2026深圳中学凤凰木杯数学竞赛试题

第13 题

整系数多项式 f(x)，若整数 r 是根，则 f(r)=0。对任意整数 m，m−r∣f(m)−f(r)=f(m)。设整数根为 r1,r2,…,rk，则对 m=2026：(2026−r1)(2026−r2)…(2026−rk)∣f(2026)=2025，2025=34×52，其整数因子个数：正负因子共 (4+1)(2+1)×2=30，但互不相同整数因子最多有多少个？2025 分解互不相同整数因子：±1,±3,±5,±9,±15,±25,±27,±45,±75,±135,±225,±405,±675,±2025共 28 个不同整数因子；但乘积整除 2025，每个因子绝对值≥1，互不相同非零整数相乘，最多能取几个互不相同整数因子相乘整除 2025，最小绝对值互不相同非零整数：±1,±3,±5，乘积绝对值 15；再9 乘积 135；再加 ±15 乘积 2025；再加任何数绝对值 > 2025，乘积超过 2025，无法整除。最多互不相同因子：1,−1,3,−3,5,−5 共 6 个，乘积 225|2025；再加 9 乘积 2025，共 8 个；再加 ±15 乘积超 2025。验证：2025 最多能写成7个互不相同非零整数的乘积，故至多7个不同整数根。答案：7