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专题24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】.....................................................................2
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】.................................................................................................5
【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9
【题型4 翻折中的圆周角的运用】........................................................................................................................13
【题型5 利用圆周角求最值】................................................................................................................................18
【题型6 圆周角中的证明】....................................................................................................................................22
【题型7 圆周角中的多结论问题】........................................................................................................................28
【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】...........................................................................32
【题型9 圆周角与量角器的综合运用】................................................................................................................37
【题型10 利用圆周角求取值范围】........................................................................................................................40
【知识点1 圆周角定理及其推论】
圆
周
角
定
理
定理：圆周角的度数等于它
所对的弧的圆心角度
数的一半
是
所对的圆心角，
是
所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆
周角相等
和
都是
所对的圆周
角
推论2：直径所对的圆周角是
直角，
的圆周
角所对的弦是直径
是
的直径
是
所对的圆周角
是
所对的圆周角
是
的直径
C
B
A
O
D
C
B
A
O
C
B
A
O
【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】
【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD 是⊙O 的直径，⊙O 上的两点A，B 分别在直径CD 的两侧，
且∠ABC＝78°，则∠AOD 的度数为（ ）
A．12°
B．22°
C．24°
D．44°
【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC 是⊙O 的两条弦，OD⊥AB 于点D，OE⊥AC 于点E，连结
OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC 的度数为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．130°
【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（ ）
A．100°
B．70°
C．55°
D．65°
【变式1-3】（2022 春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD 为⊙O 的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，
CD＝4，则⊙O 的半径为（ ）
A．2√5
B．2√7
C．2√15
3
D．2√21
3
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C、D 在圆上，CE⊥AB 于点E，若∠D＝48°，
则∠1＝（ ）
A．42°
B．45°
C．48°
D．52°
【变式2-1】（2022•南充）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，OF⊥BC 于点F，∠BOF＝65°，
则∠AOD 为（ ）
A．70°
B．65°
C．50°
D．45°
【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC 为直径的⊙O 交
AB 于点D．E 是⊙O 上一点，且^
CE =^
CD，连接OE．过点E 作EF⊥OE，交AC 的延长线于点F，则
∠F 的度数为（ ）
A．92°
B．108°
C．112°
D．124°
【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O 中，^
AB =^
BC，直径CD⊥AB 于点N，P 是^
AC上一点，则
∠BPD 的度数是 ．
【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】
【例3】（2022•中山市三模）如图，AB 是⊙O 的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC 长等于（ ）
A．4
B．5
C．√3
D．2√3
【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 经过点C，OD⊥AC 交⊙O 于点
D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB 的度数为（ ）
A．32°
B．27°
C．24°
D．18°
【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O 的直径AB 为8，D 为^
AC上的一点，DE⊥AC 于点E，
若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE 的长是（ ）
A．8
5
B．√13−2
C．√3
D．3
2
【变式3-3】（2022 秋•如皋市校级期中）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交
AB 于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC＝2，求⊙O 的半径r；
（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA 的度数．
【题型4 翻折中的圆周角的运用】
【例4】（2022 春•福田区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将^
BC沿BC 翻折交AB
于点D，再将^
BD沿AB 翻折交BC 于点E．若^
BE =^
DE，则∠BCD 的度数是（ ）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
【变式4-1】（2022 秋•萧山区期中）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC
翻折交AB 于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC 的度数为（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．70°
【变式4-2】（2022 秋•硚口区期末）如图，AB 为⊙O 的一条弦，C 为⊙O 上一点，OC∥AB．将劣弧AB
沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB 交AC 于点D．若D 为翻折后弧AB 的中点，则∠ABC＝（ ）
A．110°
B．112.5°
C．115°
D．117.5°
【变式4-3】（2022 秋•丹江口市期中）已知⊙O 的直径AB 长为10，弦CD⊥AB，将⊙O 沿CD 翻折，翻
折后点B 的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（ ）
A．4√5
B．2√5或4√5
C．2√5
D．2√5或4√3
【题型5 利用圆周角求最值】
【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB
的中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN＝2，则△PMN 周长的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC 中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D 是边BC 上的
一个动点，以AD 为直径画⊙O，分别交AB、AC 于点E、F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为
．
【变式5-2】（2022 秋•大连期末）如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，点C 在⊙O 上，∠CAB＝30°，D 为
^
BC的中点，E 是直径AB 上一动点，则CE+DE 最小值为（ ）
A．1
B．√2
C．√3
D．2
【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD 中，AB= 3
2
，BC＝AB2，E 为射线BA 上一动点，
连接CE 交以BE 为直径的圆于点H，则线段DH 长度的最小值为 ．
【题型6 圆周角中的证明】
【例6】（2022 秋•定陶区期末）如图1．在⊙O 中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E 在劣弧^
AC上运动，连接
EC，BE，交AC 于点F．
（1）求∠E 的度数；
（2）当点E 运动到使BE⊥AC 时，连接AO 并延长，交BE 于点D，交BC 于点G，交⊙O 于点M，依
据题意在备用图中画出图形．并证明：G 为DM 的中点．
【变式6-1】（2022 春•金山区校级月考）已知CD 为⊙O 的直径，A、B 为⊙O 上两点，点C 为劣弧AB 中
点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．
（1）求证：∠D＝30°；
（2）F、G 分别为线段CD、AC 上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG 中点H，连接CH，请
猜测AF 与CH 之间的数量关系，并证明．
【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C，AE，BE 分别平分∠BAC 和
∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点D，连接BD．
（1）判断△BDE 的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC 的长．
【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了
解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：
从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的
弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即ABC 是圆的一条折弦），BC＞AB．M 是弧ABC 的中点，则从M
向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD＝AB+BD．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB 上从C 点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，
MC，MN．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作MH⊥AB 于点H，连接MA，MB，MC．
任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．
（2）就图3 证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．
【题型7 圆周角中的多结论问题】
【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，^
AC =^
CD =^
DB，点E 是点D
关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数
是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式7-1】（2022 秋•淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D 在⊙O 上，AB＝CD，下列结论：
①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．
其中正确的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式7-2】（2022 秋•厦门期末）在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D．要使得
⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是
．（写出所有正确答案的序号）
①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BD＞1
2
AB；④1
2
AB＜DE＜√2
2
AB．
【变式7-3】（2022 秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与
BC，OC 分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF
＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是 ．（填序号）
【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】
【例8】（2022 春•杏花岭区校级月考）如图，A，B 两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C 在y
轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C 的坐标为（ ）
A．（0，7）
B．（0，2√10）
C．（0，6）
D．（0，3√5）
【变式8-1】（2022 秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则
∠ADC＝ °．
【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC 是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC 边上的高
为h，则h 的取值范围是 ．
【变式8-3】（2022 春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝
60°，∠C＝105°，点E 为BC 的中点，以CE 为弦作圆，设该圆与四边形ABCD 的一边的交点为P，若
∠CPE＝30°，则EP 的长为 ．
【题型9 圆周角与量角器的综合运用】
【例9】（2022•南召县模拟）以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 按如图方式摆放，量角器的0 刻
度线与斜边AB 重合．点D 为斜边AB 上一点，作射线CD 交弧AB 于点E，如果点E 所对应的读数为
50°，那么∠BDE 的大小为（ ）
A．100°
B．110°
C．115°
D．130°
【变式9-1】（2022 秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O 在半圆圆心上，
点B 在半圆上，边AB，AO 分别交半圆于点C，D，点B，C，D 对应的读数分别为160°、72°、50°，则
∠A＝ ．
【变式9-2】（2022 秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径重合，点D 对
应的刻度值为50°，则∠BCD 的度数为 ．
【变式9-3】（2022 秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0
刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP 与量角器的
半圆弧交于点E，则第20 秒点E 在量角器上对应的读数是 °．
【题型10 利用圆周角求取值范围】
【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB 是⊙O 的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P 是线段OD
上的动点，点P 不与O，D 重合，连接PA．设∠PAB＝β，则β 的取值范围是 ．
【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O 是以AC 为直径的半圆的圆心，点B 在^
AC上，∠ACB＝30°，
AC＝2．点D 是直径AC 上一动点（与点A，C 不重合），记OD 的长为m．连接BD，点A 关于BD 的
对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，^
BC围成的封闭图形内部时（不包含边界），m 的
取值范围是 ．
【变式10-2】（2022 秋•台州期中）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 的优弧ACB 上的一个动
点（不与A，B 不重合），
（1）设∠ACB 的平分线与劣弧AB 交于点P，试猜想点P 劣弧AB 上的位置是否会随点C 的运动而变化？
请说明理由
（2）如图②，设AB＝8，⊙O 的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP 的面积是否为定值？若是
定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP 的面积的取值范围．
【变式10-3】（2022 秋•高新区校级期末）如图，A、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与
A、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A、B 的滑动角．若⊙O 的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB
的取值范围为 ．
