高中数学|四条直线斜率之和为定值,平移原点一步破题

这道填空题把双曲线和椭圆塞进了同一句话里，还让它们共用同一组a、b——两条曲线的关系比看上去亲密得多。题目要找一个定点Q，让QA、QB、QM、QN四条连线的斜率之和为定值。这类”动直线+定点+定值”的问题，硬算联立当然能做，但有一手更漂亮的准备：把坐标原点挪个位置，方程的常数项会自己消失，韦达定理一路绿灯。孩子看懂了这一步，这类题的门槛就算迈过去了。

已知双曲线的一条渐近线为，椭圆的长轴长为4，其中a>b>0．过点P(2,1)的动直线l₁交C₁于A，B两点，过点P的动直线l₂交C₂于M，N两点，若四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值，则定点Q为_________．

第一步：用两个条件把a、b定下来，然后停下来观察。

双曲线的渐近线是．其中一条为，说明

椭圆的长轴在x轴上，长轴长2a=4，得a=2，进而b=1．于是

写到这里先停一秒：两条曲线的顶点都是(± 2,0)——它们共用同一对顶点！再看P(2,1)，它恰好站在右顶点(2,0)的正上方，而竖直线x=2正是两条曲线在右顶点处的公共切线．“公共顶点+公共切线”这个结构，就是本题的题眼．

第二步：把坐标原点搬到候选点去。

题目要算的斜率，分母长这样：——反复出现x−2．既然如此，干脆令u=x−2，把新原点放在(2,0)上，看会发生什么．

把x=u+2代入两条曲线：，左边展开多出来的1，恰好被方程右边的1吃掉：

常数项消失了！这不是巧合——新原点落在两条曲线上，方程自然没有常数项．这是整道题最漂亮的机关．

在新坐标系里，P(2,1)变成(0,1)：它站在u轴（原来的公共切线x=2）上方高1处．于是过P的动直线全都可以设成

第三步：设而不求，韦达定理收尾。

把y=ku+1代入：

设两根为，（对应点A，B），由韦达定理：

两式相除：

而点在直线上，，所以斜率可以拆开：

动直线的斜率k被干干净净地消掉了：不管l₁怎么动，．

把y=mu+1代入，同样的操作再来一遍：

于是四条直线的斜率之和为定值0，与k、m都无关——定点Q就是两条曲线的公共右顶点Q(2,0)．双曲线贡献一段恒为1的和，椭圆贡献一段恒为−1的和，一正一负正好抵消，这道题的对称感就藏在这里．

第四步：为什么只能是这个点？

注意l₁与l₂是两条各自独立的动直线：固定l₂只动l₁，总和不变，就说明自己必须恒为常数；反过来也必须恒为常数．对一般的点Q'(u₀,v₀)重复第三步的推导（把两个分式通分后与二次方程系数比对）可以发现：能让双曲线这一段恒为常数的点只有(2,0)；椭圆这一段除了(2,0)还允许(0,−1)，但它经不起双曲线的检验——而且过P的椭圆弦中恰好有一条经过(0,−1)，那时直线QM的斜率根本不存在．两条曲线同时过关的定点唯一：Q(2,0)．

这道题最值得孩子带走的，不是”答案是公共顶点”这个事实，而是三次漂亮的结构判断。

其一，先找”公共元素”再动笔。双曲线和椭圆共用同一组a、b，算出来必然共用顶点——题目把两条曲线写进同一句话，往往就是在暗示你看它们的交集．

其二，分母里反复出现什么，就把原点搬到哪。斜率的分母是，这不是负担，而是路标：令u=x−2之后，新原点落在曲线上，方程的常数项自动消失，韦达定理一路绿灯．“平移变换”在课本里只是化简工具，在定点定值题里却是破题的钥匙．

其三，“设而不求”的底气来自结构对称。全程没有解出、的具体数值，只用韦达定理的两根之和与两根之积，就把斜率之和里的k完全消掉．下次面对”动直线+定值”的题，孩子可以先问自己一句：我要的那个量，能不能只用两根之和与两根之积表达出来？

回到本题：过P的动弦换了一茬又一茬，四条连线的斜率加起来永远是0——定点Q(2,0)站在两条曲线的公共右顶点上，站得稳稳当当．