七下习题11.3:分到书但不到3本,怎样列不等式组?

教材原题｜习题11.3 拓广探索第5题

5. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本。这些书有多少本？共有多少名同学？

同学们，分书题最容易出现的错误，不是算错，而是把一句话漏读了一半。“分到了书但不到3本”，既告诉我们不能没有书，也告诉我们不能达到3本。今天我们就把这句话拆开，看看不等式组怎样帮助我们确定人数和书本数。

先猜一猜

最后一人可能拿到几本书？因为书按整本分，他只能拿到1本或2本。可题目没有说究竟是哪一种。我们先不猜定，把这两种可能都保留在条件里，再用前后两次分书的关系找答案。

01 · 总数＝已分出的数量＋剩余数量

先设人数，怎样表示总书数？

设共有x名同学。“每人分3本”，就是一共分出去3x本；“剩余8本”，说明原来的书比已经分出去的还多8本。所以总书数是3x＋8本。

这里不能写成3x−8。可以用一个小例子检查：假如有4名同学，每人3本就分出12本，另有8本没分出去，原来应有20本。剩余的书也属于原来的总数，要加进去。

题目虽然同时问书数和人数，但不一定要设两个未知数。先用人数表示总书数，后面就能只围绕一个未知数列式，思路更集中。

02 · 先分给前x−1人，再看最后一人所得

“前面的每名同学”到底有多少人？

共有x名同学，把最后一人单独留下，前面就有x−1名。每人分5本，前面的人共拿走5(x−1)本。

最后一人得到的书，是总书数减去前面已经分出的书，因此可以表示为： （3x＋8）−5(x−1)＝3x＋8−5x＋5＝13−2x。

特别留意去括号时的符号：减去5(x−1)，等于减去5x再加5。若误写成−5x−5，后面即使步骤整齐，也是在解一个错误的式子。

03 · 既大于零，又小于三

“分到了书但不到3本”怎样翻译？

“分到了书”表示最后一人的书数大于0；“不到3本”表示书数小于3。这两个条件必须同时成立，所以可以写成： 0＜13−2x＜3。

若写成不等式组，就是13−2x＞0与13−2x＜3。不是任选其中一个，而是同一个x要同时满足它们。

“不到”与“不超过”也不同：不到3本不能取3，不超过3本则允许取3。这里还明确说分到了书，所以0同样不能取。读准这两个端点，才算把原话翻译完整。

04 · 先求公共范围，再取符合实际的整数

解出范围，为什么人数只能是6？

由13−2x＞0，移项得−2x＞−13，两边除以−2，不等号改变方向，得到x＜6.5。

由13−2x＜3，移项得−2x＜−10，两边除以−2，同样改变方向，得到x＞5。两部分取公共部分，得到5＜x＜6.5。

但x表示同学人数，必须是正整数。大于5且小于6.5的整数只有6，所以共有6名同学。总书数为3×6＋8＝26本。

不要把范围内的5.5也当作人数，更不能把“人数约为6”写进答案。这里是整数条件筛选出的准确结果，不是近似计算。

本题答案：26本书，6名同学

第一种分法：6名同学每人分3本，共分出18本，26−18＝8本，正好符合“剩余8本”。

第二种分法：前5名同学每人分5本，共分出25本，最后一人得到26−25＝1本。1本大于0且小于3，两条要求都满足。

只检验“不到3本”，会多出什么答案？

如果只列13−2x＜3，就只得到x＞5。例如x＝7也会混进来，但此时总书数29本，前6人各拿5本需要30本，连前面的人都不够分，更谈不上最后一人拿到书。

反过来，如果允许最后一人恰好拿3本，x＝5就会被误收进答案。此时有23本书，前4人拿20本，最后拿3本，违反了“不到3本”。这两个反例能帮助我们记牢边界。

还能从“最后拿1本或2本”出发吗？

可以。设最后一人拿r本，则总书数也等于5(x−1)＋r。与3x＋8相等，整理得到2x＝13−r。

当r＝1时，x＝6；当r＝2时，x＝5.5，不是整数，排除。这样也能得到唯一答案。分类法把两种可能逐个检查，不等式组则把它们集中表示，两种思路可以互相验证。

名师方法｜抓总量、算剩余、定边界、验两遍

同一批书换分法，总书数不变。先用一种分法表示总量，再算另一种分法下最后一人所得。把“有书”和“不到”分别写成条件，求公共范围后筛选整数，最后回到两种分法逐一检验。

再动手想一想：两次分法怎样联系？

先按每人三本分好，还余下八本。暂时把最后一人的三本拿回来，与余下的八本放在一起，就有十一本书可重新分配。前面的每个人原来已有三本，要变成五本，每人只需再补两本。

若有六名同学，前面五人共需补十本，十一本书中就剩一本给最后一人。这种重新分配的想法，把总数不变看得更清楚，也解释了为什么最后所得会随着人数增加而减少：每多一名前面的同学，就要再补出两本。

当堂检测

1. 前面的人数为什么是x−1？ 2. 若把条件改成“分到了书且不超过3本”，人数会多出哪个可能？ 3. 原题中最后一人实际得到几本？

想好再看：总人数中要除去最后一人；会多出5人，对应23本书；1本。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十一章《不等式与不等式组》第141页，习题11.3“拓广探索”第5题。

一句话里的两个限制，都要进入你的不等式。