高中数学必修一｜第10讲：函数的表示

函数的表示，是把“变量之间怎样对应”讲清楚。掌握它，才能顺利读图、查表、求解析式，并解决分段函数和实际问题。📘

一、函数的三种表示

1. 解析法用数学表达式表示对应关系。例如：f(x)=x²+1，x∈R。注意：解析式不仅包括对应关系，还必须注明定义域。

2. 图象法用图象表示函数。图象可以是连续曲线，也可以是离散点。判断方法：作一条垂直于横轴的直线，若与图象最多有一个交点，图形才可能表示函数。

3. 列表法用表格列出自变量和对应的函数值。每个自变量必须对应唯一的函数值，所选数据还应具有代表性。

二、求函数解析式的常用方法

• 直接代入法：已知解析式，直接把自变量替换成指定式子。
• 待定系数法：先设出函数模型，再代入条件求未知系数。
• 换元法：遇到f(g(x))，可令新变量等于g(x)，再反解原变量。
• 配凑法：把已知式整理成含有g(x)的形式。
• 方程组法：同时出现多个函数值时，通过变量替换列方程组。
• 赋值法：含多个变量的函数方程中，可令变量相等、为零或互为相反数等。

换元后要特别注意：新变量的取值范围可能发生变化。🧠

三、分段函数

当自变量取值范围不同时，函数采用不同的对应关系，这就是分段函数。它仍然是一个函数，只有一个定义域和一个值域。

• 定义域：各段取值范围的并集。
• 值域：分别求各段值域，再取并集。
• 作图：先画各段，再按区间保留；注意端点的实心点与空心点。

求函数值时，先判断自变量属于哪个区间，再代入对应表达式。遇到f(f(a))，必须从内到外逐层计算。求参数时，分类后还要检验参数是否满足原区间。

四、图象与实际应用

识别函数图象，要观察定义域、值域、交点、单调性、对称性、变化趋势及分段点的开闭。

图象可以研究最值、方程根、不等式解集和交点个数。实际问题中，应先明确自变量与因变量，再根据不同情况建立函数。

例如：水面高度图象的变化快慢与容器横截面积有关；速度—时间图象中，纵坐标表示速度，图象与横轴围成的面积表示路程。📈

五、易错提醒

1. 只写解析式，不写定义域。
2. 分段时漏掉或重复端点。
3. 计算复合函数时顺序颠倒。
4. 求值域时忽略端点是否取到。
5. 把分段函数误认为几个独立函数。
6. 忘记函数必须满足：对应明确、定义域清楚、每个自变量只有唯一函数值。

记忆口诀：表示看三法，求式重换元；分段先看区间，复合由内到外。✨

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