初中数学模型讲练四一线三等角模型(后附word版)

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一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”

如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角

类型一：一线三直角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．

类型二：一线三锐角与一线三钝角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角）

【解题关键】构造相似或全等三角形.

考点一：一线三等角直角模型

【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为cm²．

Ø变式训练

【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．

【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．

【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）

A．（，3），（﹣，4）B．（，3），（﹣，4）

C．（，），（﹣，4）D．（，），（﹣，4）

【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（　　）

A．B．C．D．

考点二：一线三等角锐角或钝角模型

【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，

BD＝3，则CF等于（　　）

A．1B．2C．3D．4

Ø变式训练

【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为．

【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是．

【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．

（1）求证：＝；

（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝45°，求的值．

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