ARTICLE · 1126626
【小学数学模型】03|金字塔模型平行横切一刀,比例全出来
数学模型 · 小学数学 · 第 03 篇
03｜金字塔模型
平行横切一刀，比例全出来
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，三角形里横着画一条线，把这个三角形截成「上面一个小三角、下面一个梯形」，整个图形看起来像一座金字塔，又像大写字母 A。小升初就爱在这个结构上做文章：给你线段比求边长，给你小三角形面积求大三角形面积。尤其是面积题，藏着全小学几何最大的陷阱之一——「平方」。今天这节课，我们把金字塔模型（也叫 A 字型相似）彻底讲明白，让你线段比、面积比通吃。
二、知识清单：先把地基打牢
●比与比值：AD:AB 表示两条线段的比，能化成分数 ADAB 参与计算。
●平行的性质：DE∥BC 时，同位角相等，这是两个三角形「形状相同」的保证。
●三角形面积公式：S=12×底×高，推导面积比时要用。
●相似的基本概念：两个三角形形状相同、大小不同，对应边的比都相等，这个比叫相似比。金字塔模型正是小学到初中相似三角形的启蒙结构。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
金字塔模型说的是：△ABC 中，如果 DE∥BC（D 在 AB 上，E 在 AC 上），那么 △ADE 与 △ABC 相似，也就是形状完全一样、只是按比例缩小了。于是我们得到两组结论：第一，对应边成比例，ADAB=AEAC=DEBC；第二，面积比等于相似比的平方，S△ADES△ABC=ADAB2。
为什么成立？先看边。因为 DE∥BC，∠ADE=∠ABC（同位角），∠AED=∠ACB，三个角对应相等，两个三角形形状相同——这就像把一张照片按比例缩小，每条边都按同一个比例缩，所以 DEBC=ADAB。再看面积。小三角形相对大三角形，底缩成了 k 倍，高也缩成了 k 倍（高也是对应线段），面积 = 底 × 高 ÷2，两个 k 相乘就是 k2。所以面积比是相似比的「平方」，这一点必须刻进脑子里。
什么时候用？题干出现「DE∥BC」或「在三角形中作一条与底边平行的线」，图形呈 A 字形，要求线段比例或面积比例，就是金字塔模型。和等积模型怎么区分？等积模型的平行线是「两条」，三角形夹在中间求面积相等；金字塔模型的平行是「三角形内部一条边与底边平行」，求的是比例关系。另外同学们注意，仅凭图形「看起来平行」不能使用，必须由题目给出或证明。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●AD、AB：小三角形与大三角形在同一条侧边上的对应边，ADAB 就是相似比；
●DE、BC：两条平行的对应边（小三角形横边与大三角形底边）；
●S△ADE、S△ABC：小、大两个三角形的面积；
●取值范围：D 在 AB 之间时，相似比是大于 0 小于 1 的数；
●常见变形：BC=DE×ABAD；S△ABC=S△ADE÷ADAB2。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1验平行：DE∥BC 是题目给出还是能证明？没有平行，一切免谈。
2定相似比：找准对应边，写出 k=ADAB（注意是「小段比整段」，别写成 ADDB）。
3. 分问题：
●求边长 ⇒ 用一次比：DEBC=k；
●求面积 ⇒ 用平方比：S小S大=k2。
4代入计算，最后检查是否把「一次比」误用在面积上。
六、标准解题流程
1确认 DE∥BC（题目给出或可证）。
批注 这是模型的总开关，先在图上把两条平行线用箭头标出来。
2写出对应边比例式：ADAB=AEAC=DEBC。
批注 对应关系别写错——小对小、大对大；若题目给的是 AD:DB，要先化成 AD:AB。
3需要面积时用「相似比的平方」求面积比。
批注 这是全场最大的坑，面积比 =k2，不是 k，算完回头检查一遍。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
△ABC 中，DE∥BC，ADAB=13，DE=4，求 BC。
例1 题图
审题关键
圈出「DE∥BC」和相似比 13，求的是边长——用一次比。
规范解答
由 DE∥BC 得 A 字型相似，对应边成比例：DEBC=ADAB=13所以 BC=4×3=12。
方法提炼
求边用一次比，大三角形的边 = 小三角形的对应边 × 相似比的倒数。
例2（变式）
题目
（变式）同上图，ADAB=13，S△ADE=2，求 S△ABC。
例2 题图
审题关键
同一结构，改求面积——必须切换到平方比。
规范解答
面积比 = 相似比的平方 =132=19，S△ABC=2×9=18注意是平方关系，不是 3 倍。
方法提炼
边缩成 13，面积缩成 19——「平方」两个字就是变式题的全部考点。
八、小升初常考题型精讲
题型一：由比求边长型
题目
△ABC 中，DE∥BC，ADAB=14，DE=5，则 BC=（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
题型一 题图
审题关键
平行已给出，求边长，用一次比。
规范解答
金字塔（A 字型）相似：DEBC=ADAB=14，BC=5×4=20。
方法提炼
小边求大边，除以相似比（或乘它的倒数）。
题型二：由面积求大面积型
题目
△ABC 中 DE∥BC，ADAB=12，S△ADE=6，则 S△ABC= ____。
题型二 题图
审题关键
求面积，先平方。
规范解答
面积比 =122=14，S△ABC=6×4=24。千万别算成 12（一次比）。
方法提炼
看到「面积」二字，条件反射地先把相似比平方。
题型三：先化比再平方型
题目
△ABC 中，DE∥BC，AD:DB=1:2，S△ADE=4，则 S△ABC= ____。
题型三 题图
审题关键
题目给的是 AD:DB 而不是 AD:AB——这是命题人埋的第一重机关。
规范解答
AD:AB=1:(1+2)=1:3，面积比 = 相似比的平方 =19，S△ABC=4×9=36
方法提炼
AD:DB 是「段比段」，相似比要的是「段比整」，先转化再平方，两步缺一不可。
题型四：由大面积求小面积型
题目
△ABC 中，DE∥BC，ADAB=13，S△ABC=54，则 S△ADE=（ ）
A．6 B．9 C．18 D．2
题型四 题图
审题关键
方向反过来，大求小，乘平方比。
规范解答
面积比 =132=19，S△ADE=54÷9=6。
方法提炼
大求小乘 k2，小求大除 k2，方向感要清晰。
题型五：由比求小边型
题目
△ABC 中，DE∥BC，AD:AB=2:5，BC=15，则 DE=（ ）
A．3 B．6 C．7.5 D．10
题型五 题图
审题关键
边长问题，用一次比；这次是大边求小边。
规范解答
金字塔模型对应边成比例：DEBC=ADAB=25，DE=15×25=6
方法提炼
边长问题一律一次比，无论大求小还是小求大。
九、真题再现：经典考题拆解
考题一（经典考题）
题目
△ABC 中，DE∥BC，AD:DB=2:3，BC=20。求 DE 的长。
考题一 题图
审题关键
先化比：AD:AB=2:(2+3)=2:5；求边长，一次比。
规范解答
由 DE∥BC，△ADE~△ABC，DEBC=ADAB=25⇒DE=20×25=8
方法提炼
「段比段」化「段比整」是金字塔模型的标配动作，练到不假思索。
考题二（改编自常见考题）
题目
△ABC 中，DE∥BC，ADAB=13，S△ABC=45。求梯形 DBCE 的面积。
考题二 题图
审题关键
求的是下面那块梯形——用大三角形减小三角形。
规范解答
面积比 =132=19，S△ADE=45×19=5，S梯形DBCE=45−5=40
方法提炼
求「截剩下的部分」，先算小三角形，再从整体里减掉；也可以直接用 1−k2 的比例。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误面积比直接用相似比计算，13 的相似比就写面积是 3 倍。
✓ 正确做法面积比是相似比的「平方」，13 对应 19，这是本模型最大的陷阱。
✗ 常见错误凭图形「看起来平行」就套用模型。
✓ 正确做法必须先确认 DE∥BC（题目给出或可证明），没有平行就没有相似。
✗ 常见错误把 AD:DB=1:2 直接当相似比。
✓ 正确做法相似比是「小段比整段」ADAB，先化成 1:3 再用。
✗ 常见错误对应边张冠李戴，拿 DE 去比 AB。
✓ 正确做法对应关系是「小对小、大对大」：AD 对 AB，AE 对 AC，DE 对 BC。