从另一个角度讲初中数学(七十九)、圆周角定理——顶点在圆上,角就“砍一半”

咱们上一课把圆的基础零件认全了：

还讲了圆里第一个重要定理——垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦，也平分弧。

那今天这一课，咱们来研究圆里的第二种角——顶点不在圆心，而在圆上。

这种角叫圆周角。

它和圆心角之间，有一个特别漂亮的关系——圆周角是圆心角的一半。

今天这一课，咱们就把这个关系彻底讲透。

一、先看两个角——一个在圆心，一个在圆上

咱们画一个圆，在圆上取两个点 A 和 B。

圆心角： 顶点在圆心 O 上，两边分别经过 A 和 B。这个角是 ∠AOB。

圆周角： 顶点在圆上（比如点 C），两边分别经过 A 和 B。这个角是 ∠ACB。

• ∠AOB 是圆心角，顶点在 O。

• ∠ACB 是圆周角，顶点在 C。

它们对着的是同一条弧——⌒AB。

二、核心定理——圆周角是圆心角的一半

一条弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半。

用公式写出来就是：

∠ACB = ½ × ∠AOB

或者反过来：

∠AOB = 2 × ∠ACB

记住这句话：同一条弧，圆周角是圆心角的一半。

三、为什么是“一半”？——用三角形外角来证明

咱们用上一课学的知识来证明这个结论。

连接 OC，形成两个三角形：△AOC 和 △BOC。

因为 OA = OC（都是半径），所以 △AOC 是等腰三角形。

所以 ∠OAC = ∠OCA。

而 ∠AOD 是 △AOC 的外角（D 是 AO 延长线上的点），所以：

∠AOD = ∠OAC + ∠OCA = 2∠OCA

同理，在 △BOC 中：

∠BOD = 2∠OCB

所以：

∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 2∠OCA + 2∠OCB = 2(∠OCA + ∠OCB) = 2∠ACB

所以 ∠ACB = ½ ∠AOB。

证明完毕。

你看，证明用到了两个东西：等腰三角形的底角相等，和三角形的外角等于不相邻两内角之和。全是前面学过的知识。

四、一个重要推论：同弧所对的圆周角都相等

如果圆周角的顶点在圆上移动，但始终对着同一条弧，那这些圆周角有什么关系？

它们都相等。

因为同一条弧所对的圆心角是固定的，而圆周角是圆心角的一半，所以所有对着同一条弧的圆周角都相等。

∠AC₁B = ∠AC₂B = ½ ∠AOB

同弧所对的圆周角相等。这个结论在解题时特别好用。

五、第二个推论：直径所对的圆周角是直角

这是圆周角定理最重要的推论。

如果 AB 是直径，那圆心角 ∠AOB = 180°（平角）。

那圆周角 ∠ACB = ½ × 180° = 90°。

直径所对的圆周角是直角。

反过来也成立：

90°的圆周角所对的弦是直径。

这个推论在考试里经常出现：看到直径，就想到直角；看到直角，就想到直径。

六、第三个推论：圆内接四边形对角互补

如果一个四边形的四个顶点都在圆上，这个四边形叫圆内接四边形。

圆内接四边形有一个重要性质：

对角互补。

也就是说：

∠A + ∠C = 180°∠B + ∠D = 180°

为什么？

因为 ∠A 对着弧 BCD，∠C 对着弧 BAD。两条弧合起来是整个圆（360°）。

∠A 是弧 BCD 所对圆心角的一半，∠C 是弧 BAD 所对圆心角的一半。

两个圆心角加起来是 360°，所以 ∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°。

圆内接四边形对角互补——这个结论在解题时经常用到。

七、圆周角定理的三种情况

严格来说，圆周角定理的证明要分三种情况：

情况一：圆心在圆周角的一条边上。（咱们上面证的就是这种）

情况二：圆心在圆周角的内部。

情况三：圆心在圆周角的外部。

三种情况的证明方法类似，都是通过连接半径、构造等腰三角形来证的。初中阶段，记住结论、会用就行，不需要把三种情况都证一遍。

八、实战：用圆周角定理解题

例1： 圆 O 中，AB 是直径，C 是圆上一点，∠ABC = 30°，求 ∠BAC。

解：

因为 AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。

在 △ABC 中：

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠BAC + 30° + 90° = 180°

∠BAC = 60°

例2： 圆 O 中，∠AOB = 80°，C 是圆上一点（不与 A、B 重合），求 ∠ACB。

解：

∠ACB 是圆周角，对着弧 AB。∠AOB 是圆心角，也对着弧 AB。

所以 ∠ACB = ½ ∠AOB = ½ × 80° = 40°。

注意： 如果 C 在弧 AB 的另一侧（优弧上），那 ∠ACB 对着的是另一条弧（劣弧），答案会变成 180° - 40° = 140°。

所以圆周角定理要注意“对着哪条弧”。同一条弦，两侧的圆周角互补。

例3： 圆内接四边形 ABCD 中，∠A = 70°，求 ∠C。

解：

圆内接四边形对角互补：

∠A + ∠C = 180°

70° + ∠C = 180°

∠C = 110°

九、圆周角定理和圆心角定理的对比

讲到这里，咱们把圆周角定理彻底讲清楚了：

好，圆周角定理讲完了。圆里的角和弧的关系，基本搞清楚了。

下一个问题：直线和圆有几种位置关系？

这三种关系里，“相切”最重要——它引出了圆的切线性质、切线长定理，还有三角形的内切圆。

下一课，咱们就讲直线和圆的位置关系，重点是切线。

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