高中数学知识体系 选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何

必修第二册第八章讲立体几何，用的是欧几里得《几何原本》传下来的那套办法：作图、找关系、证明。第十一至十三卷讲的就是立体图形，两千三百年过去，这三卷的处理方式基本没有变。而这一章要做的事，是把「看得见的图形」换成「算得出来的式子」——建系、写坐标、做运算，再把结果翻译回几何结论。

一、空间向量及其线性运算。手稿这一页做的是把「力」这样有大小又有方向的量抽象成数学对象。这一步最早的尝试来自拉格朗日：1788 年《分析力学》里，他把力用一条有确定长度和方向的有向线段来表示，并沿坐标轴拆成三个分力，力学方程于是变成关于三个分量的方程。（他没有造出「向量」这个词。）

把有向线段真正当数学对象来算的，是莫比乌斯。1827 年《重心计算》里，他第一次规定：线段的正负号按这条线上事先假定的正方向来定，于是 AB ＋ BA ＝ 0；也是第一次，面积和体积有了符号。他甚至试着把「点」加起来——两个 1 单位的点质量等于中点的 2 单位，写成 1A ＋ 1B ＝ 2M。但他随后需要减法，而「减出来的点」在哪里说不清；他给的答案是「在无穷远处」，同时代的人就此礼貌地走开。这套东西沉睡了两百年，后来以「质点几何」的名字在竞赛里复活。

哈密顿做的是给它命名。1843 年 10 月 16 日，他在都柏林皇家运河边散步时想通了四元数的乘法关系 i² ＝ j² ＝ k² ＝ ijk ＝ −1，随即把这行式子刻在布鲁姆桥上；1846 年，他把四元数分成「标量部」和「矢量部」——他用的说法是「由一条直线或半径向量（radius vector）几何地构造出来的虚部」。课本上那支带箭头的线段，从这时起有了名字。

（续）数量积与空间向量基本定理。数量积这条运算线走了三步。第一步是格拉斯曼：1844 年《线性扩张论》里他造出两类乘法，内积得到一个数、外积得到一个向量——那本书是数学史上最著名的迟到承认，自费出版，几乎无人问津，1864 年出版商把剩下的 600 册当废纸处理掉；作者是一所普鲁士中学的教师，数学全靠自学，申请大学教职被拒，真正的名声在语言学（他自学梵文，翻译过《梨俱吠陀》）。第二步是命名：1877 年克利福德把两种乘法分别叫作 scalar product 和 vector product。第三步是记号：1881 年，吉布斯和亥维赛各自独立地定下了那个点号与那个叉号。

同一页的空间向量基本定理——任何一个空间向量都能用三个不共面的向量唯一表示——本质上就是格拉斯曼第一次讲清楚的那件事：n 个独立方向张成整个空间。他写这本书的时候四十岁不到，而学界认出这件事，是在他去世之后。

二、坐标表示。坐标这条路比向量早两百年。1637 年笛卡尔在《几何学》里指出，一个三元不定方程的一组解就是空间中轨迹上的一个点，全部解构成一张曲面；费马同时把二维解析几何推广到了三维。到 1730 年代，克莱罗在《关于双重曲率曲线的研究》里把空间曲线看成两个曲面的交线，这是最早的空间解析几何著作；1748 年欧拉的《无穷分析概要》，被认为是第一部符合现代意义的解析几何教程。

所以手稿这一页其实把两件事合在一处：一面是 1844 年的代数（三个不共面的方向张成空间，任何一个向量有唯一的表示），一面是 1637 年的坐标。合起来才是手上的坐标三元组。

顺带说一个容易混的地方：向量坐标其实是「把向量平移到原点后，终点的坐标」。所以「点的坐标」和「向量的坐标」写出来一样，来历不一样。

三、用向量研究位置关系。这一页做的事，是把平行与垂直翻译成「共线」与「数量积为零」。翻译的底气来自解析几何：平面方程 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0 里，(A, B, C) 就是这张平面的法向量——法向量是「垂直」的代数化身。

手稿末尾那句话因此值得多看一眼：「把向量运算的结果『翻译』成相应的几何结论」。平行和垂直不再靠眼睛看、靠辅助线找，而是靠两个判据算出来。

四、用向量研究距离。点面距离公式 d ＝ |AB·n| ／ |n|，结构上就是一次投影：把 AB 投到法向量方向，得到的长度就是距离。而「把一个量沿给定方向拆开」，正是拉格朗日 1788 年分解力的那个动作——它是向量语言里最原始的一步，也是这一章从「看图」转向「算数」的起点。至于两点间的距离公式，本质是把勾股定理用两次，这一点两千多年前的《原本》里已经有了。

五、用向量研究夹角。这一页里最古老的东西是二面角。欧几里得《几何原本》第十一卷就给出了它的定义，以及度量它的办法——二面角的平面角：在棱上任取一点，在两个面内各作一条垂直于棱的射线，这两条射线所成的角是几度，二面角就是几度。两千三百年后，手稿给出的答案是：求出两个半平面的法向量，算它们的夹角，二面角就是这个夹角或它的补角。

同一件事，欧几里得的版本要用「作」和「证」，向量的版本只要「算」。这一章的全部意思，就在这里。

最后说一件看似无关的事：它进中国教材花了很久。1980 年代，中学里与向量有关的只有复数那一块的平面向量，连数量积都不谈。三维向量进入立体几何，争议很大，最后折中，立体几何出两种版本。上海教材在陈昌平主编的推动下，1990 年代初率先全面采用向量方法。为了说明这套方法的优越性，他七十多岁还把 1991 至 1994 年高考全国卷与上海卷的八道立体几何题全部用坐标向量法解了一遍；1995 年给上海市教委的信里，他写的是：坐标向量法的突出优点是「节省思维」，「方法现成而规范，不需要挖空心思去找关系」，而「综合立体几何的方法已是强弩之末」。进入 21 世纪，立体几何用向量方法处理，在全国成为定局。

回头看这条线：1788 年一次力的分解，1827 年一条有向线段的正负号，1843 年桥上的四个字母，1844 年一本被销毁了六百册的书，1881 年一个点号。把它们写在每段手稿前面，只想说明一件事：你手上这套「建系—写坐标—算」的流程之所以顺手，是因为有很多人花了两百多年，才把它缩短成这样。