高一数学｜函数的单调性

同学们，函数单调性是高一函数板块重中之重，后面奇偶性、最值都要以此为基础，月考很喜欢考大题。

一、单调性定义

设函数y等于f(x)，定义域是D，I是D里面的一个区间。对区间I里面任意两个自变量x1、x2：

1. 如果x1小于x2，都有f(x1)小于f(x2)，那么f(x)在区间I上单调递增

2. 如果x1小于x2，都有f(x1)大于f(x2)，那么f(x)在区间I上单调递减

补充备注：

1. 单调性是局部性质，只针对区间，单独一个点没有单调性

2. x1、x2必须是区间内任意的数，不能拿特殊值去判断单调性

3. 多个单调区间，如果不是连续的，要用“和”或者逗号隔开，不能直接写并集，反比例函数就是典型例子

二、定义法证明单调性四步法

1. 取值：在区间内任取x1，x2，并且规定x1小于x2

2. 作差：写出f(x1)减去f(x2)

3. 变形：因式分解、通分、配方，整理成乘积形式，方便判断正负

4. 定号、下结论：判断差值正负，得到函数是递增还是递减

三、经典题型

1. 基础：二次函数、带绝对值二次函数，画图写出单调区间，看对称轴划分区间

2. 进阶：已知单调性，求参数取值范围，分段函数为增函数要兼顾两段解析式本身单调性+端点处函数值大小

3. 综合：利用单调性脱去f符号，解不等式，千万不要漏掉定义域限制
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