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点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系 [见B 本P42]
1．若⊙O 的半径为4 cm，点A 到圆心O 的距离为3 cm，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A
)
A．点A 在圆内 B．点A 在圆上
C．点A 在圆外 D．不能确定
【解析】 d＝3 cm＜4 cm＝r，所以点A 在⊙O 内．
2．已知⊙O 的半径为5 cm，P 为⊙O 外一点，则OP 的长可能是( D )
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm
3．矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝3，点P 在边AB 上，且BP＝3AP，如果圆P 是以点P 为圆心，
PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )
A．点B，C 均在圆P 外
B．点B 在圆P 外，点C 在圆P 内
C．点B 在圆P 内，点C 在圆P 外
D．点B，C 均在圆P 内
【解析】 如图所示．
因为AP＝AB＝×8＝2，AD＝BC＝3，
所以PD＝＝＝7，
PB＝8－2＝6，
所以PC＝＝＝9.
因为PB＜PD＜PC，
所以点B 在圆P 内，点C 在圆P 外，故选C.
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图24－2－1 所示，为配到与原来大
小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
【解析】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知所带的碎片必须含有圆弧的部分，只
有②符合．
图24－2－1
图24－2－2
5．如图24－2－2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝110°，则∠C 的度数为( A )
A．55° B．70° C．60° D．45°
6．[2012·攀枝花]下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解析】 ∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；
如图，AB＝AE，但∠C 和∠D 不相等，∴②是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，∴③是真命
题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，
∴④是真命题．
7．在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC 外接圆的
圆心坐标是( D )
A．(2，3) B．(3，2)
C．(1，3) D．(3，1)
【解析】 作弦AB，AC 的垂直平分线，交点即为圆心．
8．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
9．已知⊙O 的半径为10 cm，点P 到圆心的距离为d cm，
(1)当d＝8 cm 时，点P 在⊙O__内__；
(2)当d＝10 cm 时，点P 在⊙O__上__；
(3)当d＝12 cm 时，点P 在⊙O__外__．
10．图24－2－3 中，△ABC 的外接圆的圆心坐标是__(5
，
2 ) __．
图24－2－3
【解析】 分别作BC，AB 的垂直平分线，交点坐标即为所求．
11．已知线段AB＝6 cm.
(1)画半径为4 cm 的圆，使它经过A，B 两点，这样的圆能画__2__个；
(2)画半径为3 cm 的圆，使它经过A，B 两点，这样的圆能画__1__个；
(3)画半径为2 cm 的圆，使它经过A，B 两点，这样的圆能画__0__个．
图24－2－4
12．如图24－2－4，△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，AC＝10 cm，CD 为中线，以C 为圆心，
以 cm 为半径作圆，则点A，B，D 与⊙C 的位置关系如何？
【解析】 要确定点A，B，D 与⊙C 的位置关系，需计算出这些点与点C 的距离，再与⊙C 的半
径作比较即可．
解：∵△ABC 为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴AB＝＝＝5(cm)．
∵CD 为斜边上的中线，
∴CD＝AB＝ cm.∵CA＝10 cm＞ cm，
∴点A 在⊙C 外；而CB＝5 cm＜ cm，
∴点B 在⊙C 内；
又CD＝ cm，∴点D 在⊙C 上．
13．直角三角形的两边长分别为16 和12，则此三角形的外接圆半径是__10
或
8 ______．
【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16 时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边
长分别为16 和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上
所述：这个三角形的外接圆半径等于8 或10.
14．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．
【解析】 根据反证法的一般步骤来证明．
解：如图所示，已知AB，CD 是⊙O 内的两条非直径弦，且AB 与CD 相交于点P.
求证：AB 与CD 不能互相平分．
证明：假设AB 与CD 能互相平分，则点P 既是AB 的中点，也是CD 的中点，连接OP.
由垂径定理可知：OP⊥AB，OP⊥CD.
这表明过直线OP 上一点P，有两条直线AB，CD 与之垂直，这与“过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立，即AB 与CD 不能互相平分．
图24－2－5
15．如图24－2－5，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC 的平分线交
AD 于点E，连接BD，CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B，E，C 三点是否在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，并说明理由．
解：(1)证明：∵AD 为直径，AD⊥BC，
∴BD＝CD.∴BD＝CD.
(2)B，E，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．
理由：由(1)知BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.又∵BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．
16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC，求证：
△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，于是∠A
＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以△ABC 中至
少有一个内角小于或等于60°.
17．如图24－2－6 所示，⊙O 的半径为2，弦BD＝2，A 为BD的中点，E 为弦AC 的中点且在
BD 上，求四边形ABCD 的面积．
图24－2－6
第17 题答图
解：如图所示，连接OA，OB，设OA 交BD 于F.
∵A 为BD的中点，∴FO⊥BD，
∴BF＝DF＝BD＝.
∵OB＝2，∴OF＝1，∴AF＝1，
∴S△ABD＝BD·AF＝×2×1＝.
∵AE＝CE，∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△CBE，
∴S△ABD＝S△BCD，∴S 四边形ABCD＝2S△ABD＝2.
