七下习题10.1:7米钢管怎样截?二元一次方程找全方案

教材原题｜习题10.1 拓广探索第5题

把一根长7 m的钢管截成2 m长和1 m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2 m长和1 m长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问题吗？

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第十章第90页。钢管只有一根，符合条件的截法却可能不止一种。题目的重点，是把“总长度不变”写成方程，再从方程的解中挑出实际可行的根数。

先猜一猜

有人说，截三根两米的，再截一根一米的，刚好用完，所以答案就是这一种。这个截法没错，但有没有漏掉其他截法？“没有浪费”是不是等于“两米钢管尽量多”？题目没有这么说。

01 · 先写清未知数，再找等量关系

两个未知数，各表示什么？

设截成2米长的钢管x根，1米长的钢管y根。注意，x和y表示根数，不表示长度。每根2米，x根的总长度就是2x米；每根1米，y根的总长度就是y米。

不造成浪费，表示各段钢管的总长度恰好等于原来的7米。因此得到等量关系：两米钢管的总长度＋一米钢管的总长度＝原钢管的长度。

列成方程就是2x＋y＝7。它含两个未知数，未知数的次数都是一，属于二元一次方程。题目只给了一个总长度条件，不能凭空再补一个总根数条件。

失分提醒｜为什么不是x＋y＝7？

x＋y表示截成的总根数，而7表示总长度，两者含义不同。列方程前读一遍每一项的意思：2x和y都表示米数，才能相加与7米比较。把根数与长度混在一起，是这道题最容易出现的错误。

02 · 方程给关系，题意给范围

只有一个方程，怎样找出截法？

把方程写成y＝7－2x。它告诉我们：一旦两米钢管的根数x确定，一米钢管的根数y就随之确定。我们可以从小到大尝试x，同时检查y是否符合题意。

因为根数不能为负数，也不能出现半根、零点几根，所以要找整数解。两米钢管最多截三根：如果截四根，仅这部分就需要八米，已经超过原来的七米。

若按“两种规格都要有”理解，则x至少为1。因此只需检查x＝1、2、3，没有必要漫无目的地猜数。

两种规格都要有：三种截法

当x＝1时，y＝7－2＝5：截2米长的1根、1米长的5根。 当x＝2时，y＝7－4＝3：截2米长的2根、1米长的3根。 当x＝3时，y＝7－6＝1：截2米长的3根、1米长的1根。

把三组数分别代回去，得到2×1＋5＝7、2×2＋3＝7、2×3＋1＝7。三种截法都刚好用完，总根数分别是6根、5根、4根。

x＝0、y＝7，算不算一种？

这是需要说明的边界情况。如果只把2米和1米看作允许采用的规格，并不要求两种都出现，那么还可以全部截成1米长，共7根，即(x，y)＝(0，7)。

如果要求确实截出两种规格，则这一组不符合要求。规范表达可以写成：两种规格都要有时，有上述三种；若允许某种规格为零根，则另有全部截成一米钢管这一种。说明范围，比只写“三种”或“四种”更完整。

03 · 有顺序地枚举，再检查边界

怎样说明已经找全，没有漏解？

从长度限制看，x不可能大于3；从根数限制看，x只能取非负整数。所以允许零根时，x只有0、1、2、3四种取值；要求两种都出现时，再去掉0即可。每个x对应唯一的y，因此枚举已经完整。

还可以观察变化规律：每增加一根两米钢管，就要少截两根一米钢管。总长度保持七米不变，所以y依次为7、5、3、1。这些都是奇数，因为七米减去两米的整数倍，剩下的米数仍为奇数。

满足方程，不一定能实际截出来

例如x＝1.5、y＝4也满足2x＋y＝7，但不能截出一根半“每根长两米”的钢管，所以不是实际方案。这里不是把三米钢管随意叫作“一根半”，而是每一根成品都必须符合指定长度。

本题按教材的理想化模型处理，不计切口损耗。真实加工若给出切口宽度等条件，需要另行建模，不能把题目没有提供的数据自行加入。

如果想得到唯一方案，还缺什么？

假如额外规定“共截成五根”，才可以再列x＋y＝5。与2x＋y＝7一起比较，可得x＝2、y＝3。但“共五根”是我们为拓展而增加的条件，不是原题条件。

这也说明，原题只要求不浪费，并没有要求根数最少或两米钢管最多。不能自行添加目标，把多个正确方案删到只剩一个。

名师方法｜设、列、限、枚举、检验

设未知数并写清单位；用总长度列方程；根据实际意义限定整数范围；按顺序枚举；最后检查每种规格的根数、总长度以及是否需要两种都出现。

当堂检测

1. 两米钢管截两根，一米钢管应截几根？ 2. (x，y)＝(4，－1)为什么不算实际方案？ 3. 若改为8米钢管，且两种规格都要有，能截出哪几组根数？

想好再看：3根；根数不能为负；两米、一米钢管根数依次为(1，6)、(2，4)、(3，2)。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十章第90页，习题10.1“拓广探索”第5题。原题见文首，截管方案图为教学绘制。

方程写出关系，条件筛出答案。