圆的面积
教材第65、第66 页的内容。
1.使学生理解圆的面积计算公式的推导过程,掌握求圆的面积的方法并能正确计算。
2.培养学生运用转化的思想解决问题的能力。
重点:掌握圆的面积的计算公式,能够正确地计算圆的面积。
难点:理解圆的面积计算公式的推导过程。
实物投影,各种图形的纸片。
1.我们学过哪些平面图形的面积计算公式?
2.长方形、平行四边形和三角形的面积计算公式分别是什么?
3.平行四边形的面积计算公式是如何推导的?
小结:平行四边形面积计算公式的推导,给我们提供了一种研究平面图形面积计算公式的
方法,即把所学的图形进行分割、拼摆,转化成学过的图形,用旧知识解决新问题。今天,我们
还要用转化的思想研究圆的面积。
1.明确圆的面积的概念。
(1)老师出示一个圆,提问:谁能联系我们学过的图形的面积说一说圆的面积是什么?
学生回答,老师归纳:圆所围成的平面的大小叫作圆的面积。
(2)圆的大小是由什么决定的?
(3)展示由“曲”变“直”的渐变图。
引导学生观察圆周曲线的变化情况。把圆等分的份数越多,圆周曲线就越直,当我们继续
分下去……圆周曲线就变成一条近似的直线段了,用这样的小块拼摆的图形就更近似于我们
学过的图形。
2.学生动手操作,推导圆的面积计算公式。
为了研究方便,我们把圆等分成16 份,其中的每一份都近似于等腰三角形。它们的底是
多少?(
C
16)
高是多少?(r)
(1)指导学生动手摆学具,并思考几个问题:
你摆的是什么图形?
你摆的图形的面积与圆的面积有什么关系?
所摆图形的各部分相当于圆的什么?
你如何推导出圆的面积计算公式?
(2)学生动手摆学具,然后发言。
拼成长方形:
老师说明:分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就越接近一个长方形。
出示教材第65 页的图加以说明。
拼成的近似长方形的长和宽与圆的各部分有什么关系?
从图中可以看出圆的半径是r,长方形的长是πr,宽是r。
长方形的面积=长×宽
↓ ↓ ↓
圆的面积=πr× r=πr2
如果用S 表示圆的面积,那么圆的面积计算公式就是S=πr2。
3.利用公式计算圆的面积。
出示例1:圆形草坪的直径是20m,每平方米草皮8 元。铺满这个草坪需要多少元?
指名读题,让学生试做,提醒学生不用写公式,直接列算式就可以。
板书: 20÷2=10(m)
3.14×102
=3.14×100
=314(m2)
314×8=2512(元)
答:铺满这个草坪需要2512 元。
老师强调:列出算式后,要先算半径的平方,再与π 相乘。
圆 的 面 积
长方形的面积=长×宽
↓ ↓ ↓
圆的面积=πr×r=πr2
20÷2=10(m)
3.14×102
=3.14×100
=314(m2)
314×8=2512(元)
答:铺满这个草坪需要2512 元。
1.在教学实践中贯穿“转化”的思想方法。这是一种基本的数学思想和方法。
2.学生已有利用割补、拼组等方法,将多边形转化成已学的图形来求面积的经验。
3.注意区分圆面积计算公式和周长计算公式,有时学生易混淆。
这部分内容是在学生初步认识了圆,学习了圆的周长,以及学过几种常见直线几何图形的
面积的基础上进行教学的。学生从学习直线图形的面积,到学习曲线图形的面积,不论是内容
本身还是研究方法,都是一次质的飞跃。学生掌握了圆面积的计算方法,不仅能解决简单的实
际问题,也为以后学习圆柱、圆锥的知识打下基础。学生已经有了平面几何图形的相关知识,
知道运用转化的思想研究新的图形的面积。在操作中将圆转化成长方形,从中找到圆的面积
与半径、直径的关系,总结出圆的面积计算公式。
1.通过实际情境,学生一方面了解了圆的面积的含义,另一方面体会到在实际生活中计算
圆面积的必要性。
2.教学时,强调知识迁移的过程。
平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式推导过程是学生知识迁移的基础,这一环节
的设计既能勾起学生对已有知识的回忆,又能启发学生运用转化的思想解决数学问题。
3.组织学生观察猜想。
先观察再猜想的方法既培养了学生的空间想象力,又发展了学生的逻辑推理能力。
圆环的面积
教材第66 页的内容。
1.使学生进一步掌握求圆的面积的方法,学会求圆环的面积的计算方法。
2.培养学生主动研究、解决问题的能力。
求圆环的面积的计算方法。
实物投影,圆环纸片。
1.什么是圆的面积?圆的面积计算公式是什么?
2.求下面各圆的面积。
1.出示例2。
光盘的银色部分是一个圆环,内圆半径是2 cm,外圆半径是6 cm。圆环的面积是多少?
(1)指名读题。
(2)出示光盘图。
提问:光盘的面积是什么图形的面积?求光盘的面积是求哪部分的面积?怎样求光盘的面
积?
学生回答:光盘的面积是圆环的面积,求光盘的面积就是求圆环的面积。
老师拿出事先做好的教具,演示圆环形成的过程,左手拿着教具,右手把内圆向后推掉,成
为一个圆环,让学生认真观察演示过程,明确从外圆的面积中减去内圆的面积就得到圆环的面
积。
板书:圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
让学生说一说外圆的半径是多少,外圆的面积怎样求,内圆的半径是多少,内圆的面积怎
样求。
2.学生列综合算式解答。
老师巡视,了解学生列算式的情况。
板书:
3.14×62-3.14×22 或 3.14×(62-22)
=113.04-12.56
=3.14×32
=100.48(cm2) =100.48(cm2)
答:圆环的面积是100.48cm2。
3.比较两种方法。
大部分学生用的是第一种方法,即外圆的面积减去内圆的面积。如果有学生用的是第二
种方法,老师要予以表扬。这些学生联系以前学习的乘法分配律,使计算简便。
老师归纳出第二种方法的计算公式:
S 环=π(R2-r2)
其中,R 是外圆半径,r 是内圆半径。
圆环的面积
圆环是指两个半径不相等的圆,当圆心重合时的这两个圆之间的部分。
注意:任何一个圆环,已知内圆直径和环宽,求外圆直径,应用内圆直径加两个
环宽;已知外圆直径和环宽,求内圆直径,应用外圆直径减两个环宽。
圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
3.14×62-3.14×22或 3.14×(62-22)
=113.04-12.56 =3.14×32
=100.48(cm2) =100.48(cm2)
答:圆环的面积是100.48 cm2。
S 环=π(R2-r2)
R 是外圆半径,r 是内圆半径。
1.部分学生对圆环的认识已有生活经验,但对于它的形成过程缺少理性思考。
2.学生已经学习了圆的面积及应用。
3.部分学生通过学习圆的周长和面积初步形成了转化思想。
这节课是在学生学习了圆的面积及应用之后进行教学的,主要是学习有关圆的组合图形
的面积及应用。教材通过对直观的组合图形面积的计算,帮助学生建立模型,进而利用刚建立
的模型解决生活中的实际问题。对于圆环的认识,学生已有生活经验,但对于它的形成过程缺
少理性思考。学生计算直观的圆环面积应该没有太大问题,但缺少以此作为数学模型并用此
模型解决实际问题的经验。
1.在教学中,以学生原有的知识为基础,搭桥铺路,以旧带新。
“温故而知新”的导入方法是我们经常用到的,要找准新旧知识的连接点,并因情况而异
采用不同的方式。
2.让学生充分参与探究圆环的形成过程。
在这个过程中教师应该充分相信学生的能力,热情鼓励学生的探索活动,给予学生充足的
时间和思维空间。最大限度地发展学生的观察能力、思考能力和探究能力,增强学生学习数
学的兴趣,培养学生实践能力和运用能力。
圆与正方形的关系及圆的面积练习课
教材第67~72 页的内容。
1.通过练习,理解和掌握圆的周长和圆的面积的计算公式,能够正确地计算圆的周长和圆
的面积。
2.进一步培养学生的空间观念。
正确计算圆的周长和圆的面积。
实物投影。
1.口答:分别说出1~9 的平方值。
2.指名回答有关圆的定义。
3.默写圆的周长和圆的面积的计算公式。
4.完成下面的练习。
(1)一个圆的周长是18.84 cm。这个圆的面积是多少平方厘米?
板演:18.84÷3.14÷2=3(cm)
3.14×32=3.14×9=28.26(cm2)
(2)一个圆环形花坛的外圆半径是5 m,内圆半径是2 m。它的面积是多少平方米?
板演:3.14×(52-22)=3.14×21=65.94(m2)
1.出示例3。
(1)老师读题,帮助学生理解题意。
题中两个图都是由一个正方形和一个圆组成的,通过探索它们之间的关系,研究正方形和
圆的面积关系。
(2)分析问题。
老师:图中的两个圆的半径都是多少?(1 m)
左图求的是正方形比圆多的面积,右图求的是圆比正方形多的面积。
左图中正方形的边长就是圆的直径。右图中正方形的边长小于圆的直径。
(3)解决问题。
小组讨论解决方法并汇报。
由题知左图中正方形的边长就是圆的直径。
从图(1)可以看出:
2×2=4(m2)
3.14×12=3.14(m2)
4-3.14=0.86(m2)
右图中的正方形可以分成两个相同的三角形,它们的底和高分别是圆的直径和半径。
从图(2)可以看出:
(
1
2 ×2×1)
×2=2(m2)
3.14-2=1.14(m2)
答:左图中正方形与圆之间部分的面积是0.86m2,右图中圆与正方形之间部分的面积是
1.14m2。
(4)拓展探究。
老师:如果两个圆的半径都是r。
左图:(2r)2-3.14×r2=0.86r2
右图:3.14×r2-(
1
2 ×2r ×r)
×2=1.14r2
当r=1 m 时,和上面的结果完全一致。
(5)老师引导学生总结圆与正方形的关系。
总结:正方形里面有一个最大的圆,则正方形的边长就是圆的直径。圆里有一个最大的正
方形,则圆的直径是把正方形分成两个相同的等腰直角三角形后,等腰直角三角形的底。
2.完成教材第69 页练习十五的第1 题。
学生先独立完成,再集体订正。订正时让学生说出计算的过程。如第一行,要能说出已知
半径求直径,用d=2r 计算出直径是4×2=8(cm);已知半径求面积,用S=πr2求出面积是
3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)。
3.完成教材第69 页练习十五的第2 题。
(1)学生独立完成。
(2)集体订正答案。
(3)老师在巡视过程中检查学生有没有把圆的面积计算公式和圆的周长计算公式混淆,检
查学生的书写格式对不对,写没写单位名称。
4.完成教材第69 页练习十五的第3 题。
(1)学生读题,说出题意。
(2)说说求喷灌的面积就是求什么。(求圆的面积)
自动旋转喷灌装置的射程是10m,指的是什么?(圆的半径)
(3)学生独立完成计算过程。
板书:3.14×102=3.14×100=314(m2)
5.完成教材第70 页练习十五的第10 题。
(1)学生读题。
(2)分小组讨论怎样计算这个运动场的周长和面积。
(3)点拨学生可以把两个半圆合并成一个整圆计算它的周长和面积。
周长:2×3.14×32+100×2=400.96(m) 面积:3.14×322+32×2×100=9615.36(m2)
6.指导学生完成教材第72 页的第18*(1)题。
(1)学生读题,说出题意。
(2)给学生提供充分的探索时间和空间,让学生分小组亲自探索,做好记录。
(3)学生发言,教师点拨。
围成正方形:31.4÷4=7.85(m) 7.85×7.85=61.6225(m2)
围成圆:31.4÷3.14÷2=5(m) 3.14×52=78.5(m2)
78.5>61.6225。除正方形、圆外,还可以围成长方形、三角形、梯形……但无论怎样围,
围成的图形面积都不会大于围成的圆的面积。
因此,当周长一定时,围成圆的面积最大。
