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专题2.3 指数与指数函数
重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式
1．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川乐山·三模）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山西临汾·三模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
4．（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）若
，则
（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15
5．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
指数运算、指数方程与指数不等式
重难点题型2
指数函数的图像与性质
重难点题型3
指数型“复合函数”的单调性与最值
重难点题型4
指数中的”恒成立”问题
重难点题型5
比较大小
重难点题型6
指数的实际应用
重难点题型7
综合应用
1
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6．（2024·海南海口·模拟预测）已知
，
，则
．
重难点题型2 指数函数的图像与性质
1．（2025·河北·二模）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图象如图所
示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点
B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于
的方程
有两个不等实根
D．
在区间
上单调递增
2．（2025·全国·模拟预测）设直线
分别交曲线
与曲线
于
两点，若点
在
上，满足
为等边三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·北京海淀·一模）函数
的图象一定经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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4．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
至少有一个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数
与指数函数
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
且
的图象过定点
，则点
的坐标是
.
7．（2023·山东济宁·一模）已知函数
且
的图象过定点A，且点A 在直线
上，则
的最小值是 .
8．（2023·河南郑州·一模）设函数
则满足
的x 的取值范围是 ．
3
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重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值
1．（2025·山东济宁·二模）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数
在
上的最大值为
，则
（）
A．
或3
B．
或2
C．3
D．2
5．（2024·广东深圳·一模）已知
，则
的解集为 ．
6．（2022·河南·模拟预测）函数
在
的值域为 ．
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
.若
的定义域为
，则
的定义域为：
；若
，
的值域为
，则
的取值范围是： .
8．（2022·福建龙岩·一模）已知函数
，若方程
有解，则实数
的
4
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取值范围是 ．
重难点题型4 指数中的“恒成立问题”
1．（2025·江西·二模）已知函数
，若关于
的不等式
恒成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）若不等式
在
上恒成立，且
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，若不等式
对任意的
恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
5．（20-21 高三上·上海松江·期中）已知不等式
，对于
恒成立，则实数
的取值
范围是 ．
5
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6．（2004·湖南·高考真题）若直线
与函数的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .
重难点题型5 比较大小
1．（2025·河北石家庄·三模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·天津红桥·二模）若
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高一上·浙江杭州·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（18-19 高一上·福建漳州·期末）若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（ ）
A．b＞c＞a
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
6．（23-24 高一下·湖北·开学考试）比较
，
，
的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型6 指数的实际应用
6
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1．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
．2011 年3
月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶川发生里
氏8.0 级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：
，
）
A．30
B．31
C．32
D．33
2．（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.
《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是
，那么一年后是
；
如果每天的“退步”率都是
，那么一年后是
.一年后“进步”的是“退步”的
倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是
，那么大约经过（ ）月后“进
步”的是“退步”的一万倍.
A．20
B．21
C．22
D．23
3．（22-23 高三上·江苏南通·期中）“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；
而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，
实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放
量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式
，若经过5 年，二氧化碳的排放量为
（亿吨）．已
知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为
（亿吨），则该地区要能
实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：
）（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过
．一杯茶泡好后置于室
7
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内，分钟、
分钟后测得这杯茶的温度分别为
、
，给出三个茶温
（单位：
）关于茶泡好后
置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①
；②
；③
．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温
（单位：
）
关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时
间为（ ）（参考数据：
，
）
A．分钟
B．
分钟
C．分钟
D．
分钟
5．（2021·云南昆明·三模）已知某物种经过x 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：
，
当
时，y 的值表示2021 年年初的种群数量.若
年后，该物种的种群数量不超过2021 年初种群
数量的
，则t 的最小值为(参考值：
)（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）碳
测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于
年发
现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律
（表示
的是放射性元素在生物体中最初的含量
与经过时间后的含量
间的关系，其中
（
为半衰
期）．已知碳
的半衰期为
年，
，经测量某地出土的生物化石中碳
含量为
，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据
）（ ）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
8
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重难点题型7 综合应用
1．（2023·浙江温州·三模）已知函数
，存在实数
使得
成立，若正整数
的最大值为6，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
是增函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时，曲线
关于点
对称
D．当
时，
，则
3．（2023·上海徐汇·一模）已知函数
，存在实数
使得
成
立，若正整数
的最大值为8，则正实数
的取值范围是 .
4．（2024·北京海淀·三模）设函数
（
且
）．给出下列四个结论：
①当
时，存在，方程
有唯一解；
②当
时，存在，方程
有三个解；
③对任意实数
（
且
），
的值域为
；
④存在实数
，使得
在区间
上单调递增；
9
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其中所有正确结论的序号是 ．
10
