高中数学每日进阶(高一)丨基本不等式:一正二定三相等,最值题先过“三问”

高中数学每日进阶 · 第 2 期

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每日进阶 · 第 2 期 · 高一专场

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不是正的，公式根本不能用。比如对 x＜0 的 x＋4／x 直接套公式，会得到“最小值 4”——可这个式子在 x＜0 时恒为负，方向完全错了。

“和最小”要求积是定值，“积最大”要求和是定值；不是定值时，先想办法配凑出定值再说。

把取等条件解出来，代回题目所有约束（定义域、方程）里检验。取不到等号，答案就不是这个数——这时要用对勾函数的单调性兜底。

例题　已知 x＞1，求 x＋4／（x－1）的最小值。

x 和 4／（x－1）的积不是定值，第二问过不了——所以要配凑。把 x 拆成（x－1）＋1：

x＋4／（x－1）＝（x－1）＋4／（x－1）＋1。

因为 x＞1，所以 x－1＞0，由基本不等式：

（x－1）＋4／（x－1）≥ 2√［（x－1）·4／（x－1）］＝ 4。

取等条件：x－1＝4／（x－1），即（x－1）²＝4，x－1＝2，x＝3，满足 x＞1。

答案最小值为 4＋1＝5，当 x＝3 时取到。

例题　已知 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝2，求 1／x＋2／y 的最小值。

目标式与条件式“长得不像”，用“1”的代换把条件乘进去——因为 ½·（2x＋y）＝1，乘上去不改变原式的值：

1／x＋2／y ＝ ½·（2x＋y）·（1／x＋2／y）

＝ ½·（2＋4x／y＋y／x＋2）＝ ½·（4＋4x／y＋y／x）。

因为 x、y 均为正，4x／y＋y／x ≥ 2√4＝4，所以 1／x＋2／y ≥ ½×（4＋4）＝4。

取等条件：4x／y＝y／x，即 y＝2x；代入 2x＋y＝2，得 x＝½，y＝1。

答案最小值为 4，当 x＝½、y＝1 时取到。

直接型

x＋a／x（x＞0），最小值 2√a，等号在 x＝√a。它就是对勾函数，图象要会画：等号取不到时，靠单调性找最值。

配凑型

形如 x＋b／（x－a）（x＞a），先凑出（x－a），用完公式再把 a 加回去。

“1”的代换型

条件 ax＋by＝c（定值），目标 m／x＋n／y 型，用（ax＋by）／c 乘目标式展开。

和定积最大型

x＋y＝S（定值）时，xy ≤ S²／4。常用在“0＜x＜1，求 x（1－x）最大值”这类题。

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