高中数学必修一1.1 集合的概念知识点梳理

【重难点】★重点：元素、集合的概念，集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）；▲难点：确定性的准确理解（元素必须能判定"在"或"不在"）、互异性造成的集合元素去重、无序性带来的书写顺序不唯一．

1．元素与集合　我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c等表示；把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C等表示．

2．确定性　给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．

3．互异性　一个给定集合中的元素是互不相同的，集合中的元素不重复出现．

4．无序性　给定集合中的元素不分先后，没有顺序．

【解析】判定依据：集合元素须具有确定性、互异性、无序性．

A：与1非常接近，标准不明确，不能构成集合

B：中国著名的数学家，标准不明确，不能构成集合

C：视力比较好，标准不明确，不能构成集合

D：某学校本学期全体高一学生，对象明确，能构成集合

故选 D．

【解析】判定依据：只有标准明确、对象确定的对象才能构成集合．

A：身高比较高，标准不明确，不能构成集合

B：本班参加数学竞赛的同学，对象明确，能构成集合

C：全体很大的自然数，“很大”标准不明确

D：学习勤奋，标准不明确，不能构成集合

故选 B．

【解析】判定依据：元素是否确定，是判断能否构成集合的唯一标准．

A：全体很大的自然数，“很大”没有明确标准

B：全体好看的实数，“好看”不是数的确定属性

C：全体不超过1的实数，范围确定，能构成集合

D：身高比较高，标准不明确，不能构成集合

故选 C．

【解析】判定依据：标准明确、对象确定，才能构成集合．

A：方程  无实数解，解集为 ，对象确定

B：“著名”标准不明确，不能构成集合

C：“接近 ”标准不明确，不能构成集合

D：“个子较高”标准不明确，不能构成集合

故选 A．

【解析】判定依据：元素与集合用 、，集合与集合用 、．

A： 是元素与集合的关系，不能写作 

B： 中 1 只算一个元素，与  个数相同

C：集合元素无序，，正确

D： 说明 a 不是 A 的元素，不能用 

故选 C．

【解析】判定依据：紧扣元素与集合的关系、元素的互异性与无序性．

A： 推不出 ，故推不出 

B：元素无序，，说法错误

C： 且 ，由交集定义得 

D：a 重复只算一个元素，共 2 个元素

故选 C．

【变式2-2】已知集合，则实数a的取值范围是______．

【解析】由集合元素的互异性知，，a，三者必须互不相同．

由且得，由得且．

∴实数a的取值范围是．

【变式2-3】已知集合 ，且 ，求实数 a 的值．

【解析】由  分三种情况讨论：若 ，则 ，此时 ，

，与  重复，舍去；若 ，则  或 ，

当  时  重复，舍去，当  时 ，符合互异性；

若 ，则  或 ，均舍去．故 ．

【重难点】★重点：元素与集合的关系只有"属于"与"不属于"两种，用、表示；▲难点：区分元素与集合的表示符号（集合用大写、元素用小写），与a的含义不同，与不能混用．

1．关系符号　若a是集合A的元素，记作；若a不是集合A的元素，记作．

2．关系唯一性　元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立．

3．常见数集　非负整数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集．

【例3】已知集合，则，；．试判断：______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）．

【解析】由得，故．∵，∴应填"×"；

∵，∴应填"×"．∴依次填"×"，"×"．

【变式3-1】已知集合，则______（填"√"或"×"）；______（填"√"或"×"）．

【解析】集合，即所有大于的实数．∵，∴应填"√"；

∵不满足，∴应填"×"．

【变式3-2】已知，则下列结论正确的是（　　）

【解析】判定依据： 是全体正数构成的集合．

A：0 不是正数，故 

B： 不是正数，故 

C：1 是正数，故 ，正确

D：由 C 知 ，故  错误

故选 C．

【变式3-3】已知集合，则A中元素的个数是______．

【解析】由且得，，，，．

∴集合，元素个数是．

【解析】判定依据：熟记常用数集的记号与范围．

A：非负整数集  含 0，说法错误

B：正整数集  不含 0，说法错误

C：整数集  包含所有正整数，说法错误

D：有理数集  是实数集  的真子集，正确

故选 D．

【变式4-1】下列集合中，元素个数为的是（　　）

【解析】判定依据：先解方程（不等式），再数元素个数．

A： 得 ，集合为 ，2 个元素

B： 无解，为空集，0 个元素

C：解集为 ，只有 1 个元素

D：，实数无穷多，元素无数个

故选 A．

【解析】判定依据： 从 1 开始，其余数集都含 0．

A：0 是非负整数，，正确

B：正整数集不含 0，故 ，错误

C：0 是整数，，正确

D：0 是有理数，，正确

故选 B．

【变式4-3】已知集合，则A是（　　）

【解析】判定依据： 取遍全体正整数， 互不相同．

A： 有无穷多个取值，不是有限集

B：元素  互不相同且无穷多，是无限集

C： 时元素为 1，不是空集

D：，故 

故选 B．

【重难点】★重点：集合的列举法与描述法，描述法中的规范写法，集合的分类（有限集与无限集、数集与非数集）；▲难点：描述法中"属于什么集合"的限定不能遗漏、列举法元素的去重与化简、无限集的分类判断．

1．列举法　把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号""括起来表示集合的方法．

2．描述法　设A是一个集合，把A中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，也写作．

3．集合的分类　按元素个数分为有限集与无限集；按元素性质分为数集与非数集．

【例5】用列举法表示下列集合：(1)；(2)；(3)．

【解析】(1)由得，故；

(2)在中大于的元素有，，故；

(3)满足且的整数为，，，，，故．

【变式5-1】用列举法表示下列集合：(1)；(2)．

【解析】(1)小于的自然数为，，，，，故；

(2)由得或，故．

【解析】判定依据：列举法要一一列出，描述法要写明元素范围．

A： 含 0，右边为 ，不相等

B：，不相等

C： 的整数为 ，正确

D： 的实数无穷多，不等于 

故选 C．

【变式5-3】用列举法表示下列集合：(1)；(2)．

【解析】(1)满足  且  的整数为 ，故 ；

(2)由  得  或 ，故 ．

【例6】用描述法表示下列集合：(1)；(2)负数集；(3)．

【解析】(1)；

(2)负数集；

(3)．

【变式6-1】用描述法表示下列集合：(1)；(2)偶数集；(3)正有理数集．

【解析】(1)；

(2)偶数集；

(3)正有理数集．

【解析】判定依据：注意  含 0，偶次方程有两解．

A：偶数无穷多，不能用列举法完整表示

B： 即 ，用区间表示为 

C：应为 ，多写了 5 又漏了 0

D： 得 ，集合为 

故选 B．

【变式6-3】用描述法表示下列集合：(1)；(2)被  除余  的正整数组成的集合 B．

【解析】(1)元素均为不超过  的正偶数，故 ；

(2)被  除余  的正整数可写为 （），故 ．

【解析】判定依据：数集的元素必须都是数．

A：正有理数都是数，属于数集

B： 的解为 ，属于数集

C： 由数构成，属于数集

D：元素是本班同学，不是数，不属于数集

故选 D．

【变式7-1】设，则A用列举法表示为______，用描述法表示为______．

【解析】由得或，故．

用列举法表示为，用描述法表示为．

【变式7-2】已知集合，若A中恰有一个元素，则______．

【解析】∵集合A中恰有一个元素，∴方程的判别式．∴．

【变式7-3】已知集合，若A中有两个元素，则实数的取值范围是______．

【解析】∵集合A中有两个元素，∴方程有两个不相等的实数根．

∴判别式，即．∴实数的取值范围是．