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高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线最值问题(3)
高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线最值问题(3)4.向量共线：AP=λAQ⟹x1−x0=λ(x2−x0) 且 y1−y0=λ(y2−y0)。
二、以向量为背景的最值问题标准解题步骤（以“向量数量积最值”为例，最高频，其他向量问题可类比）
1.设参：设圆锥曲线方程，动直线 y=kx+m（参数是k或者m），定点 A(x0,y0)，交点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)；
2.联立：直线与圆锥曲线联立，消 y 得一元二次方程，写 Δ>0，求 x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2；
3.展开向量数量积：将 AP⋅AQ=(x1−x0)(x2−x0)+(y1−y0)(y2−y0) 拆分为两部分展开：
① 横坐标部分：x1x2−x0(x1+x2)+x02；
② 纵坐标部分：y1y2−y0(y1+y2)+y02；
两部分相加即为点积的完整表达式；
4.代入韦达定理消参：将韦达定理的 x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2 代入点积表达式，合并同类项（按 k2、k、常数项整理）；
5.求最值：结合题目中的参数约束（如直线过定点 m=1−2k），代入后保留一个参数，到关于该参数的函数；若未给出约束，则由“点积为定值”推导参数关系，再验证；
6.验证：验证斜率不存在时，向量点积是否仍为该最值. 文章如下： 
远眺武汉长江二桥，作者拍摄.
（续）题型三：和向量有关的最值问题以向量为背景的最值问题主要是指向量的数量积或者模长，或者向量数乘系数等最值.圆锥曲线上的动点或者动直线构成的向量，其数量积（AP⋅AQ）、模长（|AP|）、向量比（AP=λAQ，求λ的最值）为某一参数的函数，核心是利用向量的坐标运算将几何关系转化为代数式，代入韦达定理得到关于参数的函数，再求最值.一、基础知识：向量坐标运算（必须记忆）设 A(x0,y0)、P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则：
向量坐标： 模长： 点积：AP⋅AQ=(x1−x0)(x2−x0)+(y1−y0)(y2−y0)（最常考）；
1.设参：设圆锥曲线方程，动直线 y=kx+m（参数是k或者m），定点 A(x0,y0)，交点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)；
2.联立：直线与圆锥曲线联立，消 y 得一元二次方程，写 Δ>0，求 x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2；
3.展开向量数量积：将 AP⋅AQ=(x1−x0)(x2−x0)+(y1−y0)(y2−y0) 拆分为两部分展开：
① 横坐标部分：x1x2−x0(x1+x2)+x02；
② 纵坐标部分：y1y2−y0(y1+y2)+y02；
两部分相加即为点积的完整表达式；
4.代入韦达定理消参：将韦达定理的 x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2 代入点积表达式，合并同类项（按 k2、k、常数项整理）；
5.求最值：结合题目中的参数约束（如直线过定点 m=1−2k），代入后保留一个参数，到关于该参数的函数；若未给出约束，则由“点积为定值”推导参数关系，再验证；
6.验证：验证斜率不存在时，向量点积是否仍为该最值.