锥底h 锥
h 柱= h 锥 S 柱底= S 锥底
2= h 锥 4 = S 锥底
h 锥= 2÷ S 锥底= 4÷
h 锥=6 S 锥底=12
8、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆柱的底面积是4 平方分米，圆锥的底面积是（ ）平方分
米。
9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：6。如果圆锥的高是3.6 厘米，圆柱的高是（ ）厘
米，如果圆柱的高是3.6 厘米，圆锥的高是（ ）厘米。
S 锥底h 锥
1 S 锥底h 锥
1
S 柱底h 柱 6 S 柱底h 柱 6
h 锥
1 h 锥 1
h 柱 6 h 柱 6
h 柱×1 = ×h 锥×6 h 柱 = ×h 锥×6
h 柱 = ×3.6×6 h 柱÷÷6 = h 锥
h 柱 = 7.2 3.6÷÷6 = h 锥
10、一个圆柱体，把它的高截短3 厘米，它的底面积减少94.2 平方厘米，这个圆柱的体积减少了（ ）立
方厘米。πr²
C=S 侧÷h r=C÷π÷2 V=πr²h
=94.2÷3 =31.4÷3.14÷2 =3.14×5×3
=31.4(厘米) =5(厘米) =235.5(立方厘米)
