八上习题17.1:提公因式怎样求值、证余数、判等腰?

教材原题｜习题17.1 拓广探索

6. 已知ab＝2，a－4b＝－5，求a²b－4ab²＋ab的值。

7. 设n为奇数，求证：n²除以8的余数为1。

8. 已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab－ac＝b²－bc，证明这个三角形是等腰三角形。

同学们，因式分解不只是把一个式子换一种写法。把“几项的和”变成“几个因式的积”，常常能让隐藏的关系显现出来。这三道题分别用它求值、说明整除关系、证明两条边相等，正好展示了同一种方法的三种用途。

先猜一猜

第6题一定要先求出a、b吗？第7题试算几个奇数都成立，是否就算证明了？第8题两边都出现b－c，能不能直接把它约掉？先记下你的判断，做完后再回来核对。

01 · 提公因式，让目标式对上已知条件

第6题分析：把已知的整体提出来

分析：目标式的三项都含有ab，提取这个公因式后，括号内分别留下a、－4b和1。恰好，题目已知的就是ab与a－4b，所以应该把它们当作整体使用。

注意最后一项ab提取ab后剩下的是一，不能把这一项漏掉。可以用“提出来的因式乘回去”检查：ab乘一才还原成原来的ab。

第6题解｜原式的值为－8

解：a²b－4ab²＋ab ＝ab（a－4b＋1）。 ∵ ab＝2，a－4b＝－5， ∴ 原式＝2×（－5＋1） ＝2×（－4） ＝－8。

我们没有求出a、b各自是多少，却准确求出了目标式。原因是目标式所需的两个整体都已确定。遇到求值题，先观察结构，往往比先解字母更省力。

02 · 想证明余一，就说明减一后是八的倍数

第7题分析：把余数结论改写成整除关系

分析：要证明n²除以八余一，可以先证明n²－1是八的倍数。奇数可以写成n＝2k＋1，其中k为整数。把这个表达式代入，就能将关于所有奇数的结论变成一个含字母的运算。

展开后会出现4k²＋4k，提取公因式四k，得到4k（k＋1）。这时不能只看到外面的四，还要观察相邻的两个整数k与k＋1：它们中必有一个是偶数。

第7题证明｜n²＝8t＋1

证明：∵ n为奇数， ∴ 可设n＝2k＋1，其中k为整数。 ∴ n²－1＝（2k＋1）²－1 ＝4k²＋4k ＝4k（k＋1）。

∵ k与k＋1是两个连续整数， ∴ k（k＋1）是偶数。 可设k（k＋1）＝2t，其中t为整数。 ∴ n²－1＝8t， ∴ n²＝8t＋1。 又∵ 0≤1＜8， ∴ n²除以8的余数为1。

把式子写成“八乘一个整数，再加一”，才与余数的含义完全对应。外面的四提供一个因子四，连续整数的积再提供一个因子二，两部分合起来才有因子八。

为什么举几个例子不算完整证明？

一、三、五的平方除以八确实都余一，但有限个例子不能覆盖所有奇数。设n＝2k＋1且k为整数，才把任意奇数都包括进来。这里“k为整数”不能漏写，否则就不能保证连续整数的奇偶性。

03 · 化成乘积等于零，分类得到两边相等

第8题分析：相同的括号先保留，不急着约掉

分析：左边提取a，右边提取b，就能把已知等式写成a（b－c）＝b（b－c）。两边出现相同的因式，但它可能等于零，因此不能直接约去。

更稳妥的方法是把右边移到左边，再提取整个括号b－c，得到（a－b）（b－c）＝0。两个数的乘积为零，至少有一个因式为零，从而得到两种可能的边长关系。

第8题证明｜a＝b或b＝c

证明：∵ ab－ac＝b²－bc， ∴ a（b－c）＝b（b－c）， ∴ a（b－c）－b（b－c）＝0， ∴（a－b）（b－c）＝0。 ∴ a－b＝0，或b－c＝0， 即a＝b，或b＝c。

∵ a、b、c是同一个三角形的三边长， ∴ 无论哪一种情况，这个三角形都有两边相等。 ∴ 这个三角形是等腰三角形。

题设并没有指定哪两边是腰，所以证明不能只保留a＝b这一种情况。两种情况也可能同时成立，此时三边相等，同样满足有两边相等的要求。

直接约去b－c，会漏掉什么？

如果b＝c，原等式两边都等于零，无论a是否等于b，代数等式都成立。例如边长取三、二、二，可以组成三角形，也满足原式，但a并不等于b。这个例子说明，直接约去可能为零的因式，会丢掉本来成立的一类情况。

也可以分类讨论，但条件要说清

若b＝c，已经有两边相等，结论成立；若b≠c，此时才可以把等式两边同除以b－c，得到a＝b。两条路线都正确，但写成乘积等于零，能把两种情况一起看清。

本题的三角形条件，是让代数结论转化为几何结论：这几个数确实表示三边，两边相等就能判定等腰。证明不需要额外使用三角形两边之和大于第三边，也不能擅自指定哪一边是底边。

怎样检查分解是否正确？

把分解后的乘积重新展开，是最直接的检查方法。第六题把括号中的三项分别乘以公因式，应当逐项还原；第八题把两个括号展开，应得到移项后的四项，特别检查负号是否一致。

再检查结论有没有超出条件。第七题证明的是所有奇数的平方，不是所有整数的平方；第八题证明的是至少两边相等，不是一定三边都相等。运算正确之后，还要把结论说准确。

名师方法｜分解之后，继续读懂因式

求值时，找能与已知条件对应的整体；证明整除时，找能组成目标倍数的整数因子；判断等式关系时，先移项归零，再看哪个因式可能为零。因式分解不是终点，读出每个因式的作用，才能完成解题。

当堂检测

1. 提取ab后，最后一项ab在括号内应写什么？ 2. 两个连续整数的积为什么一定是偶数？ 3. 从（a－b）（b－c）＝0，能断定两个因式都为零吗？

想好再看：写1；其中必有一个偶数；不能，只能断定至少有一个为零，二者也可能同时为零。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十七章《因式分解》第127页，习题17.1“拓广探索”第6、7、8题。