初中数学专栏 · 第 1 期 · 01.1 有理数的有关概念 · 附讲义有理数就这 3 关: 认正负、分好家、看懂那个 0

适合 七上 / 小升初衔接 / 中考一轮复习 · 附学生版＋教师版 Word 讲义 · 阅读约 10 分钟

本期导读：有理数是初中数学的第一块砖，中考不会单独考大题，但它出现在每一道计算题的第一步——符号看错、分类记混，后面全错。今天这 3 关：认正负（实际意义）、分好家（两种分类）、看懂 0，把这块砖放正。

先看地图：这一节就 3 块拼图

▲ 本节知识地图

怎么用这张图：考试里 90% 的错，都栽在"0 到底算哪一类"和"π 是不是有理数"上。把右下角那张 0 的身份卡记牢，问题就少一半。

知识点 1｜正数与负数：用符号表示相反意义的量

核心概念：

• 正数
  ：大于 0 的数（如 3、0.5、＋8），正号可以省略不写。
• 负数
  ：小于 0 的数（如 －3、－0.5），负号必须写，不能省。
• 相反意义的量
  ：收入与支出、上升与下降、零上与零下、向东与向西——一对词就能配一对正负数。

为什么重要：正负数是从"算术"走进"代数"的第一步：它让减法永远做得通，也让数轴有了左右。

例题 1容易（2024·云南中考改编）如果零上 6℃ 记作 ＋6℃，那么零下 4℃ 记作＿＿＿；如果收入 50 元记作 ＋50 元，那么支出 30 元记作＿＿＿。

▲ 例题 1 示意图：以 0 为界分正负

【解析】 零下 4℃ 记作 －4℃；支出 30 元记作 －30 元。

【点评】 这类题的唯一动作是"找基准"：零上为正、收入为正，基准都是 0。基准一确定，符号自然出来。

例题 2中等（2024·湖北武汉中考改编）化简下列各数，并判断其中负数的个数：－(－3)、－|－5|、＋(－2)、－[－(－4)]、0。

▲ 例题 2 示意图

【解析】 －(－3)＝3；－|－5|＝－5；＋(－2)＝－2；－[－(－4)]＝－(4)＝－4；0 既不是正数也不是负数。
所以负数有 －5、－2、－4，共 3 个。

【点评】 多重符号由内向外一层层剥：先算绝对值或最内层括号，再定最外层符号。负号个数为奇数时结果为负，偶数为正。

例题 3困难（2024·山东青岛中考改编）某零件内径的标准尺寸为 25 mm，允许误差为 ±0.03 mm。抽检 4 件，测得内径与标准尺寸的差（单位：mm）分别为 ＋0.02、－0.04、＋0.01、－0.02。①哪几件合格？②哪一件最接近标准尺寸？

▲ 例题 3 示意图

【解析】 ①允许范围是 25－0.03≤内径≤25＋0.03，即差值在 －0.03 与 ＋0.03 之间：＋0.02、＋0.01、－0.02 合格，－0.04 超出范围不合格，故第 1、3、4 件合格。
②比较偏差绝对值：0.01＜0.02＜0.04，绝对值最小的是 ＋0.01，所以第 3 件最接近标准尺寸。

【点评】 把"误差 ±0.03"翻译成"差值落在 －0.03～＋0.03 内"，是正负数实际意义的核心考法；"最接近"看的是偏差的绝对值，不是数值大小。

知识点 2｜有理数的两种分类与 0 的身份

核心概念：

• 按定义分
  ：有理数 = 整数（正整数、0、负整数）＋ 分数（正分数、负分数）。
• 按符号分
  ：有理数 = 正有理数 ＋ 0 ＋ 负有理数。
• 铁律
  ：同一道题只能用一种分法，两种混着分一定重复或漏项。

为什么重要：分类题在中考里以选择、填空出现，属于"会就会、不会就丢"的送分题；但分类不清，后面的绝对值化简、不等式解集都会跟着乱。

例题 4容易（2023·湖南长沙中考改编）在 －0.5、0、1.414、π/2、－8 中，有理数有几个？把它们写出来。

▲ 例题 4 示意图

【解析】 －0.5 是负分数，0 是整数，1.414 是有限小数（可化成分数），－8 是负整数，这 4 个都是有理数；π/2 是无限不循环小数，不是有理数。所以有理数有 4 个：－0.5、0、1.414、－8。

【点评】 判断有理数只看"能不能写成分数"：有限小数、无限循环小数都算；带 π 的、开方开不尽的、按规律不循环的都不算。

例题 5中等（2023·山东济南中考改编）把 －3.14、0、22/7、－5、0.333…（循环）、π 中的有理数挑出来，并按"整数／分数"分类。

▲ 有理数分类树（两种分法只能选一种用）

【解析】 有理数：－3.14、0、22/7、－5、0.333…；其中整数是 0、－5，分数是 －3.14、22/7、0.333…。π 不是有理数。

【点评】 三个考点一次踩全：① 有限小数、无限循环小数都能写成分数，所以是有理数；② 22/7 看着"不像分数"，其实就是分数；③ π 是无限不循环小数，属于无理数。

例题 6困难（2025·浙江温州中考改编）一列数按 1、－2、3、－4、5、－6、…排列（第 n 个数的绝对值是 n，正负交替出现）。①写出第 2026 个数；②求这列数前 2026 个数的和。

▲ 例题 6 示意图

【解析】 ①偶数位上取负，第 2026 个数是 －2026；②两两配对：(1－2)＋(3－4)＋…＋(2025－2026)，共 1013 组，每组都是 －1，所以和为 1013×(－1)＝－1013。

【点评】 难点在"成对处理"：2026 个数恰好配成 1013 对，每对和为 －1。长数列求和先看能否两两配对，硬加必错。判断"第 n 个数"的符号，用 n 的奇偶性。

方法总结表：一张表带走本节

易错点自查

易错点自查

• ✕ 把 π、0.1010010001… 当成有理数
  ✓ 无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数才是有理数
• ✕ 认为 0 既不是整数也不是有理数
  ✓ 0 是整数，也是有理数，只是不分正负

3 分钟自测

3 分钟自测

1. 1. 如果向东走 5 m 记作 ＋5 m，那么 －8 m 表示什么？
2. 2. －7 的相反数、绝对值分别是多少？
3. 3. 在 －2、0、3.5、－1/2 中，哪个是非负整数？

答案速查：1. 向西走 8 m；2. 7 和 7；3. 0

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✍️ 写在最后

有理数这一节，看着只是"认认符号"，其实在训练一件更重要的能力：给每个数定位——它是正是负、在哪一类、离 0 多远。这套"定位"的动作，后面会变成数轴、绝对值、坐标系，一直长到函数图象。

下一期走进 01.2 数轴：三个要素，把"数"画成"图"，从此比较大小不用背法则，看位置就行。关键词将在下期文章发布时公布，敬请追更。

本文为原创讲义，例题选自近三年各地中考真题及经典题型（已标注来源），示意图为原创绘制。欢迎转发给需要的同学，转载请联系授权。