八上习题13.2:两角为什么相等?平行线与角平分线联手

教材原题｜习题13.2 拓广探索第8题

8. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F。图中∠1与∠2有什么关系？为什么？

同学们，这道题没有给出一个角的度数，却要求比较两个角。遇到这样的题，不必急着设度数。我们要找的是角之间的联系：平行线把不同位置的角联系起来，角平分线则提供一对相等的角。把这两条线索接起来，就能说明理由。

先猜一猜

图中的∠1与∠2看起来差不多大，它们一定相等吗？如果把三角形画得更偏一些，结论还成立吗？观察可以帮助提出猜想，但“看起来一样”不能代替证明。我们需要让每一步都有已知条件作依据。

01 · 先看顶点，再认两条边

先认清要比较的角，别找错顶点

图中的∠1是∠EDA，两条边是DE、DA；∠2是∠ADF，两条边是DA、DF。两个角的顶点都在D，共同的一条边是DA。

书写三个字母表示角时，顶点必须放在中间。把图中的数字角换成三字母名称，能帮助我们准确地追踪角的两条边，避免把旁边的∠BDE或∠FDC误当成所求的角。

02 · 平分的是角，不是边

角平分线先给了我们哪一对等角？

AD是△ABC从顶点A引出的角平分线，也就是AD平分∠BAC。因此∠BAD＝∠DAC。

这对等角在A处，而我们要比较的两个角在D处。两处位置不同，暂时不能直接把它们说成同一对角。接下来要用平行线，将D处的角与A处的角对应起来。

还要注意，“角平分线”说的是平分角，不是平分对边。题目并没有告诉我们BD＝DC，也没有告诉我们AD垂直BC，不能把中线或高的性质混进来。

03 · DE平行AC，用AD作截线

第一组平行线：∠1对应A处哪个角？

看DE∥AC，再看直线AD分别与它们相交。由两直线平行、内错角相等，得到∠EDA＝∠DAC，也就是∠1＝∠DAC。

一个简单的检查办法是逐条看边：∠1的一边在DE上，另一边在AD上；对应的∠DAC，一边在AD上，另一边在AC上。DE与AC恰好是题目给出的平行线。

因此，∠1应当先与∠DAC建立联系，而不是随意挑一个顶点A处的角。画图时可以把这两个角用同一种颜色标记，转移关系就更清楚。

04 · DF平行AB，仍用AD作截线

第二组平行线：∠2对应A处哪个角？

再看DF∥AB，仍然用AD作截线。由内错角相等，得到∠ADF＝∠DAB，也就是∠2＝∠BAD。

∠DAB与∠BAD是同一个角，只是两条边的书写顺序相反。现在，两条平行条件分别完成了一次角的转移：∠1转到∠DAC，∠2转到∠BAD。

不能只说“因为有平行线，所以∠1＝∠2”。DE与DF并不平行；真正的依据是分别找到两对内错角，再借助AD平分顶角把它们联系起来。

本题结论：∠1＝∠2

因为DE∥AC，所以∠1＝∠DAC。 因为DF∥AB，所以∠2＝∠BAD。 又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝∠BAD。 因此∠1＝∠2。

这就是完整的推理链：两个角分别等于一对相等的角，所以这两个角也相等。把理由写在等式旁边，证明就简洁而清楚。

还能进一步看出DA平分哪个角？

在题图中，射线DA位于∠EDF内部，将它分成∠EDA和∠ADF。既然这两个角相等，就可以说射线DA平分∠EDF。

这里要注意方向：在A处，说射线AD平分∠BAC；在D处，说射线DA平分∠EDF。AD和DA所在直线相同，但射线的起点不同，表达时要看所讨论角的顶点。

没有具体度数，为什么照样能证明？

可以把∠BAD与∠DAC都记作α。平行线关系告诉我们，∠1＝α、∠2＝α，所以它们相等，不需要知道α究竟是多少度。

例如，若顶角是80°，这四个小角都是40°。这只是帮助理解的一个例子，不是原题新增加的条件。即使顶角改变，只要角平分与两组平行关系保持，证明仍然成立。

为什么不能靠量角器下结论？

量角器可以帮助检验猜想，但图片可能缩放，画线也会有误差。即使测出来差不多，也不能说明所有满足题目条件的图形都如此。证明需要使用角平分线的定义和平行线的性质，而不是测量结果。

名师方法｜目标角转移到已知等角

先确定要比较的角，再找能连接它们的截线；利用平行线，把分散的角转移到同一顶点附近；最后用角平分线给出的等量关系收尾。每写一个等式，都问一句：它来自哪条已知条件？

审题小练习：三条条件各起什么作用？

可以把题目中的三条重要条件分别圈出来。第一条平行关系负责找到左边小角的对应角，第二条负责找到右边小角的对应角，角平分线则负责把转移后的两个角连接起来。每个条件都有自己的任务，并不是看到“平行”二字就能直接写出结论。

自己写证明时，可以先从结论往回想：要证明两个小角相等，能否把它们换成已经知道相等的角？找到思路后，再按已知条件到结论的顺序书写。这样既容易发现解题入口，也能让读者顺着你的理由一步步看懂。

当堂检测

1. ∠1通过哪组平行线与∠DAC相等？ 2. 若∠BAC＝70°，∠1和∠2各是多少？ 3. 去掉“AD是角平分线”，保留两组平行关系，∠1和∠2还一定相等吗？

想好再看：DE∥AC；各35°；不一定，它们分别等于∠DAC和∠BAD，这两个角未必相等。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十三章《三角形》第10页，习题13.2“拓广探索”第8题。

平行线帮我们转移角，角平分线帮我们找到相等。