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【小学数学模型】07|沙漏模型对顶角相夹,相似比平方算面积
数学模型 · 小学数学 · 第 07 篇
07｜沙漏模型
对顶角相夹，相似比平方算面积
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，先看一眼桌上的沙漏：两头宽、中间窄，上下两个尖对着尖。数学里也藏着这样的图形——两条线段交叉，上下两边还互相平行，活脱脱一个沙漏，也像数字「8」。小升初试卷里，只要梯形两条对角线一交叉，或者出现「平行＋交叉」的信号，出题老师十有八九就在考它。学完这节课，沙漏里的线段比、面积比两类题，你就能直接套公式拿下。
二、知识清单：先把地基打牢
●平行线的内错角：两条平行线被第三条线所截，内错角相等。这是证明沙漏中两个三角形相似的第一块砖。
●对顶角：两条直线相交，对顶角相等。沙漏中间那个交点，靠的就是它。
●相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形。沙漏模型的全部结论，都是相似性质的「打包使用」。
●面积比与相似比：相似三角形面积比等于相似比的平方。这是本模型最容易漏掉「平方」的地方。
●比与分数互化：AB : CD = 1 : 2 就是 ABCD=12，套公式时直接当分数用。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
先看结构：AD∥BC，另外两条线段交叉于点 O，交点两侧各形成一个三角形——一侧是 △AOD，另一侧是 △COB，两个三角形尖对尖，正好拼成一个「沙漏」。
为什么它们相似？把角一个个对出来：第一，交点 O 处的两个角是对顶角，天生相等；第二，因为 AD∥BC，被一条交叉线一截，内错角相等，即 ∠OAD = ∠OCB；第三，同理 ∠ODA = ∠OBC。三组对应角全相等，所以 △AOD ∽ △COB。相似之后，所有对应边按同一个比例缩放：OA 对 OC、OD 对 OB、AD 对 BC，于是三者比值相等。而面积呢？相似图形面积比等于相似比的平方——小三角形边长是 1 份，面积就是 1 份；大三角形边长是 2 份，面积却是 4 份，这就是「平方」的直观含义。
什么时候用？题干同时亮起两个信号灯——「两边平行」和「两线交叉」，立刻调用沙漏。最常见的伪装是梯形：梯形上下底天然平行，对角线一交叉就是现成的沙漏。它和我们学过的金字塔模型合称「相似双模型」：金字塔是「A 字形」，一大一小同方向叠着；沙漏是「8 字形」，一上一下对着顶。同学们注意：如果两边不平行，那只是一般的对顶三角形，角相等但边不成比例，谈不上相似，千万别硬套。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●O：两条交叉线段的交点，沙漏的「腰」，所有比值都绕着它转。
●A、D 与 C、B：两侧三角形的顶点。对应口诀是「交点对交点、平行边对平行边」：OA↔OC，OD↔OB，AD↔BC。
●ADBC：相似比，即小三角形相对大三角形的「缩放倍数」。
●S△AOD、S△BOC：两侧三角形的面积。常见变形：已知小面积求大面积，用 S大=S小÷(相似比)2，除以平方等于乘平方的倒数。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1找平行：题干或图上有没有「∥」？梯形的上下底也算。
2找交叉：有没有两条线段相交？把交点标为 O。
3定对应：交点对交点、平行边对平行边，先把顶点配对写出来再动笔。
4选公式：求线段用「对应边成比例」，求面积用「相似比的平方」。
5验答案：把结果代回比例式，看是否自洽。
六、标准解题流程
1确认上下（左右）两边平行，如 AD∥BC。
批注 没有平行就没有相似，这是沙漏的「入场券」；梯形题里平行是隐藏条件，要自己看出来。
2利用对顶角相等加内错角相等，判定两个三角形相似，写出对应边比例。
批注 先写「△AOD ∽ △COB」再列比，字母顺序就是对应关系，能防错位。
3面积比用相似比的平方计算。
批注 平方！平方！平方！线段比不平方、面积比要平方，这是全年级错得最多的一步。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
AB∥CD，AB = 3，CD = 6，S△AOB = 5，求 S△DOC。
例1 题图
审题关键
圈出「AB∥CD」（平行入场券）和「AB = 3，CD = 6」（相似比的原料）。
规范解答
因为 AB∥CD，交叉线形成沙漏结构，所以 △AOB ∽ △DOC，相似比为ABCD=36=12面积比等于相似比的平方：S△AOBS△DOC=122=14所以 S△DOC=5×4=20。
方法提炼
沙漏面积题三步走——定相似、算相似比、平方放大。
例2（变式）
题目
（变式）沙漏结构中 OA = 2，OC = 6，OD = 3，求 OB。
审题关键
这题不求面积求线段，变在「用哪条公式」。圈出 O 是公共交点，四条线段都从它出发。
规范解答
由沙漏相似，对应边成比例：OAOC=ODOB代入得 26=3OB，解得 OB=6×32=9。
方法提炼
变式变的是「求什么」，不变的是「对应不能错位」——O 是两组对应点的公共交点，OA 只能对 OC，OD 只能对 OB。
八、小升初常考题型精讲
题型一：面积比直接套用型
题目1：AB∥CD 相交成沙漏结构（AD、BC 交于 O），AB = 2，CD = 6，S△AOB = 4，则 S△DOC = （ ）
A．12 B．24 C．36 D．8
审题关键
平行加交叉等于沙漏；给了平行边长度和一块面积，求另一块。
规范解答
相似比 ABCD=26=13，面积比 132=19，所以 S△DOC=4×9=36。
方法提炼
相似比是 13，面积放大的倍数却是 9，平方是关键。题目2：梯形上下底之比为 1 : 2，对角线分出的上方三角形面积为 5，则下方三角形面积为 ____。
审题关键
梯形对角线交叉就是沙漏；上下底之比直接就是相似比。
规范解答
相似比 12，面积比 122=14，下方面积 =5×4=20。
方法提炼
梯形是沙漏最常见的「马甲」，看到对角线交叉就要反应过来。题目3：AB∥CD 相交成沙漏结构（AD、BC 交于 O），AB : CD = 3 : 4，S△AOB = 27，则 S△DOC = ____。
审题关键
比不是最简也不影响，直接用 34。
规范解答
面积比 =342=916，S△DOC=27×169=48。
方法提炼
除以 916 就是乘 169，先约分再乘，又快又准。
题型二：线段比例求边型
题目
AB∥CD 相交成沙漏结构（AD、BC 交于 O），AB : CD = 3 : 5，AO = 6，则 OC = （ ）
A．7.5 B．10 C．12 D．15
题型二 题图
审题关键
求的是交点处的线段，用「对应边成比例」，不平方。
规范解答
AOOC=ABCD=35，所以 OC=6×53=10。
方法提炼
线段用直比、面积用平方，先判断求哪一类，再决定平不平方。
题型三：梯形四块·比例中项型
题目1：梯形对角线把梯形分成四个三角形：上方三角形面积 4，下方三角形面积 25，则梯形面积为 ____。
审题关键
上下两块都给，求整体——要用沙漏的隐藏结论：左右两块面积相等，且各等于上下两块乘积的算术平方根。
规范解答
设左右两块面积各为 S。由沙漏相似可推出 S=4×25=10，梯形面积 =4+25+10+10=49。
方法提炼
经典结论——上、下两块是平方数（4、25），左右两块各是「上下乘积开方」（10）。看到 4 和 25 就要想到 10、10。题目2：AB∥CD 相交成沙漏结构，S△AOB = 16，S△DOC = 100，则 S△AOD = ____。
审题关键
S△AOD 正是「侧翼」那一块，用比例中项。
规范解答
S△AOD=S△BOC=16×100=1600=40。
方法提炼
侧翼面积是上下两块的比例中项，这条结论在小升初压轴题里反复出现。
九、真题再现：经典考题拆解
题目（经典考题）：梯形 ABCD 中 AD∥BC，AD = 4，BC = 8，对角线 AC、BD 交于点 O，已知 S△AOD = 6，求梯形 ABCD 的面积。
图 4
规范解答
AD∥BC，对角线交叉成沙漏，△AOD ∽ △COB，相似比 ADBC=48=12。下方面积：S△BOC=6×22=24。左右两块各为 6×24=144=12。梯形面积 =6+24+12+12=54。
方法提炼
这是沙漏模型的「全家桶」考法：相似比求下方、开方得侧翼、四块求和。一套流程走通，梯形面积问题全部通关。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误把 OA 和 OB 配成对应边，比例全乱。→
✓ 正确做法对应边必须「交点对交点」——A↔C，B↔D；平行边对应平行边（AD↔BC）。
✗ 常见错误面积比直接等于相似比，边长 12 就以为面积也是 2 倍关系。→
✓ 正确做法面积比是相似比的平方，12 对应 14。
✗ 常见错误看到对顶三角形就套沙漏公式。→
✓ 正确做法先检查有没有平行！不平行只是一般对顶三角形，角相等但边不成比例，不相似。