高三数学一轮复习|第八部分 :复数

从复数的概念、代数运算到复平面、轨迹方程与三角表示的完整知识体系

高三数学一轮复习，正式进入第八部分：复数。

如果把高中数学看成一个不断升级的知识系统，那么复数就是一次重要的扩展：当实数范围内的方程无法继续求解时，我们引入新的数系，让原本无法解决的问题获得新的表达方式。

复数的核心，不是单纯记住几个运算公式，而是建立三种思维：

* 代数思维： 把复数当作一个可以计算、可以变形的数学对象。

* 几何思维： 把复数放到复平面中，用点、向量、距离和轨迹理解它。

* 结构思维： 把共轭、模、方程与三角表示联系起来，寻找不同表达形式之间的转换关系。

本专题按照高考一轮复习的逻辑，将复数知识拆解为十二个模块，帮助你从基础概念一路打通到综合应用。

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第一部分：复数的概念与基本结构

知识点1：为什么要引入复数？

在实数范围内，方程：x² + 1 = 0

可以变形为：x² = −1

但是，任何实数的平方都大于或等于0，因此这个方程在实数范围内没有解。

为了让这类方程也有解，我们引入虚数单位 i，并规定：i² = −1

于是：x² + 1 = 0

可以得到：x² = −1、x = ±i

这就是复数体系建立的基本出发点。

需要注意：虚数单位 i 不是普通实数，而是满足 i² = −1 的数学对象。

知识点2：复数的定义

形如：z = a + bi 的数叫作复数，其中 a、b 都是实数，i² = −1。

其中：

* a 叫作复数 z 的实部，记作 Re(z)。

* b 叫作复数 z 的虚部，记作 Im(z)。

例如：z = 3 + 2i

则：

复数 z 的实部 Re(z) = 3

复数 z 的虚部 Im(z) = 2

特别注意：虚部是实数 b，而不是 bi。

例如：

z = 5 − 4i 实部为5，虚部为−4。

知识点3：实数、虚数与纯虚数

根据实部和虚部的不同，复数可以进一步分类。

1. 当 b = 0 时，z = a，是实数。

2. 当 a = 0 且 b ≠ 0 时，z = bi，是纯虚数。

3. 当 b ≠ 0 时，z 是非实复数。

4. 当 a = 0 且 b = 0 时，z = 0。

这里有一个容易混淆的地方：

纯虚数必须满足实部为0、虚部不为0。

因此，0不是纯虚数。

知识点4：两个复数相等的条件

设：z₁ = a + bi、z₂ = c + di

则：z₁ = z₂

当且仅当：a = c，且 b = d。

也就是说，两个复数相等，必须实部相等、虚部相等。

例如：(2m − 1) + (n + 3)i = 5 + 7i

比较实部：2m − 1 = 5 得到：m = 3

比较虚部：n + 3 = 7 得到：n = 4

因此：m = 3，n = 4。

解题关键：复数相等问题，优先比较实部和虚部，不要把它当作普通实数等式直接处理。

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第二部分：虚数单位 i 的运算规律

知识点1：i 的基本幂次

已知：i² = −1

那么：

i³ = i² × i = −i

i⁴ = i² × i² = 1

继续计算：

i⁵ = i

i⁶ = −1

i⁷ = −i

i⁸ = 1

可以发现，i 的幂次具有周期性。

完整规律如下：

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

此后每四次循环一次。

知识点2：如何快速计算 iⁿ？

对于整数 n，尤其是非负整数，可以将 n 除以4，根据余数判断结果。

* n 除以4余0：iⁿ = 1

* n 除以4余1：iⁿ = i

* n 除以4余2：iⁿ = −1

* n 除以4余3：iⁿ = −i

例如：i²⁰²⁶

因为：2026 = 4 × 506 + 2

所以：i²⁰²⁶ = i² = −1

再例如：i²⁰²⁷ = i³ = −i

知识点3：含 i 的多项式化简

计算：i² + i³ + i⁴

代入基本规律：= −1 − i + 1 = −i

计算时，不必反复展开高次幂，只需要先将指数对4取余，再进行化简。

核心方法：先降幂，再合并同类项。

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第三部分：复数的四则运算

知识点1：复数的加法与减法

设：z₁ = a + bi、z₂ = c + di

则：

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

例如：(3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i

再例如：(4 + 3i) − (2 − i) = 4 + 3i − 2 + i = 2 + 4i

记忆方法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

知识点2：复数的乘法

利用乘法分配律展开，再根据 i² = −1 化简。

例如：(2 + 3i)(1 − 2i) = 2 − 4i + 3i − 6i²

因为 i² = −1，所以：= 2 − i + 6 = 8 − i

一般公式：

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

这个公式是复数乘法的核心公式。

知识点3：复数的除法

复数除法最重要的技巧是：分母实数化。

例如：(3 + i) / (1 − 2i)

分子、分母同时乘以分母的共轭复数 1 + 2i：

[(3 + i)(1 + 2i)] / [(1 − 2i)(1 + 2i)]

分母：1 − (2i)² = 1 + 4 = 5

分子：3 + 6i + i + 2i² = 1 + 7i

所以：(3 + i) / (1 − 2i) = (1 + 7i) / 5

也就是：1/5 + (7/5)i

一般地，当 c、d 不同时为0时：

(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

知识点4：复数运算的常见陷阱

第一，不能忘记 i² = −1。

第二，复数乘法展开后，要把所有 i² 化为 −1。

第三，复数除法不能直接将实部、虚部分别相除。

第四，最终结果通常整理成：a + bi 的形式。

本模块目标：看到任何简单复数四则运算，都能快速转化为实部与虚部的计算。

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第四部分：共轭复数

知识点1：共轭复数的定义

设：z = a + bi

则它的共轭复数为：z̄ = a − bi

也就是说，共轭复数的实部不变，虚部变号。

例如：z = 3 + 4i

则：z̄ = 3 − 4i

如果：z = −2 − 5i

则：z̄ = −2 + 5i

知识点2：共轭复数的基本性质

设 z₁、z₂ 为复数，则：

1. z̄̄ = z

2. z + z̄ = 2Re(z)

3. z − z̄ = 2Im(z)i

4. z₁ + z₂ 的共轭等于 z̄₁ + z̄₂

5. z₁z₂ 的共轭等于 z̄₁z̄₂

6. 当 z₂ ≠ 0 时，(z₁/z₂) 的共轭等于 z̄₁/z̄₂

知识点3：共轭复数与实数的关系

一个复数 z 为实数，当且仅当：z = z̄

也就是：Im(z) = 0

例如：z = (m + 2) + (3m − 6)i

若 z 为实数，则：3m − 6 = 0

得到：m = 2。

知识点4：共轭复数与纯虚数的关系

一个复数 z 为纯虚数，当且仅当：

Re(z) = 0，且 Im(z) ≠ 0。

例如：z = (m − 1) + (m + 2)i

若 z 为纯虚数，则：m − 1 = 0

得到 m = 1。

此时虚部：m + 2 = 3 ≠ 0

因此 m = 1 符合要求。

注意：判断纯虚数时，不能只检查实部，还必须检查虚部不为0。

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第五部分：复数的模

知识点1：复数模的定义

设：z = a + bi

则 z 的模为：|z| = √(a² + b²)

复数的模是一个非负实数。

例如：z = 3 + 4i

则：|z| = √(3² + 4²) = 5

再例如：z = −5 + 12i

则：|z| = √(25 + 144) = 13

知识点2：模与共轭复数的关系

这是复数中的核心关系之一：z × z̄ = |z|²

因为：(a + bi)(a − bi)= a² − b²i² = a² + b²

所以：z × z̄ = a² + b² = |z|²

进一步得到：|z| = √(z × z̄)

这里的 z × z̄ 一定是非负实数。

知识点3：模的基本性质

1. |z| ≥ 0

2. |z| = 0，当且仅当 z = 0

3. |z̄| = |z|

4. |z₁z₂| = |z₁||z₂|

5. 当 z₂ ≠ 0 时，|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

6. |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

第6条是复数模的三角不等式。

知识点4：模的几何意义

在复平面中，复数：z = a + bi

对应点：P(a，b)

原点记为 O(0，0)，那么：|z| = OP

也就是说：复数的模，就是对应点到原点的距离。

更一般地：|z − z₀|

表示复平面上 z 对应的点与 z₀ 对应的点之间的距离。

例如：|z − (2 + 3i)| = 4

表示点 z 到点 (2，3) 的距离为4。

因此，它对应一个以 (2，3) 为圆心、半径为4的圆。

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第六部分：复平面与复数的几何意义

知识点1：复平面的建立

复平面由两条互相垂直的坐标轴构成：

* 横轴叫作实轴。

* 纵轴叫作虚轴。

复数：z = a + bi

对应复平面上的点：P(a，b)

其中：横坐标为 a，纵坐标为 b。

例如：

z = 2 + 3i  对应点 P(2，3)。

z = −4 + i 对应点 Q(−4，1)。

z = −2i     对应点 R(0，−2)。

注意：复数与复平面上的点是一一对应的。

知识点2：复数加法的几何意义

设：z₁ = a + bi、z₂ = c + di

则：z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

对应坐标：(a + c，b + d)

这与平面向量的坐标加法完全一致。

因此，可以把复数看作平面上的点，也可以把它的实部和虚部看作一个二维坐标向量。

知识点3：复数乘以 i 的几何意义

设：z = a + bi

则：iz = i(a + bi) = −b + ai

原来的点：P(a，b) 变为：P′(−b，a)

这正是绕原点逆时针旋转90°的坐标变换。

类似地：

−z 对应绕原点旋转180°。

−iz 对应绕原点顺时针旋转90°。

这个规律在复数乘法与几何变换综合题中非常有用。

知识点4：复数乘法的几何意义

当复数写成三角形式时，乘法的几何意义更加清楚：

两个复数相乘，模相乘，辐角相加。

因此：

* 模决定点到原点的距离。

* 辐角决定点相对正实轴的方向。

这是复数从代数计算走向几何理解的重要桥梁。

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第七部分：复数轨迹方程

复数轨迹题的关键，是把复数表达式转化为点的坐标关系。

设：z = x + yi

则：

Re(z) = x

Im(z) = y

|z| = √(x² + y²)

掌握这三条，很多复数轨迹题就可以转化为熟悉的解析几何问题。

知识点1：圆的轨迹

若：|z − z₀| = r

其中 z₀ = a + bi，r > 0。

则：|z − z₀| = |(x − a) + (y − b)i|

因此：√[(x − a)² + (y − b)²] = r

得到：(x − a)² + (y − b)² = r²

这就是圆的标准方程。

结论：|z − z₀| = r

表示以 z₀ 对应点为圆心、半径为 r 的圆。

知识点2：圆盘与圆周的区别

若：|z − z₀| = r

表示点到圆心的距离恰好为 r，即圆周。

若：|z − z₀| ≤ r

表示点到圆心的距离不超过 r，即圆周及其内部。

若：|z − z₀| < r

表示圆的内部，不包括圆周。

若：|z − z₀| > r

表示圆外部，不包括圆周。

高考中经常利用不等式判断点的运动区域，要特别注意等号是否成立。

知识点3：两点距离相等的轨迹

若：|z − z₁| = |z − z₂|

表示点 z 到 z₁、z₂ 对应点的距离相等。

因此，轨迹是连接这两点的线段的垂直平分线。

例如：|z − 1| = |z + 1|

设 z = x + yi，则：√[(x − 1)² + y²] = √[(x + 1)² + y²]

两边平方：(x − 1)² + y² = (x + 1)² + y²

化简得到：x = 0

因此轨迹是虚轴。

知识点4：实部与虚部确定的轨迹

若：Re(z) = a

则：x = a

表示一条竖直直线。

若：Im(z) = b

则：y = b

表示一条水平直线。

例如：

Re(z) = 2   对应直线 x = 2；

Im(z) = −1 对应直线 y = −1。

知识点5：模的和、差与轨迹

若：|z − z₁| + |z − z₂| = k

表示点到两个定点的距离之和为常数。

当 k 大于两定点间的距离时，通常对应椭圆；当 k 等于两定点间的距离时，轨迹退化为两定点之间的线段（含端点）。

若：||z − z₁| − |z − z₂|| = k

其中 k 大于0且小于两定点间的距离，则对应双曲线的相关轨迹。

这类问题的重点不是死记名称，而是先识别距离关系，再结合解析几何的轨迹知识判断。

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第八部分：复数方程与根

知识点1：复数方程的基本思想

求解复数方程时，常用方法仍然是代数变形。

例如：z² = −1

得到：z = ±i

再例如：z² = 1

得到：z = ±1

需要注意：在复数范围内，方程的解可能包含非实数。

知识点2：一元二次方程

对于实系数一元二次方程：

ax² + bx + c = 0，a ≠ 0

其判别式为：Δ = b² − 4ac

当 Δ < 0 时，方程在实数范围内无解，但在复数范围内有两个共轭的非实根：x = (−b ± i√(−Δ)) / (2a)

例如：x² − 2x + 5 = 0

判别式：Δ = 4 − 20 = −16

因此：x = (2 ± 4i) / 2

得到：x = 1 ± 2i

知识点3：实系数方程的共轭根性质

如果一个多项式方程的系数全为实数，且非实复数 z 是它的一个根，那么 z̄ 也一定是它的根。

例如：x² − 2x + 5 = 0

两个根为：1 + 2i、1 − 2i

它们互为共轭复数。

这一结论可以用于检查计算结果，也可以用于根据一个非实根推导另一个根。

知识点4：复数的平方根

若要求解：z² = w

其中 w 是复数，可以设：z = x + yi

再展开：z² = (x² − y²) + 2xyi

比较实部与虚部，得到：x² − y² = Re(w)、2xy = Im(w)

这是一种基础的代数求解方法。

例如，求解：z² = 3 + 4i

设 z = x + yi，则：x² − y² = 3、2xy = 4

即：xy = 2

由 x² − y² = 3，结合 xy = 2，

可得：x = 2，y = 1

或者：x = −2，y = −1

因此：z = 2 + i 或 z = −2 − i。

验证：(2 + i)² = 3 + 4i。

知识点5：复数根的高阶拓展

在更高阶的复数学习中，还会接触复数的 n 次根。

若：zⁿ = w

通常可以借助复数的三角表示，把模与辐角分别处理。

这部分是否作为考试重点，需要以所在地区的现行课程标准和教材要求为准。对于高中一轮复习，应优先掌握复数基本运算、共轭、模、复平面与实系数方程的共轭根性质。

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第九部分：复数的三角表示

知识点1：为什么要引入三角表示？

复数的代数形式：z = a + bi

适合进行加减法。

但当复数涉及连续乘法、除法、旋转或高次幂时，代数形式往往不够简洁。

因此，我们可以用模与辐角表示复数。

设：z = a + bi，且 z ≠ 0

令：r = |z| = √(a² + b²)

设 θ 为 z 的一个辐角，则：a = r cos θ、b = r sin θ

因此：z = r(cos θ + i sin θ)

这就是复数的三角表示。

其中：

* r 是复数的模，且 r > 0。

* θ 是复数的一个辐角。

知识点2：如何确定辐角？

若：z = a + bi

则辐角 θ 需要满足：

cos θ = a/r

sin θ = b/r

仅根据 tan θ = b/a，可能无法唯一确定象限。

例如：z = −1 + i 对应点在第二象限。

它的一个辐角是：θ = 3π/4

而不是仅凭 tan θ = −1 就直接取 −π/4。

因此，确定辐角时必须结合实部、虚部的符号判断象限。

知识点3：复数乘法的三角表示

设：

z₁ = r₁(cos α + i sin α)

z₂ = r₂(cos β + i sin β)

则：

z₁z₂ = r₁r₂[cos(α + β) + i sin(α + β)]

因此：

|z₁z₂| = |z₁||z₂|

辐角相加：

arg(z₁z₂) ≡ arg(z₁) + arg(z₂)（mod 2π）

这里的辐角等式是模 2π 意义下成立的。

知识点4：复数除法的三角表示

当 z₂ ≠ 0 时：

z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(α − β) + i sin(α − β)]

因此：|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

辐角相减：arg(z₁/z₂) ≡ arg(z₁) − arg(z₂)（mod 2π）

记忆口诀：乘法模相乘、角相加；除法模相除、角相减。

知识点5：复数的高次幂

根据三角表示，可以得到棣莫弗公式：

[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ= rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)]

其中 n 为整数；涉及负整数指数时，需要保证复数不为0。

例如：z = cos(π/6) + i sin(π/6)

则：z³ = cos(π/2) + i sin(π/2) = i

这说明：当复数用三角形式表示时，高次幂的计算可以转化为模的乘方和辐角的倍乘。

对于高考一轮复习，建议优先理解这一结构；是否需要熟练掌握更复杂的三角形式运算，以教材与考试要求为准。

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第十部分：复数与向量的联系

复数与平面向量之间存在非常紧密的联系。

设：z = a + bi

可以将其对应为向量：(a，b)

因此：

复数的模 = 对应向量的模。

复数加法 = 对应向量的加法。

复数乘以实数 = 对应向量的伸缩。

复数乘以 i = 对应向量逆时针旋转90°。

进一步地，当两个非零复数采用三角形式表示时，复数相乘可以理解为：

长度相乘，方向角相加。

这也是复数能够描述平面旋转的重要原因。

学习时可以将复数与前面学过的平面向量知识联系起来，但要注意：复数乘法不是普通向量加法，不能把不同运算混为一谈。

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第十一部分：复数综合题的常见模型

题型1：已知复数相等，求参数

核心方法：

1. 将复数整理为 a + bi 的形式。

2. 比较实部。

3. 比较虚部。

4. 联立方程求参数。

常见设问：求参数、判断复数是否为实数、判断是否为纯虚数。

题型2：已知复数及其共轭，求表达式

常用公式：

z + z̄ = 2Re(z)

z − z̄ = 2Im(z)i

z × z̄ = |z|²

解题策略：先把表达式转化为实部、虚部或模，再代入计算。

题型3：复数除法与模的综合

常用策略：

1. 分母乘共轭复数。

2. 先将结果整理为 a + bi。

3. 再计算模或判断实部、虚部。

4. 检查分母是否为0。

题型4：复数与复平面结合

先把复数写成：z = x + yi

再将复数条件转化为坐标条件。

例如：

Re(z) = 1、对应 x = 1。

|z| = 3、对应 x² + y² = 9。

|z − 2| = 1、对应 (x − 2)² + y² = 1。

题型5：复数轨迹与最值

先识别模的几何意义，再转化为距离问题。

例如：|z − z₀| = r 表示圆周。

若在这个圆周上求某个距离或线性表达式的最值，可以进一步转化为几何距离问题，或改写为 x、y 的函数进行分析。

题型6：复数三角表示与高次幂

先求模，再确定辐角，最后使用乘法、除法或棣莫弗公式。

不要直接对代数形式进行复杂的高次展开，除非题目本身更适合代数方法。

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第十二部分：复数一轮复习的易错点清单

易错点1：虚部写错。

3 − 5i 的虚部是 −5，不是 −5i。

易错点2：忽略 i 的周期性。

计算高次幂时，应优先利用指数对4取余。

易错点3：乘法后忘记化简 i²。

必须使用 i² = −1。

易错点4：复数除法没有分母实数化。

通常通过乘以分母的共轭复数处理。

易错点5：共轭复数的虚部没有变号。

a + bi 的共轭复数是 a − bi。

易错点6：把模当成复数本身。

|z| 是非负实数，而 z 可以是非实复数。

易错点7：混淆圆周与圆盘。

|z − z₀| = r 表示圆周；|z − z₀| ≤ r 表示圆盘区域。

易错点8：求辐角时忽略象限。

不能只根据正切值确定辐角，必须结合实部、虚部的符号。

易错点9：忽略参数限制。

复数除法中分母不能为0；纯虚数的虚部不能为0；三角表示中的模必须大于0。

易错点10：将拓展知识当作必考内容。

一轮复习要优先确保教材基础内容熟练，再根据所在地区的课程要求补充拓展。

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最后：建立复数的完整知识地图

复数的概念与分类

↓

虚数单位 i 的幂次规律

↓

复数的加减乘除

↓

共轭复数与模

↓

复平面与几何意义

↓

复数轨迹方程

↓

复数方程与共轭根

↓

复数的三角表示

↓

复数与向量、旋转、高次幂的综合应用

这一部分真正需要建立的，不是十二份互不相关的公式，而是一套可以互相转换的数学系统。

当题目给出 a + bi，想到实部与虚部；当题目出现 z̄，想到共轭与模；当题目出现 |z − z₀|，想到距离与轨迹；当题目涉及高次幂，想到三角表示与辐角。

这就是复数一轮复习的核心逻辑。

数学小能手｜高中数学系统复习笔记

从基础概念到综合模型，把零散知识串起来，把重要方法记下来。

新一届高三已经开始，一轮复习不只是重新学一遍知识，更是把每一个知识点变成自己能够熟练调用的解题工具。