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2026 年苏州市初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共27 小题，满分130 分，考试时间120 分钟；
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5 毫米黑色墨水签字笔
填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置
上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸
上一律无效．
一、选择题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上
．．．．．．．．．．．
1.
2
−的相反数为（ ）
A. 2
B.
2
−
C. 1
2
D.
1
2
−
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果.
【详解】解：2
−的相反数是2 .
2. 根据苏州市统计局公报显示，截止2025 年末，苏州市常住人口约1305 万人，比上年末增长0.5% ，
常住人口城镇化率达82.9% ，比上年提高0.2 个百分点．数据“13050000 ”用科学记数法可表示为
（ ）
A.
6
1.305 10
B.
6
13.05 10
C.
7
1.305 10
D.
7
13.05 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为
10n
a
，其中1
10
a
，n 为整
数，确定a 和n 的值即可求解．
【详解】解：数据“13050000”用科学记数法可表示为
7
1.305 10
．
3. 下列硬纸片可以沿虚线
．．．折叠成长方体纸盒的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：选项A，C，D 都不能折叠成长方体盒子，选项B 可以折叠成长方体盒子．
4. 一组数据2 ，m ，3 ，3 ，5 的平均数为3 ，则m 的值为（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于m 的一元一次方程，解方程即可得到
结果．
【详解】解：∵ 这组数据共5 个，平均数为3 ，
∴ 这组数据的总和为 5 3
15
=
，
可得方程 2
3 3 5 15
m
+
+ + + =
，
化简得 13
15
m
+
=
，
解得
2
m =
．
5. 如图，ABC
中，
55
A
=
，
65
ACB
=
，延长BC 至D，过C 作CE
AB
，则
DCE
的度数是
（ ）
A. 50
B. 55
C. 60
D. 65
【答案】C
【解析】
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【分析】根据平行线的性质求出
55
ACE
=
，然后根据
180
DCE
ACB
ACE
=
−
−
求解即可.
【详解】解：∵
55
A
=
，CE
AB
，
∴
55
ACE
A
= =
，
又
65
ACB
=
，
∴
180
60
DCE
ACB
ACE
=
−
−
=
.
6. 若
(
)(
)
2
(
4)
1
x
x
m
x
n
+
−=
+
+
，其中m
n
，则m
n
−
的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合m
n
得到m 和n 的值，即可
计算出m
n
−
的结果．
【详解】解：
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
(
4)
1
[
4
1]
4
1
3
5
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
+
+
=
+
+
又∵(
)(
)
(
)(
)
3
5
x
x
x
m
x
n
+
+
=
+
+
，且m
n
，
∴
5
m =
，
3
n =
，
∴
5 3
2
m
n
−
= −=
．
7. 《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀
一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5 只雀，6 只燕，将雀
和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1 只雀和1 只燕互换位置，则二
者轻重相同．已知5 只雀和6 只燕总重1 斤（注：中国古代1 斤
16
=
两）．则1 只雀和1 只燕分别重多
少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y 两，根据题意，可列出的方程组为（ ）
A.
4
5
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
B.
5
6
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
C.
4
5
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
D.
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
【答案】A
【解析】
【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重量为x 两，每只燕重量为y 两
∵5 只雀和6 只燕总重1 斤，且1 斤=16 两，
∴可得方程5
6
16
x
y
+
=
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将1 只雀和1 只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4 只雀加1 只燕，另一边为5 只燕加1 只雀，
∴可得方程 4
5
x
y
y
x
+
=
+
,
因此可列方程组为4
5
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
．
8. 如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
，
2
BC =
，E 是AB 边上的动点（点E 在A，B 之间运动，不与A，
B 重合），过E 作CE 的垂线交AD边于点F，则AE
AF
+
的最大值是（ ）
A. 21
8
B. 3
C. 25
8
D. 27
8
【答案】C
【解析】
【分析】设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
−
−
=
=
，然后证明
AEF
BCE
∽
，表示出
(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
−
−
=
=
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
A
B
= =
∵CE
EF
⊥
∴
90
AEF
BCE
BEC
−
=
=
∴AEF
BCE
∽
∴AF
AE
BE
BC
=
∴3
2
AF
x
x
−
=
∴
(
)
3
2
x
x
AF
−
=
∴
(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，
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∵
1
0
2
−
，0
3
x
，
∴当
5
5
2
1
2
2
2
x
−
=
=
−
时，AE
AF
+
取得最大值，
将
5
2
x =
代入
2
1
5
2
2
AE
AF
x
x
−
+
=
+
得，(
)max
1
25
5
5
25
2
4
2
2
8
AE
AF
−
+
=
+
=
．
二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．把答案直接填在答题卡相对应的位置
．．．．．．．．．
上．．
9. 若
3
x−
有意义，则x 的取值范围是_____．
【答案】
3
x
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x 的一元一次不等式，求解即可得到x
的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．
3
x−
有意义，
∴
3
0
x−
．
解得
3
x
．
10. 点
(
)
2,
P
a
−
在一次函数
2
1
y
x
=
+ 的图像上，则a 的值为_________．
【答案】3
−
【解析】
【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点P 的横坐标代入函数解析式即可求出a
的值．
【详解】解：点
(
)
2,
P
a
−
在一次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象上，
将
2
x = −代入
2
1
y
x
=
+ ，得
(
)
2
2
1
4 1
3
a =
−
+ = −+ = −．
11. 一只不透明的袋子中装有4 个白球、3 个黄球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸
出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出
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红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n 为正整数即可求解．
【详解】解：白球数量为4 ，黄球数量为3，红球数量为n，
要使摸出红球的可能性最小，需满足
3
n
，
又n 是正整数，
n 的值为1 或2（答案填写一个即可）．
12. 若2
2
0
x
y
+
+
=
，则代数式
1
3
2
x
y
+
+
的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题先对已知等式变形，得到
1
2
x
y
+
的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值．
【详解】解：2
2
0
x
y
+
+
=
可得：2
2
x
y
+
= −
等式两边同乘1
2
得：
1
1
2
x
y
+
= −
将
1
1
2
x
y
+
= −代入
1
3
2
x
y
+
+
得：
原式
1 3
2
= −+ =
．
13. 如图，Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
6
BC =
，分别以点A，B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画
弧，两弧相交于点D ，E ．过D ，E 两点作直线，分别交AB ，AC 于点F ，G ，连接CF ．若
5
CF =
，则AG = _________．
【答案】25
4
【解析】
【分析】连接BG ，由作图可得DE 是AB 的垂直平分线，则点F 是AB 的中点，AG
BG
=
．根据直角
三角形斜边上中线的性质得到
2
10
AB
CF
=
=
，由勾股定理求出AC ，AG
BG
x
=
=
，在Rt BCG
中根
据勾股定理构造方程，求解即可．
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【详解】解：连接BG ，
由作图可得DE 是AB 的垂直平分线，
∴点F 是AB 的中点，AG
BG
=
，
∵
90
ACB
=
，
5
CF =
，
∴
2
10
AB
CF
=
=
，
∴在Rt ABC
中，
2
2
2
2
10
6
8
AC
AB
BC
−
=
=
−
=
．
设AG
BG
x
=
=
，则
8
CG
AC
AG
x
−
−
=
=
，
∵在Rt BCG
中，
2
2
2
BC
CG
BG
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
8
x
x
−
+
=
，
解得
25
4
x =
∴
25
4
AG =
．
14. 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓
意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由
ABC ，线段CD ，
DE ，EA四部分构成，AE ，CD分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点B 到地面的距离为21
分米，
3
AE
CD
=
=
分米，
12
DE =
分米，则
ABC 所在圆的半径为_________分米．
【答案】10
【解析】
【分析】连接AC ，过点B 作BH
DE
⊥
于点H，交AC 于点F，设
ABC 所在圆的圆心为点O，连接
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CO，则
21
BH =
，
3
FH
CD
=
=
，
12
AC
DE
=
=
，BF
AC
⊥
，设
O
的半径为r，则
CO
BO
r
=
=
，
18
OF
r
−
=
，根据垂径定理求出CF ，进而在Rt COF
中根据勾股定理构造方程，求
解即可．
【详解】解：连接AC ，过点B 作BH
DE
⊥
于点H，交AC 于点F，设
ABC 所在圆的圆心为点O，连
接CO，
由题意可得
21
BH =
，四边形ACDE ，四边形AFHE 都是矩形，
∴
3
FH
CD
=
=
，
12
AC
DE
=
=
，BF
AC
⊥
，
设
O
的半径为r，则CO
BO
r
=
=
，
∴
21
3 18
OF
BH
BO
FH
r
r
−
−
−−
−
=
=
=
，
∵BF 过圆心O，且BF
AC
⊥
，
∴
1
1 12
6
2
2
CF
AC
=
=
=
，
∵在Rt COF
中，
2
2
2
CF
OF
CO
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
18
r
r
−
+
=
，解得
10
r =
，
∴
ABC 所在
O
的半径为10 分米．
15. 如图，关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ 的图像为抛物线C ，直线y
a
=
与抛物线C 交于A，
B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ．若四边形
ABNM 为正方形，则a =_________．
【答案】5
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【解析】
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出
1,
2
a
B m
a
−
+
，然后代入抛物
线的表达式解方程即可．
【详解】解：
(
)
2
2
2
2
1
1
y
x
mx
m
x
m
−
=
−
+
+ =
+ ，
∴顶点为(
)
,1
m
，
∵四边形ABNM 为正方形，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A，B 分别作l 的垂线，垂足为
M ，N ，
∴
1
AB
NB
a−
=
=
，
,
A B 关于抛物线的对称轴对称，
∴
1,
2
a
B m
a
−
+
，
将点
1,
2
a
B m
a
−
+
代入
(
)
2
1
y
x
m
−
=
+ ，则
2
1
1
2
a
m
m
a
−−
+
+ =
，
整理得，
2
6
5
0
a
a
−
+
=
，
解得
1
5
a =
，
2
1
a = （舍），
∴
5
a =
．
16. 如图，在等边ABC
中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，
2
AB =
．将ADE
沿DE 翻折得到
ADE
，若点A恰好落在边BC 上，则线段AD长度的最小值为_________．
【答案】4 3
6
−
## 6
4 3
−+
【解析】
【分析】过点D 作DH
BC
⊥
于点H，则
90
BHD
=
．设AD
x
=
，则
2
BD
AB
AD
x
−
−
=
=
，
3
sin
3
2
DH
BD
B
x
=
=
−
，根据AD
DH
列出不等式，求解即可．
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【详解】解：过点D 作DH
BC
⊥
于点H，则
90
BHD
=
．
设AD
x
=
，则
2
BD
AB
AD
x
−
−
=
=
，
由折叠可得A D
AD
x
=
=
，
∵ABC
是等边三角形，
∴
60
B
=
，
∴在Rt BDH
中，
(
)
3
sin
2
sin60
3
2
DH
BD
B
x
x
−
=
=
=
−
，
∵在Rt A DH
中，AD
DH
，
∴
3
3
2
x
x
−
，解得
4 3
6
x
−
，
∴
4 3
6
AD
−
，
∴AD的最小值为4 3
6
−
．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上
．．．．．．．．．．，解答时应
写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：
0
(π
1)
9
5
−
+
+ −
．
【答案】9
【解析】
【详解】解：原式1 3 5
= + +
9.
=
18. 解不等式组：
2
1
3
5
1
1
2
3
6
x
x
x
x
−
−
+
−
【答案】2
4
x
−
【解析】
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【详解】解：解不等式2
1
3
5
x
x
−
−
，得
4
x
．
解不等式
1
1
2
3
6
x
x
+ −
，得
2
x
−
．
∴不等式组的解集是2
4
x
−
．
19. 先化简，再求值：
2
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
+
−
+
−
，其中
3
x =
．
【答案】
2
x
x
−
；6
【解析】
【详解】解：原式
(
)(
)
(
)
2
(
1)
1
1
1
1
x
x
x
x x
−
=
+
−
+
(
)(
)
(
)
2
(
1)
1
1
1
x
x x
x
x
−
=
+
+
−
2
x
x
=
−
当
3
x =
时，原式
2
3
3
6
=
−
=
．
20. 为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场
青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：
项目
主题
A
红色光影—革命事迹
影展
B
红色工坊—袖章主题
手作
C
红色出发—重走红色
五卅
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D
红色讲述—苏州解放
故事
甲、乙两位同学分别从A、B、C、D 四个项目中任意选择一个项目参加．
（1）甲同学选择项目C 的概率为_________；
（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）1
4
（2）1
4
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求
解．
【小问1 详解】
解： 甲同学选择项目C 的概率为1
4
；
【小问2 详解】
解：列表如下：
甲
乙
A
B
C
D
A
(
)
,
A A
(
)
,
A B
(
)
,
A C
(
)
,
A D
B
(
)
,
B A
(
)
,
B B
(
)
,
B C
(
)
,
B D
C
(
)
,
C A
(
)
,
C B
(
)
,
C C
(
)
,
C D
D
(
)
,
D A
(
)
,
D B
(
)
,
D C
(
)
,
D D
∴共有16 种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有4 种，
∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为4
1
16
4
=
．
21. 如图，在
ABCD
中，点E，F 分别是边AD，BC 的中点．
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（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若
60
ABC
=
，
4
AB =
，
6
BC =
，求BFDE
的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
=
，AD
BC
．
∵点
,
E F 分别是边
,
AD BC 的中点，
1
1
,
2
2
DE
AD BF
BC
=
=
．
DE
BF
=
．
∵DE
BF
，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）6 3
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AD
BC
=
，AD
BC
，再根据中点的定义得出DE
BF
=
，即可证
明四边形BFDE是平行四边形；
（2）过A作AG
BC
⊥
，垂足为G ．通过解直角三角形求出AG ，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：过A作AG
BC
⊥
，垂足为G ．
∵在Rt ABG
中，
60 ,
4
ABC
AB
=
=
，
∴
sin
4 sin60
2 3
AG
AB
ABC
=
=
=
，
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∵
1
1
6
3
2
2
BF
BC
=
=
=
，
∴
3 2 3
6 3
BFDE
S
BF AG
=
=
=
．
22. 某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对
调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
课外阅读一周累计时长统计表
组别
累计时长（单位：
分）
人数
A
0
60
t
8
B
60
120
t
12
C
120
180
t
25
D
180
240
t
m
E
240
t
6
课外阅读一周累计时长扇形统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）上述图表中，m = _________，n =_________；
（2）在扇形统计图中，“C 组”所对应的扇形的圆心角为_________°；
（3）若该校八年级学生一共有1020 人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120 分钟的学生人
数．
【答案】（1）9，10
（2）150 （3）680 人
【解析】
【分析】（1）将B 组人数除以其百分比，得到本次调查的总人数，将总人数减去已知其他各组的人数，即
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可求出m 的值，将E 组人数除以总人数，即可求出n 的值；
（2）将C 组人数所占比例乘以360，即可解答；
（3）将全校人数乘以调查的学生中一周累计时长超过120 分钟的学生比例，即可解答．
【小问1 详解】
解：本次调查的总人数为12 20%
60
=
（人），
D 组的人数
60 8 12
25 6
9
m =
−−
−
−=
，
E 组所占百分比为6 60 100%
10%
=
，即
10
n =
．
【小问2 详解】
解：“C 组”所对应的扇形的圆心角为25 360
150
60
=
．
【小问3 详解】
解：
25
9
6
2
1020
1020
680
60
3
+ +
=
=
（人），
答：估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120 分钟的学生有680 人．
23. 如图，一次函数y
ax
b
=
+
的图像经过点(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，点P 在一次函数的图像上，过点P 分
别作x 轴和y 轴的平行线交反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图像于M，N 两点，连接MN ．
（1）求a，b 的值；
（2）若PMN
是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
【答案】（1）
1
2
a =
，
2
b =
（2）点P 的坐标为(
)
4,4 ，
4
k =
【解析】
【分析】（1）将点
(
)
(
)
4,0 ,
0,2
A
B
−
代入一次函数y
ax
b
=
+
，即可求解；
（2）解：设点P 的坐标为
1
,
2
2
t
t
+
，根据PMN
是腰长为3 的等腰直角三角形得到点M 的坐标为
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1
3,
2
2
t
t
−
+
，点N 的坐标为
1
,
1
2
t
t−
，把它们代入反比例函数
k
y
x
=
，即可求出t 的值，进而得到
点P 的坐标与k 的值．
【小问1 详解】
解：一次函数y
ax
b
=
+
的图像经过点
(
)
(
)
4,0 ,
0,2
A
B
−
，
4
0
2
a
b
b
−
+
=
=
，
．
，解得
1
2
2
a
b
=
=
．
【小问2 详解】
解：由（1）有
1
2
a =
，
2
b =
，
∴一次函数为
1
2
2
y
x
=
+
，
∵点P 在一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图像上，
∴设点P 的坐标为
1
,
2
2
t
t
+
．
PMN
是腰长为3 的等腰直角三角形，
3
PM
PN
=
=
，
∴点M 的坐标为
1
3,
2
2
t
t
−
+
，点N 的坐标为
1
,
1
2
t
t−
．
∵点M
N
，
在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图像上，
(
) 1
1
3
2
1
2
2
k
t
t
t
t
−
−
=
+
=
．
解得
4
t =
．
∴点P 的坐标为(
)
4,4 ，点M 的坐标为(
)
1 4
，．
4
k
=
．
24. 如图①，点O 位于竖直墙面l 上，平面镜AB 与墙面l 平行，从点O 射出一束激光，经过平面镜AB 的
反射，在墙面l 上形成一个光点C ，OC 所在直线垂直于水平面．入射光线OP 与平面镜AB 的夹角
60
OPA
=
．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
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（1）求证：OPC
是等边三角形；
（2）如图②，将图①中的平面镜AB 绕点P 顺时针旋转7.5到A B
位置，入射光线OP 经过平面镜的
反射后，在墙面l 上形成光点E ，点E 在直线OC 上．
①
OPE
=_________°；
②若
60
OC =
厘米，求光点向下移动的距离CE 的长．（结果保留根号）
【答案】（1）
证明：
60
OPA
=
，
∴根据光的反射定律可知
60
BPC
OPA
=
=
．
180
60
OPC
OPA
BPC
−
−
=
=
．
∵
//
AB l ，
60
POC
OPA
=
=
．
OPC
是等边三角形；
（2）①75 ②CE 的长为(
)
30 3
30
−
厘米
【解析】
【分析】(1)首先根据光的反射原理得到
60
BPC
APO
=
=
，然后，再由平角的定义得
60
OPC
=
，再由平行线的性质得
60
POC
OPA
=
=
即可证的结论；
(2)①首先根据题意及光的反射原理得到
7.5
52.5
EPB
OPA
OPA
=
=
−
=
，再根据平角的定义得
到
75
OPE
=
；
②过点P 作PF
OE
⊥
于F，首先，根据已知条件得到
15
CPE
=
，然后，再证得
1
30
2
CPF
OPC
=
=
，
1
30
2
CF
OC
=
=
(厘米)，进而证得EPF
是等腰直角三角形，得
PF
EF
=
，再由
CPF
的余弦值得到PF 的长，最后，由CE
EF
CF
=
−
可得结果．
【小问1 详解】
略
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【小问2 详解】
①解：∵
60
OPA
=
，平面镜AB 绕点P 顺时针旋转7.5到A B
位置，
∴根据光的反射定律可知
7.5
52.5
EPB
OPA
OPA
=
=
−
=
，
∴
180
75
OPE
EPB
OPA
=
−
−
=
；
②解：如图②，过点P 作PF
OE
⊥
于F，
由(1)知
60
OPC
=
，由①知
75
OPE
=
，
∴
15
CPE
OPE
OPC
=
−
=
．
由(1)知OPC
是等边三角形，又知
60
OC =
厘米，
∴
60
OP
CP
OC
=
=
=
(厘米)，
又∵PF
OE
⊥
，
∴
1
30
2
CPF
OPC
=
=
，
1
30
2
CF
OC
=
=
(厘米)，
∴
45
EPF
CPF
CPE
=
+
=
，
∴EPF
是等腰直角三角形，
∴PF
EF
=
，
在Rt CPF
中，cos
PF
CPF
CP
=
，
∴
3
cos
60 cos30
60
30 3
2
EF
PF
CP
CPF
=
=
=
=
=
(厘米)，
∴
30 3
30
CE
EF
CF
=
−
=
−
(厘米)，即光点向下移动的距离CE 的长为(
)
30 3
30
−
厘米．
25. 如图，P 是以AB 为直径的
O
外一点，C 为
O
上的一点，PA 是
O
的切线，BC
OP
，D 为
OB 的中点，连接DP交OC 于E ．
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（1）求证：PC 是
O
的切线；
（2）若
2
OA =
，
4
PA=
．
①求BC 的长；
②求tan PEC
的值．
【答案】（1）证明：
PA
为
O
的切线，
PA
OA
⊥
，
∴
90
PAO
=
，
∵BC
OP
，
∴
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
．
∵OB
OC
=
，
∴
B
OCB
=
，
∴
AOP
COP
=
．
∵在AOP
和COP
中，
OA
OC
AOP
COP
OP
OP
=
=
=
∴
(
)
AOP
COP SAS
≌
，
∴
90
PCO
PAO
=
=
．
OC
是
O
的半径，
PC
为
O
的切线．
（2）
4
5
5
BC =
①
；②
24
tan
7
PEC
=
【解析】
【分析】（1 ）由PA 为
O
的切线，得到
90
PAO
=
．根据平行线的性质得到
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
，结合
B
OCB
=
，得到
AOP
COP
=
，从而证明
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(
)
AOP
COP SAS
≌
，因此
90
PCO
PAO
=
=
，即可得证结论；
（2）①连接AC ，通过解直角三角形得到
5
cos
5
AO
AOP
OP
=
=
，因此
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
，由
AB 是
O
的直径得到
90
ACB
=
，在Rt ABC
中解直角三角形即可求解；
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
OF
CF
OC
=
=
= ，根据AOP
COP
≌
得到
4
PA
PC
=
=
，根据三角形中位线的性质得到DF
BC
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．证明DEF
PEO
∽
，
得出
1
5
EF
DF
OE
OP
=
=
，进而可求出CE ，从而在Rt PCE
中，根据正切的定义即可求解；
方法二：过点D 作DG
OC
，交PO的延长线于点G ．证明ODG
BOC
∽
，根据相似三角形的对应边
成比例求出
,
OG DG ，进而求出PG ．再证明POE
PGD
∽
，求出OE ，即可求出CE ，从而在
Rt PCE
中，根据正切的定义即可求解．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：①连接AC ．
∵在Rt APO
中，
2
OA =
，
4
PA=
，
∴
2
2
2 5
OP
OA
PA
=
+
=
，
2
5
cos
5
2 5
AO
AOP
OP
=
=
=
．
∵
B
AOP
=
，
∴
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
AB
是
O
的直径，
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∴
2
4
AB
OA
=
=
，
90
ACB
=
．
∴
5
4 5
cos
4
5
5
BC
AB
B
=
=
=
．
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
1
2
2
OF
CF
OC
=
=
=
=
．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∵点
,
D F 分别为
,
OB OC 的中点，
DF
是OBC
的中位线，
∴DF
BC
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．
∵BC
OP
，
∴DF
OP
，
∴DEF
PEO
∽
，
∴
2 5
1
5
5
2 5
EF
DF
OE
OP
=
=
=
，
∴
1
1
6
6
EF
FO
=
=
，
7
6
CE
EF
CF
=
+
=
．
∴在Rt PCE
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
方法二：过点D 作DG
OC
，交PO的延长线于点G ．
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ODG
BOC
=
．
∵BC
OP
，
∴
GOD
B
=
，
∴ODG
BOC
∽
，
∴
1
2
OG
DG
OD
BC
OC
BO
=
=
=
∴
1
2
1
5,
1
2
5
2
OG
BC
DG
OC
=
=
=
= ，
∴
2 5
12 5
2 5
5
5
PG
PO
OG
=
+
=
+
=
．
∵DG
OC
，
∴POE
PGD
∽
，
∴PO
OE
PG
DG
=
，即
2 5
12
1
5
5
OE
=
，
∴
5
6
OE =
，
∴
5
7
2
6
6
CE
OC
OE
−
=
=
−
=
．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∴在Rt PCE
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
26. 如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C 的绿灯持续时间为40
秒，红灯持续时间为40 秒；路口B 的绿灯持续时间为30 秒，红灯持续时间为30 秒．各路口红绿灯随时
间t （秒）的变化情况如图②所示，例如当
10
t =
时，路口A 为绿灯，路口B 为红灯，路口C 为绿
灯．已知路口A 到路口B，C 的距离分别为600 米和1000 米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略
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不计）
请根据上述信息，解决下列问题：
（1）甲驾驶汽车在道路上以15 米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即
0
t =
）通过A 路口，
请判断其是否能不停车通过B 路口，并说明理由；
（2）乙驾驶汽车在道路上以速度v （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10 秒时（即
10
t =
）通过A
路口，若其能在100 秒前（含100 秒，即
100
t
）不停车连续通过B，C 两个路口，求其行驶速度v 的
取值范围；
（3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v （米/秒），使得该车在0
20
秒内（含0 秒和20 秒）任意
时刻通过A 路口后，都能在180 秒前（含180 秒，即
180
t
）不停车连续通过B，C 两个路口．若存
在，请直接写出
．．．．v 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）
【答案】（1）能不停车通过B 路口，理由如下：
甲到达B 路口的时间是600 15
40
=
（秒），
由图②可知，路口B 处于绿灯状态，
∴甲驾驶汽车能不停车通过B 路口；
（2）12
20
v
（3）25
20
4
3
v
或
50
15
3
v
【解析】
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【分析】（1）求出甲到达B 路口的时间，根据图②判断即可；
（2）设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为s，要使其在100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求
汽车在30 秒到60 秒之间通过B 路口，60 秒到100 秒之间通过C 路口，据此列出不等式组，求解即可；
（3）分汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口；和在B 路口第2 个
绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为s，
∴
(
)
10
s
v t
=
−
．
∵要使其在100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求汽车在30 秒到60 秒之间通过B 路口，60
秒到100 秒之间通过C 路口，
∴
(
)
(
)
30 10
600
60 10
600
v
v
−
−
，且
(
)
(
)
60 10
1000
100 10
1000
v
v
−
−
，
解得12
30
v
且100
20
9
v
，
∴满足条件的行驶速度v 的取值范围为12
20
v
；
【小问3 详解】
解：当汽车在0 秒时经过A 路口，且在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路
口，则
30
600
60
600
60
1000
100
1000
v
v
v
v
，解得
50
10
3
v
；
当汽车在20 秒时经过A 路口，且在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路
口，则
(
)
(
)
(
)
(
)
30
20
600
60
20
600
60
20
1000
100
20
1000
v
v
v
v
−
−
−
−
，解得15
25
v
；
∴汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，速度v 应满足
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50
15
3
v
．
当汽车在0 秒时经过A 路口，且在B 路口第2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，
则
90
600
120
600
140
1000
180
1000
v
v
v
v
，解得
20
5
3
v
；
当汽车在20 秒时经过A 路口，且在B 路口第2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路
口，则
(
)
(
)
(
)
(
)
90
20
600
120
20
600
140
20
1000
180
20
1000
v
v
v
v
−
−
−
−
，解得25
25
4
3
v
；
∴汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，速度v 应满足
25
20
4
3
v
．
综上所述，v 的取值范围为25
20
4
3
v
或
50
15
3
v
．
27. 将一个二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
与一个一次函数y
mx
n
=
+
求和，可以得到一个新的二次函数
(
)
(
)
2
y
ax
b
m x
c
n
=
+
+
+
+
，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸
收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
（1）若二次函数
2
y
x
=
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x 轴的交点坐标为
(
)
2,0
−
，(
)
4,0 ，求m，n 的值；
（2）已知二次函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与
2
2
3
y
x
x−
=
+
的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数y
mx
n
=
+
的图像交于A，B 两点．当ABM
的
面积为4 时，求m 的值．
【答案】（1）
2,
8
m
n
−
−
=
=
（2）①
1
n
−
；②
1
2
3
4
2 2,
2 2,
2 6,
2 6
m
m
m
m
−
−
=
=
=
=
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【解析】
【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把(
)
2,0
−
，(
)
4,0 代入求解即可；
（2）①先求出
2
2
3
y
x
x−
=
+
的最小值为4
−，根据吸收函数定义写出表达式为
(
)
2
2
3
y
x
m
x
n−
=
+
+
+
，根据二次函数的性质得出(
)
2
4
3
(
2)
4
4
n
m
−
−
−
+
=
，化简得
2
(
2)
1
4
m
n
+
=
−，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可；
②过点M 作y 轴平行线l 交AB 于点N ，过点
,
A B 分别作l 的垂线段，垂足为
,
C D ．联立吸收函数表达
式和一次函数表达式，并化简得出
2
2
3
0
x
x−
+
=
，解方程求出A、B 两点的横坐标分别是
1
1
3.
B
x
x
−
=
=
､
则
4
A
B
x
x
−
=
，根据M 为“吸收函数”的顶点，得出
2
2
M
N
m
x
x
−
+
=
=
，根据可求出
2
1
4
4
MN
m
=
−
，结合ABM
的面积为4 得出
2
1
8
4
2 m
−
=
，即可求解．
【小问1 详解】
解：由题意，吸收函数的表达式为
2
y
x
mx
n
=
+
+
．
根据题意，得
4
2
0
16
4
0
m
n
m
n
−
+
=
+
+
=
，
解得
2
8
m
n
= −
= −
；
【小问2 详解】
解：①
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
−
=
+
=
+
−
，
2
2
3
y
x
x−
=
+
的最小值为4
−．
由题意，吸收函数的表达式为
(
)
2
2
3
y
x
m
x
n−
=
+
+
+
．
根据题意，得(
)
2
4
3
(
2)
4
4
n
m
−
−
−
+
=
．
2
(
2)
1
4
m
n
+
=
−，
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(
)
2
2
0
m+
，
(
)
2
2
1
1
4
m+
−−，即
1
n −，
m
为一次函数的系数即
0
m
，
考虑到当
0
m =
时，
(
)
2
0
2
1
0
4
n
+
=
−=
，
但当
4
m = −时，
(
)
2
4
2
1
0
4
n
−+
=
−=
，
故
0
n =
可取，
综上所述，
1
n
−
；
②如图，过点M 作y 轴平行线l 交AB 于点N ，过点
,
A B 分别作l 的垂线段，垂足为
,
C D ．
根据题意，列出方程组为
(
)
2
2
3
y
x
m
x
n
y
mx
n
=
+
+
+
−
=
+
①，
②．
把②代入①得：
(
)
2
2
3
mx
n
x
m
x
n−
+
=
+
+
+
，
即
2
2
3
0
x
x−
+
=
．
解得
1
2
1,
3
x
x
−
=
=
．
∴点
,
A B 的横坐标分别是
1
1
3.
B
x
x
−
=
=
､
4
A
B
x
x
−
=
，
M
为“吸收函数”的顶点，
2
2
M
N
m
x
x
−
+
=
=
，
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(
)
(
)
2
2
2
3
2
3
N
M
N
M
M
M
M
MN
y
y
mx
n
x
m
x
n
x
x
−
=
−
=
+
−
+
+
+
= −
−
+
．
2
2
2
2
1
2
3
4
2
2
4
m
m
MN
m
+
+
= −−
−
−
+
=
−
．
ABM
的面积
2
2
1
1
1
1
4
4
8
2
2
4
2
A
B
MN x
x
m
m
=
−
=
−
=
−
．
ABM
的面积为4 ，
2
1
8
4
2 m
−
=
，
解得
1
2
3
4
2 2,
2 2,
2 6,
2 6
m
m
m
m
−
−
=
=
=
=
．
