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圆
[时间：90 分钟 分值：120 分]
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
1．如图1，半径为10 的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( A )
A．6 B．8 C．10 D．12
图1
图2
2．如图2，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠C＝36°，则∠A 的度数为( D )
A．36° B．56° C．72° D．144°
3．如图3 所示，正三角形ABC 内接于圆O，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则
∠BPC 等于( B )
A．30° B．60° C．90° D．45°
【解析】 本题考查正三角形与圆周角的性质，由△ABC 为正三角形得∠CAB＝60°，由圆周角
的性质得∠BPC＝∠BAC＝60°.
图3
图4
4．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( B )
A．16 cm 或6 cm B．3 cm 或8 cm
C．3 cm D．8 cm
5．如图4，⊙O 内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，
DF，∠EDF 等于( B )
A．45° B．55° C．65° D．70°
6．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5 所示，AB＝8 m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD 约为( B )
图5
A．2.0 m B．2.3 m
C．4.6 m D．6.9 m
【解析】 在Rt△ACD 中，∵∠CAD＝3 0°，∴CD＝AC，∴AC＝2CD.设CD＝x m，则AC＝2x
m，AD＝＝＝x.∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝×8＝4(m)，∴x＝4，x＝≈2.3，故选B.
7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图6 所示)，那么B 点从开始
至结束所经过的路径长度为( B )
A. B.
C．4 D．2＋
【解析】 B 点经过的路径长度是两条弧长之和，这两条弧所对的圆心角都为120°，所在圆的
半径为1，即2×＝π，选B.
图6
图7
8．如图7 所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为( A )
A.－ B.－2
C.－ D.
9．如图8，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，∠CDB＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的
延长线于点E，则∠E 等于( B )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
图8
图9
10．如图9，PA，PB 切⊙O 于点A，B，PA＝10，CD 切⊙O 于点E，交PA，PB 于C，D 两点，则
△PCD 的周长是( C )
A．10 B．18 C．20 D．22
二、填空题(每小题4 分，共24 分)
11．如图10 所示，AB 是⊙O 的直径，点C，D，E 都在⊙O 上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B
＝__135°__.
【解析】 因为AB 是直径，∠D＝∠E，所以AC＝BC，且它们的度数为90°，又∠C＝∠D，所以
DE的度数也为90°，所以∠A 与∠B 所对弧的度数和为180°＋90°＝270°，故∠A＋∠B＝
135°.
图10
图11
12．如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B＝40°，则∠ACD 的度数是__50°__．
13．如图12，⊙O 的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O
的最短距离是__3__cm__．
图12
第13 题答图
【解析】 P 到圆心O 的最短距离即为O 到AB 的垂线段的长，此时OP⊥AB 于P，OP＝＝＝
3(cm)．
图13
14．如图13，⊙O 的两条弦AB，CD 互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则
⊙O 的半径是____．
【解析】 如图，连接OA，OD，过O 作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F，G，AB＝CD＝CE＋
DE＝1＋3＝4，所以DG＝AF＝2，OF＝EG＝3－2＝1，所以OA＝＝＝.
图14
15．如图14，CB 切⊙O 于点B，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD上异于点
A、D 的一点．若∠C＝40°，则∠E 的度数为__40°__．
16.
图15
如图15，△ABC 的三个顶点都在5×5 的网格(每个小正方形的边长均为1 个单位长度)的格点
上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部
分的面积约是__7.2__．(π≈3.14，结果精确到0.1)
【解析】 由题意可得，AB＝A′B＝＝，
∠ABA′＝90°，
S 扇形BAA′＝＝，
S△BA′C′＝BC′×A′C′＝3，
则S 阴影＝S 扇形BAA′－S△BA′C′＝－3≈7.2
故答案为7.2.
三、解答题(共66 分)
17．(8 分)如图16，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，
另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽．
图16
解：过点O 作OM⊥DE 于点M，连接OD，
则DM＝DE.
∵DE＝8 cm，∴DM＝4 cm.
在Rt△ODM 中，∵OD＝OC＝5 cm，
∴OM＝＝＝3(cm)，
∴直尺的宽度为3 cm.
18．(9 分)如图17，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A，D 为⊙O 上一点，AD 与OC
相交于点E，且∠DAB＝∠C.求证：OC∥BD.
图17
证明：∵AC 与⊙O 相切，
∴AC⊥AB，∴∠DAB＋∠CAE＝90°.
∵∠DAB＝∠C，∴∠C＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，即OC⊥AD.
又∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AD，∴OC∥BD.
19．(9 分)如图18，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O，交⊙O 于点C，直线BD 与⊙O 相切，
∠DAB＝30°.
(1)求∠B 的度数；
(2)连接CD，若CD＝5，求AB 的长．
图18 第19 题答图
解：(1)连接OD，
∵直线BD 与⊙O 相切，∴∠ODB＝90°，
∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°；
(2)连接CD，∠COD＝∠OAD＋∠ODA＝30°＋30°＝60°，
又OC＝OD∴△OCD 是等边三角形，
即：OC＝OD＝CD＝5＝OA，
∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，∴OB＝10，
∴AB＝AO＋OB＝5＋10＝15.
20．(10 分)如图19，在△ABC 中，AB＝BC，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D.点E 为⊙O 上一
点．连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F，连接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.
解答下列问题．
(1)求证：直线FB 是⊙O 的切线；
(2)若BE＝ cm，则AC＝________cm.
图19
解：(1)∵AB 为⊙O 直径，
∴∠AEB＝90°.
则在Rt△ABE 中，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°.
∴∠ADE＝∠ABE＝30°.
∴∠FDC＝∠ADE＝30°.
∴∠ACB＝∠FDC＋∠F＝30°＋15°＝45°.
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝90°.
∴AB⊥BC，又 ∵AB 为⊙O 直径，
∴直线FB 是⊙O 的切线；
(2)2.
21．(10 分)如图20 所示，△ABC 内接于⊙O，点D 在OC 的延长线上，∠B＝30°，∠D＝30°.
图20
(1)求证：AD 是⊙O 的切线；
(2)若AC＝6，求AD 的长．
【解析】 (1)点A 在⊙O 上，连接OA，只需证明DA⊥OA 即可．(2)由已知得∠AOC＝2∠B＝
60°，即△AOC 为等边三角形，故AO＝AC.在Rt△AOD 中，由∠D＝30°，求AD 长．
解：(1)证明：如图所示，连接OA.
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.
∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，
∴OA⊥AD，∴AD 是⊙O 的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC 是等边三角形，∴OA＝AC＝6.
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝12，
∴AD＝＝＝6.
22．(10 分)已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点A，B，连接AB.
(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小；
①
②
图21
(2)如图②，过点B 作BD⊥AC 于点E，交⊙O 于点D，若BD＝MA，求∠AMB 的大小．
解：(1)∵MA 切⊙O 于点A，∴∠MAC＝90°.
又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.
∵MA，MB 分别切⊙O 于点A，B，
∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.
(2)如图，连接AD.
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA.又BD＝MA，
∴四边形MADB 是平行四边形．
∵MA＝MB，∴四边形MADB 是菱形，
∴AD＝BD.
又AC 为直径，BD⊥AC，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD 是等边三角形，∴∠D＝60°，
∴在菱形MADB 中，∠AMB＝∠D＝60°.
23．(10 分)[2013·锦州]如图22，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点D，过点C
作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE 与⊙O 相切；
(2)设OE 交⊙O 于点F，若DF＝1，BC＝2，求由劣弧BC，线段CE 和BE 所围成的图形面积S.
图22
解：(1)连接OC.
∵OC＝OB，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOD.
又∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△OCE≌△OBE.
∴∠OCE＝∠OBE.
∵CE 切⊙O 于点C，
∴OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∴∠OBE＝90°.
∴OB⊥BE.
∴BE 与⊙O 相切．
(2)设⊙O 的半径长为r，则OD＝r－1，OB＝r.
∵OC＝OB，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×2＝.
在Rt△OBD 中，由勾股定理得(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2.
∴OD＝1，OB＝2.
∴∠BOD＝60°.
在Rt△OBE 中，BE＝2.
∴S△OBE＝×OB×BE＝×2×2＝2.
∵△OCE≌△OBE，
∴S△OCE＝S△OBE＝2.
∴S 四边形OBEC＝4.
∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°.
∴S 扇形OBC＝·π·22＝π.
∴S＝S 四边形OBEC－S 扇形OBC＝4－π＝.
