初中数学最难的内容前二就是几何和二次函数,此文把二次函数的基本概念、图像特性、应用以及常见题型梳理清楚,认真学习争取一把掌握.

• 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2
• a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项

• a：开口向上 a > 0，开口向下 a < 0

• b：看对称轴 x = −b / 2a 在 y 轴的哪一侧 —— 左同右异：轴在左边，a 与 b 同号；轴在右边，a 与 b 异号

• c：看抛物线与 y 轴的交点在正半轴还是负半轴

• b² − 4ac：看与 x 轴交点个数，2 个 > 0、1 个 = 0、0 个 < 0

• a + b + c：就是 x = 1 时的函数值，看 x = 1 那个点在 x 轴上方还是下方

• a − b + c：就是 x = −1 时的函数值，同理

• 2a + b：比较对称轴 −b / 2a 与 1 的大小

三、二次函数的图像与各项系数的关系

• 二次项系数a

• 二次函数y=ax²+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0.

• 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大开口越小，反之a的值越小开口越大

• 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小开口越小，反之a的值越大开口越大

• a决定抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口大小

•  一次项系数b

•  在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

  在a>0时，

• 当b>0时，-b/2a<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧

• 当b=0时，-b/2a=0.即抛物线的对称轴就是y轴

• 当b<0时，-b/2a>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧

• 在a<0时，情况与上相反

• 左同右异，ab同号，则对称轴在y轴左侧，ab异号，则对称轴在y轴右侧。

• 常数项c

• 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正

• 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0

• 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负

• c决定了抛物线与y轴交点的位置

• 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定解析式，通常利用待定系数法。

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般选用顶点式

四、对称轴与区间最值

• 图形特征：题目限定 x 的取值范围（比如 −1 ≤ x ≤ 3），让你求这个区间内的最大值或最小值。

• 结论：轴在内，顶点必取；轴在外，端点决定。

• 具体说（以 a > 0、开口向上为例）：

• 轴在区间内：最小值在顶点处取到；最大值在两个端点中「离对称轴更远」的那个取到

• 轴在区间左侧（轴 < 区间左端）：区间内 y 随 x 增大而增大，最小值在左端点、最大值在右端点

• 轴在区间右侧（轴 > 区间右端）：区间内 y 随 x 增大而减小，最大值在左端点、最小值在右端点

• a < 0（开口向下）时，大小关系整体反过来。

先找对称轴 x = −b / 2a，判断它和区间的三种位置关系。位置关系确定后，最值在哪取就定了。

五、二次函数的对称

二次函数图像的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

• 关于x轴对称

• y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c

• y=a(x-h)²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)²-k

• 关于y轴对称

• y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c

• y=a(x-h)²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)²+k

• 关于原点对称

• y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c 

• y=a(x-h)²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)²-k

• 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

• y=ax²+bx+c关于项点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-b²/2a

• y=a(x-h)²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)²+k

• 关于点(m,n)对称

• y=ax²+bx+c关于点(m,n)对称得到的解析式是

  y=-ax²+(4am+b)x-(4am²+2bm+c-2n)

• y=a(x-h)²+k关于点(m,n)对称得到的解析式是y=-a(x+h-2m)²+2n-k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因为|a|永远不变。求抛物线的对称抛物线的解析式时，可以依据题意选择合适的形式，习愤上是先确定原抛物线(或解析式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后可写出其对称抛物线的解析式。

六、二次函数与一元二次方程

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c当函数值y=0时的特殊情况。图像与x轴的交点个数：

1. 当Δ=b²-4ac>0时，图像与x轴交于两点A(x₁,0), B(x₂,0) (x₁≠x₂)，其中的x₁,x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x₂-x₁|=√‌(b²-4ac)/|a|。

2. 当Δ=0时，图像与x轴只有一个交点；

3. 当Δ<0时，图像与x轴没有交点。

• 当a>0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；

• 当a<0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0。

2. 抛物线y=ax²+bx+c的图像与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

• 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程

• 求二次函数的最大/小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式

• 根据图像的位置判断二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图像的位置，数形结合来解答

• 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标

下面以a>0时为例，观察二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

七、面积最值

图形特征：抛物线（或抛物线与一条直线）上有一个动点 P，P 与两个定点 A、B 围成三角形，求这个三角形面积的最大值。

• 结论：S = 铅垂高 × 水平宽 ÷ 2

• 做法：过动点 P 作一条竖直线（平行于 y 轴），交 AB 于点 Q，那么

• 水平宽 = A、B 两点横坐标之差的绝对值（定值）

• 铅垂高 = 线段 PQ 的长度（动态变化）

于是 S(t) = 1/2 × 水平宽 × PQ(t)，把 PQ 用 P 的横坐标 t 表示出来，就得到一个关于 t 的二次函数，再求它的最值。

八、利润最值（涨价降价）

图形特征：题目是情境应用题「某商品进价 x 元，售价 y 元时每天卖 z 件，每涨价 1 元每天少卖 n 件，涨价多少时利润最大」。

总利润 W = 单件利润 × 销量，两项都用「涨（或降）了多少」这个未知数表示，相乘即得二次函数。

• 设涨价 m 元（降价就设降 m 元）：

• 单件利润 = 原单件利润 ± m

• 销量 = 原销量 ∓ n × m

• W = (原单件利润 ± m)(原销量 ∓ n × m)

• 展开后是 m 的二次函数，开口向下，顶点处取最大值。

九、抛物线平移

图形特征：把一条抛物线平移到另一个位置，求平移后的解析式、平移量，或者判断平移方式。

结论：左加右减（对 x），上加下减（对 y）；平移不改变 a。

• 用顶点式看得最清楚。原抛物线 y = a(x − h)² + k，顶点 (h, k)：

• 向右平移 m 个单位、向上平移 n 个单位 → y = a(x − h − m)² + k + n

• 顶点从 (h, k) 变成 (h + m, k + n)

• 也就是说，平移只改变顶点的位置，开口方向和张口大小一点不变。

先把两个解析式都化成顶点式，再比较顶点坐标的差

十、交点联立（抛物线与直线）

图形特征：一条抛物线和一条直线（一次函数）相交，求交点坐标、交点个数、弦长，或者交点横坐标的和与积。

结论：联立 → 化为一元二次方程 → 判别式定个数，韦达定理求和积。

• 把 y = ax² + bx + c 与 y = kx + m 联立，消去 y 得 ax² + (b − k)x + (c − m) = 0：

• 判别式 Δ > 0：两个交点；Δ = 0：相切一个交点；Δ < 0：无交点

• 两根即两个交点的横坐标：x₁ + x₂ = −(b − k) / a，x₁x₂ = (c − m) / a

• 弦长 |AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|

  推导过程：设直线y=kx+m与抛物线交于 (A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，两点都在直线上：

  y₁=kx₁+m, y₂=kx₂+m

  两点距离公式：|AB|=√‌[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]

  代入y₂-y₁=(kx₂+m)-(kx₁+m)=k(x₂-x₁)

  |AB|=√‌{[(x₂-x₁)²+[k(x₂-x₁)]²}=√‌[(x₂-x₁)²+k²(x₂-x₁)²]=√‌[(1+k²)(x₂-x₁)²]

    =√‌[(1+k²)·|x₁-x₂|

第一动作是「联立消 y」。看到「两个交点」先想到 Δ > 0，看到「横坐标之和 / 之积」直接上韦达定理，不用解方程。

十一、定点定值（含参抛物线）

图形特征：解析式里带一个参数（比如 m），题目问「无论 m 取何值，抛物线恒过某点」，或者「某个量的值与 m 无关」。

结论：把解析式按参数整理，令参数的系数为 0，解出的 x 就是定点的横坐标。

• 举个例子：y = x² + (m − 2)x − 2m

• 按 m 整理：y = x² − 2x + m(x − 2)

• 要让式子的值与 m 无关，就要让 m 的系数为 0，即 x − 2 = 0，得 x = 2。代入：y = 4 − 4 = 0。所以无论 m 取什么值，抛物线恒过定点 (2, 0)。

第一动作是「按参数合并同类项」。这一步做完，参数那部分的系数一目了然，令它等于 0 就完事了。

十二、动点存在性

题干特征：「抛物线上是否存在一点 P，使得 △PAB 是等腰三角形 / 直角三角形 / 以 P、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。」

思路（三步）：

• 1. 设点：设 P(t, at² + bt + c)，用 t 表示出所有相关线段的长度（用距离平方，避免根号） 

• 2. 分类：等腰三角形分三类（PA = PB、PA = AB、PB = AB）；直角三角形分三类（哪个角是直角）；平行四边形分三类（哪一条是对角线） 

• 3. 求解检验：每类解一个方程，把解出的 t 代回检验——点是否在抛物线上、是否退化成线段、是否与已知点重合

这一类题没有「一句结论」，它考的是分类的完整性和计算的耐心。

十三、线段和差最值（将军饮马）

题干特征：x 轴上（或对称轴上）有一动点 P，求 PA + PB 的最小值，或 |PA − PB| 的最大值。

结论：对称转化 → 三点共线。

• PA + PB 最小，且 A、B 在轴的两侧：直接连 AB，与轴的交点就是所求的 P（两点之间线段最短）

• PA + PB 最小，且 A、B 在轴的同侧：作 A 关于轴的对称点 A′，连 A′B，与轴的交点就是所求的 P（将军饮马）

• |PA − PB| 最大：连 AB 并延长，与轴的交点就是所求的 P（三角形两边之差小于第三边，共线时取等号）

第一动作是「先看 A、B 在轴的哪一侧」。同侧才需要作对称，异侧直接连线。判断完这一步，剩下的都是「连一条线，求它和轴的交点」。

小结

小结二次函数解题的几个标准步骤：

• 看图 → 先标 5 个点

• 定位 → 先算对称轴

• 算量 → 先想「哪个量是定的、哪个量是变的」

• 设点 → 先设 变量，再分类

a 定开口，轴定位置，顶定最值，交点联立，动点设变量