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二〇二六年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷
考生注意：
1．考试时间120 分钟．
2．全卷共三道大题，总分120 分．
3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置．
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3 分，满分30 分）
1. 月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上
，夜间平均温度零下
．若将零上
记作
，则零下
可记作（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，根据题干对零上温度的记法，即可推出零下温度的记法．
【详解】∵题干规定零上温度记作正数，
∴与零上意义相反的零下温度记作负数，
∴零下
可记作
．
2. 运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运
动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
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3. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算各选项，即可判断结果．
【详解】解：选项A：
，A 计算正确；
选项B：
，B 计算错误；
选项C：
，C 计算错误；
选项D：
，D 计算错误．
4. 如图，一块含
角的直角三角板的两个顶点分别在直线
和
上，若直线
，
，则
的
度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出
，再由平行线的性质得出
，结
合图形即可求解
【详解】解：如图所示：
，
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
5. 如图是由7 个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】它的俯视图如图所示：
6. 如果关于
的分式方程
的解为正数，那么实数
的取值范围是（ ）
A.
且
B.
且
C.
D.
且
【答案】A
【解析】
【分析】先解分式方程得到
关于
的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求
解即可得到
的取值范围．
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【详解】解：原方程
，变形得
，
方程两边同乘
得：
，
展开整理得：
，
∵分式方程分母不能为0，
∴
，即
，解得
，
∵方程的解是正数，∴
，即
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
且
．
7. 将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相
同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记
的词语都为“热爱”的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果．
【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2 种等可能的结果，
∴两次摸球共有
种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，
奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1 种，
∴根据概率公式可得，所求概率为
．
8. 5 月18 日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3 元，乙种文创
纪念品每个5 元．某游客欲将60 元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案
有（ ）
A. 3 种
B. 4 种
C. 5 种
D. 6 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程，再结合正整数和两种都买的条件，找出所有符合要求的购买方案.
【详解】解：设购买甲种文创
个，乙种文创
个，
均为正整数，
根据题意得
，
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整理得
，
∵
是正整数，
∴
为整数，
∵
与
互质，
∴
必须是
的倍数，
∵两种纪念品都要买，
∴
，
，
∴
，
解得
，
∴符合题意的整数
的值为
，共3 种，
故有3 种不同的购买方案.
9. 如图，在
中，
，
，
，动点
从点
出发沿边
向终点
匀速运
动，同时动点
从点
出发，沿边
向终点
匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若
，
两点每秒运动的路程相同，点
运动的路程为
，
的面积为
，则下列图象能反映
与
之间函数关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出
的长，分三段讨论：
时，
在
上，
在
上；
时，
在
上，
在
上；
时，
在
上，
到达
点停止．分别求出
与
的函数关
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系式，结合图象即可判断．
【详解】解：在
中，
，
，
，
，
，
．
分三种情况讨论：
①当
时，点
在
上，点
在
上，
，
，
过点
作
于点
，
则
，
，
此时图象为开口向上的抛物线，当
时，
；
②当
时，点
在
上，点
在
上，过点
作
于点
，
，
∴
，
，
此时图象为开口向下的抛物线，当
时，
；当
时，
；
③当
时，点
在
上，点
到达
点停止运动，
此时
（即
变为
），
，
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以
为底，
为高，
，
此时图象为线段， 当
时，
；
当
时，
．
综上所述，图象D 符合题意．
10. 如图所示的是二次函数
（
，
，
为常数，
）的部分图象，其顶点坐标为
，与
轴交于点
，与
轴正半轴交于点
（
）．下列结论：①
；②
；③
；④若点
，
（
）都在抛物线
上，
则
；⑤若
，则关于
的方程
的两根之和为
．其中正确结论的个数是
（ ）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y 轴交点判定
、
、
正负，判断①；利用抛物线对称性得到
，结合
点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称
轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由
推出
，代入抛物线得到
与
、
关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。
【详解】解：由二次函数图象可得：
抛物线开口向下，
；
顶点坐标为
，则对称轴为直线
，
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由对称轴公式
，
整理得
，结合
，得
；
抛物线与
轴交于正半轴，
；
抛物线与
轴正半轴交点
满足
．
，
，
故①错误
根据二次函数轴对称性质：对称轴为
，则
将
代入解析式：
把
代入化简：
，说明直线
在交点
左侧，此位置抛物线图象在
轴上方
，即
故②错误
∵顶点坐标为
，
∴
故③正确
抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．
点
到对称轴
的距离：
点
到对称轴
的距离：
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平方作差比较距离大小：
，
，
即
，得
点
离对称轴更近，
，
故④正确
由
得
，由
得
，
，即
，
将
代入抛物线解析式：
，
设一元二次方程
的两根为
，
由韦达定理：
，
将
代入：
，
故⑤正确
综上所述正确结论一共有3 个．
二、填空题（每小题3 分，满分18 分）
11. 我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过159000 亿亿次/秒．将
159000 用科学记数法表示为__________．
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【答案】
【解析】
【详解】解：
．
12. 若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为
，则其母线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关
系列方程即可求解母线长．
【详解】解：
圆锥底面半径为
，
圆锥的底面周长为
，
设圆锥的母线长为，根据题意得
，
整理得
，
解得
．
13. 如图，在
中，
，以点
为圆心，适当长为半径作弧，交
于点
，交
于点
，分别以
，
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧在
内部交于点
，作射线
交
于点
．若
，
，则
的面积为___________．
【答案】7
【解析】
【分析】过点
作
，由题意可得
，然后进行求解即可．
【详解】解：过点
作
交于点E，如图所示，
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由题可知，
平分
，
又
，
∴
，
∴
．
14. 如图，平面直角坐标系中，矩形
的边
在
轴正半轴上，
是边
的中点，
，点
在边
上，
，反比例函数
（
）的图象经过点
，
．若
，则
的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形性质及
在
轴上，确定
、
平行于
轴，结合
及点
、
的位置关系
求出点
、
的横坐标；设点
的坐标为
，点
的坐标为
，利用反比例函数图象上点的坐标
特征建立等式，再通过解直角三角形利用正切值求出纵坐标之间的关系，联立求解即可得出
的值
【详解】解：
四边形
是矩形，
在
轴正半轴上，
轴，
轴，
轴，
反比例函数
的图象在第二象限，
矩形
在第二象限，
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，
，
∴点
、
的横坐标为
，点
、
的横坐标为
，
是边
的中点，
点
的横坐标为
，
点
在边
上，
，
，
点
的横坐标为
，
设点
的坐标为
，点
的坐标为
，其中
，
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
点
、
在反比例函数
的图象上，
，
，
过点
作
于点
，
点
的坐标为
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
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，
联立
，
解得
，
．
15. 菱形
中，点
是边
的中点，
交直线
于点
．若
，
，则菱形
的边长为__________．
【答案】
或
##
或
【解析】
【分析】本题需分两种情况讨论，点F 在线段
上和点F 在
的延长线上，设菱形边长为未知数，利
用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设菱形
的边长为
，
∴
，
，
点
是
的中点，
，
，
，
，
为平行线
与
之间的距离，即
．
分两种情况讨论：
情况1：点
在线段
上，
过点
作
，交直线
于点
．
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，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
又
，
为直角三角形，
，
在
中，由勾股定理
，得
，
．
情况2：点
在
的延长线上，
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在
中，由勾股定理
，得
，
．
16. 数学活动课上，同学们把底角为
的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行
规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点
在经过原点的直线上，
，点
在
轴正半轴上，
是以
为底边的“友好三角形”，以
为底边向右作“友好三角形
”；过点
作
的平行线，分别交直线和
轴正半轴于点
，
，以
为底边向右作“友好三角形
”；
过点
作
的平行线，分别交直线和
轴正半轴于点
，
，以
为底边向右作“友好三角形
”…按此规律，点
的纵坐标为____________．
【答案】
【解析】
【
分
析
】
如
图
过
点
作
轴
于
点
，
得
出
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，进而可得
，据此规律求
得
，结合题意可得
轴，求得
的纵坐标为
，即可求解．
【详解】解：如图过点
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
∴
∴
，
∵
∴
轴，则
的纵坐标为
∴
同理可得：
，
，
∴
∴
的纵坐标为
，
同理可得
轴，则
的纵坐标为
∵
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∴
，
∴
，同理可得：
，
∴
∴
的纵坐标为
……
∴
的纵坐标为
，
又
轴，则
的纵坐标为
∴点
的纵坐标为
三、解答题（本题共8 道大题，共72 分）
17. 计算、分解因式：
（1）计算：
；
（2）分解因式：
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1 详解】
解：原式
【小问2 详解】
解：原式
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18. 求不等式组
的所有整数解．
【答案】，
，
【解析】
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
满足不等式组的所有整数解是1，2，3．
19. 解方程：
．
【答案】
，
【解析】
【详解】解：
或
，
．
20. 2026 年是长征胜利90 周年．某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为100
分，学生的成绩均高于60 分且为整数．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩（分）
按
，
，
，
四个等级（
：
，
：
，
：
，
：
）
进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取了 名学生的成绩；
（2）扇形统计图中，“
等级”对应的扇形圆心角为 度；
（3）请直接补全条形统计图；
（4）若参加本次竞赛的学生有2700 人，请估计本次竞赛中获得“
等级”的学生约有多少人．
【答案】（1）50 （2）144
（3）
（4）810 人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图中
等级数据信息可求抽取人数；
（2）用
乘以B 等级人数占抽取人数的比值即可；
（3）用抽取总数减去其他三个等级的人数即可；
（4）用本次竞赛学生人数乘以样本中获得
等级的学生占抽取人数的比值即可．
【小问1 详解】
解：由两个统计图中
组数据信息可知，抽取人数为
（人）
【小问2 详解】
解：
；
【小问3 详解】
解：C 组人数：
（人）；
图略
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【小问4 详解】
解：
（人）
答：估计本次竞赛中获得“
等级”的学生约有810 人．
21. 如图，四边形
内接于
，
为
的直径，点
在
的延长线上，且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，
，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接
，
．
，
．
，
，即
．
为
的半径，
是
的切线；
（2）
【解析】
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【分析】
（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到
，结合已知条件得到
，
即
，根据切线的判定可证得结论；
（2）连接
，设
的半径为
，则
，
．在
中，利用勾股
定理求得
，则
．利用特殊角的三角函数值求得
．根据圆周角定理求得
，
，则
，根据含30 度角的直角三角形的性质求得
，然后利用扇形面积公式及
求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：连接
，
设
的半径为
，则
，
．
在
中，
，
，解得
，
．
，
．
．
，
是
的直径，
，
．
．
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．
，
．
∴
．
22. 2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公
司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有
，两地，机器人甲、乙分别从
，两
地同时出发，机器人甲以360 米/分的速度沿测试路匀速跑向
地，到达
地后，立即以
米/分的速度原路
匀速返回；机器人乙以240 米/分的速度沿测试路匀速跑向
地，到达
地后停止运动，机器人乙到达
地
一段时间后，机器人甲也到达
地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离
（米）与机器人甲行进的时间
（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）
，
两地之间的距离为 米，图中
的值为 ；
（2）求线段
所在直线的函数解析式；
（3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600 米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）3600，6
（2）
（3）5 分或7 分或20 分
【解析】
【分析】（1）由图可知
距离为
米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求
出
的值；
（2）由（1）得：
，由题意可知G 点为甲到达B 地的点，根据甲、乙速度得到
，设
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解析式为
，根据待定系数法求解即可；
（3）先求出n 的值，进而分四种情况作答即可．
【小问1 详解】
解：
时，甲乙还未出发，距离就是A、B 两地距离，因此
距离为
米；
甲乙相向而行，速度和为
米/分，
相遇时间
（分），
因此
；
【小问2 详解】
解：由（1）得：
，由题意可知G 点为甲到达B 地的点，
甲走完全程
的时间为
分钟，
此时乙走了
米，
因此甲乙距离为2400 米，
即
．
设
解析式为
，代入两点坐标：
，
解得：
，
因此
的解析式为：
；
【小问3 详解】
解：由图象可知，
两地距离为
米．
乙从
匀速跑到
，速度为
米/分，
因此乙走完全程的时间为：
分钟
即图中
点对应的时间
分钟，
此时乙已经到达
地，甲乙相距
米，从甲开始返回到乙到达
地，一共经过了
分钟，甲
返回走了
米，
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因此
，
即甲到达B 后返回速度为
米/分，返回全程需
分钟，总耗时
分钟，
乙从B 到A 速度为
米/分，走完全程到A 的时间为
分钟，
设甲行进时间为
分钟，甲乙距离
米，分阶段计算：
阶段1：相遇前（
），
甲乙相向而行，两人距离满足：
，
令
，解得：
，符合范围，是有效解；
阶段2：相遇后，甲未到B 地（
），
相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：
，
令
，解得：
，符合范围，是有效解；
阶段3：甲到B 开始返回，乙未到A 地（
），
甲在B 后返回，乙仍向A 行走，两人距离满足：
，
该阶段
的范围是
，始终大于600，此阶段无解；
阶段4：乙到达A 停止，甲仍在返回途中（
），
乙已经停在A 点，两人距离就是甲到A 点的距离，两人距离满足：
，
令
，解得：
，符合范围，是有效解；
综上所述，机器人甲行进时间为5 分或7 分或20 分时，甲乙相距600 米．
23. 综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形
和矩形
，
，
，
．先将矩形
的边
，
分别落在矩形
的边
，
上，再将矩形
绕点
顺时针旋转，旋转角为
，连
接
，
．
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（1）【问题初探】如图，当
，
时，
与
的数量关系是 ，
与
的数量关系是 ；
（2）【类比推理】如图
，当
，
时，试探究
与
的数量关系，请写出结论，并
说明理由；
（3）【深入探究】如图
，当
，
时，点
为边
的中点，直线
交线段
于
点
，若
，则
的长为 ；
（4）【拓展延伸】如图
，当
，
时，过点
作
，垂足为
，在线段
上
取点
，使
，连接
．若
的面积为
，则
的取值范围是 ．
【答案】（1）
，
（2）解：
，证明如下：
∵四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
，
；
（3）
或
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（4）
【解析】
【分析】（1）证明
，即可得到
，
；
（2）证明
，得到
，则
；
（3）分两种情况：点E 在
上方和点E 在
下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
（4）过点P 作
于点M，证明
，推出
，根据
，推出
；由勾股定理得
，则可证明
，根据
可得答案．
【小问1 详解】
解：当
时，则
，
∴
，
∵四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：如图所示，当点E 在
上方时，连接
，过点B 作
于点T，
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∵
，
∴
；
∵点M 为
的中点，
∴
；
∵四边形
是矩形，
∴
；
设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，
∴
，
∴
，
；
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
三点共线，即点E 与点T 重合；
∴
，
由（2）得
；
如图所示，当点E 在
下方时，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
同理可得
，
∴
，
∴
；
如图所示，过点E 作
交
的延长线于点T，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
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∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
综上所述，
的长为3 或
；
【小问4 详解】
解：如图4 所示，过点P 作
于点M，
∵
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
在
中，由勾股定理得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
24. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，
，与
轴
交于点
，作直线
，
，点
为第一象限内抛物线上的动点，过点
作
轴，垂足为
，
交直线
于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求
的最大值及
最大时点
的坐标；
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（3）如图2，若将抛物线
沿射线
方向平移
个单位长度，得到新抛物线，点
为新
抛物线上一点，且
，则点
的坐标为 ；
（4）当
最大时，作直线
，若点
为直线
上的一个动点，连接
，将线段
绕点
顺时
针旋转
得到
，取
的中点
，过点
作
，垂足为
，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）
的最大值为2，此时点
的坐标为
（3）
或
（4）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2 ）设点
，求得直线
的解析式为
，则
可得
，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点
位置：当
在
轴上方时，由
得
，联立直线与抛物线求交点得
；当
在
轴下方时，由角度关系得
，列方程解得
；
（4）由（2）知，
，
，直线
的解析式为
，设
，则
，
求得直线
的解析式为
，设
，易得
与x 轴所形
成的锐角为
，进而得到
，则
，设
，
，问题转化为求直线
上的点F 到点
和点
的距离和的最小值，求出点G 关于直线
的对称点
，则
的最
小值为
的长度，利用两点间距离公式求得
即可求解．
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【小问1 详解】
解：将
，
代入抛物线的解析式
，得
，解得
．
抛物线的解析式为
；
【小问2 详解】
解：设点
，
当
时，
．
．
设直线
的解析式为
，
，
∴
，则
，
∴直线
的解析式为
，
轴，
．
，
，
∴当
时，
的值最大，最大值为2，此时点P 的坐标为
；
【小问3 详解】
解：对于
，当
时，
，则
，
∵
，
，
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∴将抛物线
沿射线
方向平移
个单位长度，相当于将抛物线
先
向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为
，
分两种情况：
当点Q 在x 轴上方时，如图，
设直线
的解析式为
，
将
代入，得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴设直线
的解析式为
，
将
代入，得
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
联立方程组
，解得
或
（舍去），
∴
；
当点Q 在x 轴下方时，如图，过
作
轴，
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设
，则
，
∵
，
，
∴
，又
，
∴
，
∴
，
∴
，整理得
，
解得
或
（舍去）
∴
，
∴
，
综上，满足条件的Q 的坐标为
或
；
【小问4 详解】
解：如图，作
轴，
轴
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由（2）知，
，
，直线
的解析式为
，
,
，且
，
在
和
中，
，
，
，
设
，则
，
是
的中点，
∴
∵
，
，
为等腰直角三角形，
，
设直线
的解析式为
， 代入
，得
，
直线
的解析式为
，
∵
于F，
∴设
，且
与x 轴所形成的锐角为
，
如图，分别过点N、点F 作x 轴、y 轴的平行线，设交点为K，
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则
，
是等腰直角三角形，
∴
，即
，可得
，
∴
，则
，
∴
，
如图，设
，
∴
，
∴
，
问题转化为求直线
上的点F 到点
和点
的距离和的最小值，
设点G 关于直线
的对称点为
，则
，
则
的最小值为
的长度，
∵
，
∴
的最小值为
．
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