第6章计数原理（人教A版2019）（选择性必修第三册）_数学_专项复习_2024年_2024高考数学基础知识汇总重难考点归纳_选择性必修第三册

第 6 章 计数原理
§6.1 分类加法与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的方法，
那么完成这件事情共有 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：
完成一件事有两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事情
共有 种不同的方法.
§6.2 排列与组合
 
m mn
1.排列定义：从 个不同的元素中任取 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同的
m
元素中取出 个元素的一个排列.
全排列：把 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排列.
 
m mn
2.排列数：从 个不同的元素中任取 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出
Am
个元素的排列数，记作 n .
3.排列数公式：
Am nn1n2 nm1
（1） n  ；
An n! 0!1
（2） n ，规定 .
n！
Am 
n  nm  !
；
 
m mn
4.组合定义：从 个不同的元素中取出 个元素作为一组，叫做从 个不同的元素中取出 个元
素的一个组合.
 
m mn
5.组合数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出
Cm
个元素的组合数，记作 n .
6.组合数公式：
nn1n2 nm1 n！
Cm   Cm 
（1） 或 n m! 或 n m!nm! ；
Cm Cnm C0 1
（2） n n ，规定 n ；
Cm Cm Cm1
（3） n1 n n .
§6.3 二项式定理
1.二项式定理（1）二项式定理：
.
右边的多项式叫做 的二项展开式.
（2）二项展开式的通项：第 项： .
（3）二项式系数：
2.二项式系数的性质：
(1+x) n =C0xn +C1xn−1 +C2xn−2 +⋯+Cnx0
（1）若令 ,则有： n n n n ，
若令
x=1
，则有
(1+1) n =2n =C0
n
+C1
n
+C2
n
+⋯+C
n
n
.
C0 C2 C1 C3  2n1
奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即 n n n n .
Cm =Cn−m
（2）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 n n ；
（3）增减性与最大值：
当 时，二项式系数 的值逐渐增大，当 时, 的值逐渐减小；
n
C2
当 为偶数时，中间的一项 n 取得最大值；
当 为奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取最大值.