高中数学选择性必修三
计数原理知识点+题型归纳全集
6.1 分类计数原理与分步计数原理.................................................................................................................5
模块一：基础知识.....................................................................................................................................5
考点一：分类加法计数原理.............................................................................................................5
考点二：分步乘法计数原理.............................................................................................................5
考点三：两个计数原理的区别与联系.............................................................................................5
考点四：两个计数原理的应用.........................................................................................................5
模块二：题型分类.....................................................................................................................................6
题型一：分类加法计数原理.............................................................................................................6
题型二：分步乘法计数原理.............................................................................................................7
题型三：两个计数原理的综合应用.................................................................................................8
题型四：实际问题的计数原理.........................................................................................................9
题型五：代数中的计数原理...........................................................................................................10
题型六：几何的计数原理...............................................................................................................10
题型七：数字的排列原理...............................................................................................................10
题型八：涂色(种植)问题.................................................................................................................11
模块三：综合巩固...................................................................................................................................14
6.2 排列与排列数...........................................................................................................................................18
模块一：基础知识...................................................................................................................................18
考点一：排列概念...........................................................................................................................18
考点三：排列数公式.......................................................................................................................18
考点四：阶乘...................................................................................................................................18
考点五：排列的常见类型与处理方法...........................................................................................18
模块二：题型分类...................................................................................................................................19
题型一：排列的概念与定义...........................................................................................................19
题型二：排列的列举问题...............................................................................................................19
题型三：排列数基础运算...............................................................................................................20
题型四：排列数方程和不等式问题...............................................................................................21
题型五：排列的证明问题...............................................................................................................21
题型六：全排列问题.......................................................................................................................22
题型七：元素有限制的排列问题...................................................................................................22
题型八：相邻问题的排列问题.......................................................................................................24
题型九：不相邻的排列问题...........................................................................................................25
题型十：其他的排列模型...............................................................................................................26
题型十一：相邻与不相邻排列综合...............................................................................................26
题型十二：数字排列问题...............................................................................................................28
题型十三：排列的综合问题...........................................................................................................29
模块三：综合巩固...................................................................................................................................30
6.3 组合与组合数...........................................................................................................................................35
模块一：基础知识...................................................................................................................................35
考点一：组合概念...........................................................................................................................35
考点二：组合数...............................................................................................................................35
考点三：排列与组合的区别...........................................................................................................35
考点四：组合数的性质...................................................................................................................35
模块二：题型分类...................................................................................................................................35
题型一：组合概念的理解...............................................................................................................35
题型二：组合数与方程的计算.......................................................................................................36
题型三：组合数的性质及应用.......................................................................................................37
题型四：组合数解不等式与证明...................................................................................................37
题型五：有限制条件的组合问题...................................................................................................38
题型六：实际问题中的组合计数问题...........................................................................................39
题型七：代数中的组合计数问题...................................................................................................40
题型八：几何组合计数问题...........................................................................................................40
题型九：分组分配问题...................................................................................................................41
题型十：x+y+z=n 的整数解的个数................................................................................................45
题型十一：其它组合计数问题.......................................................................................................46
题型十二：组合的综合问题...........................................................................................................46
模块三：综合巩固...................................................................................................................................47
6.4 二项式定理...............................................................................................................................................52
模块一：基础知识...................................................................................................................................52
考点一：知识链接...........................................................................................................................52
考点二：二项式定理.......................................................................................................................52
考点三：二项展开式的通顶公式...................................................................................................52
模块二：题型分类...................................................................................................................................53
题型一：求(a±b)
n型展开式......................................................................................................... 53
题型二：二项式定理逆向应用.......................................................................................................53
题型三：求展开式常数项...............................................................................................................54
题型四：求展开式中指定项...........................................................................................................55
题型五：求展开式中有理项...........................................................................................................55
题型六：两个二项式相乘问题.......................................................................................................56
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项.....................................................................57
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题.........................................................................58
模块三：综合巩固...................................................................................................................................58
6.5 二项式系数及性质...................................................................................................................................62
模块一：基础知识...................................................................................................................................62
考点一：二项式定理.......................................................................................................................62
考点二：二项展开式的通顶公式...................................................................................................62
考点三：二顶式系数及其性质.......................................................................................................62
考点四：求二项展开式的解题策略...............................................................................................63
考点五：求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤.....................................63
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：...............................................................64
考点七：赋值法的使用...................................................................................................................64
考点八：二项式系数与项的系数的区别.......................................................................................64
模块二：题型分类...................................................................................................................................64
题型一：二项式系数的和问题.......................................................................................................64
题型二：二项展开式中项的系数及和问题...................................................................................66
题型三：二项式系数的最值问题...................................................................................................66
题型四：项的系数的最值问题.......................................................................................................68
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和.......................................................................................69
题型六：换元法求各项系数的和...................................................................................................71
题型七：整除和余数问题...............................................................................................................71
题型八：利用二项式定理近似计算...............................................................................................73
题型九：证明组合恒等式...............................................................................................................73
题型十：与导数的综合问题...........................................................................................................74
题型十一：与数列的综合问题.......................................................................................................74
模块三：综合巩固...................................................................................................................................76
6.6 杨辉三角的性质及应用...........................................................................................................................79
模块一：基础知识...................................................................................................................................79
考点一：杨辉三角简介...................................................................................................................79
考点二：二项式系数的性质...........................................................................................................79
考点三：杨辉三角性质...................................................................................................................79
模块二：题型分类...................................................................................................................................80
题型一：二项展开式的系数问题...................................................................................................80
题型二：杨辉三角实际应用及延伸...............................................................................................81
题型三：二项展开式中的系数最大项问题...................................................................................84
题型四：二项式定理的综合应用...................................................................................................86
6.7 排列组合17 种策略总结........................................................................................................................88
题型一：特殊元素和特殊位置优先策略.......................................................................................88
题型二：相邻元素捆绑策略...........................................................................................................88
题型三：不相邻问题插空策略.......................................................................................................90
题型四：平均分组...........................................................................................................................92
题型五：部分平均分组...................................................................................................................95
题型六：不平均分组.......................................................................................................................96
题型七：相同元素隔板法模型.......................................................................................................96
题型八：倍缩法解决定序问题.......................................................................................................98
题型九：排队问题...........................................................................................................................99
题型十：多排问题.........................................................................................................................101
题型十一：错位排列.....................................................................................................................102
题型十二：环排问题.....................................................................................................................104
题型十三：间接法（正难则反）.................................................................................................107
题型十四：涂色问题.....................................................................................................................108
题型十五：多面手问题.................................................................................................................111
考点十六：分解与合成模型和最短路径问题.............................................................................113
考点十七：构造法模型、递推模型与化归策略.........................................................................116
6.8 计数原理数学思想与重难点方法总结.................................................................................................120
模块一：数学思想方法.........................................................................................................................120
思想一：分类讨论思想.................................................................................................................120
思想二：函数思想.........................................................................................................................121
思想三：整体思想.........................................................................................................................121
思想四：主元思想.........................................................................................................................122
思想五：“正难则反”思想...........................................................................................................123
模块二：重难点方法总结.....................................................................................................................124
题型一：两个计数原理的综合应用.............................................................................................124
题型二：数字排列问题.................................................................................................................125
题型三：涂色问题.........................................................................................................................126
题型四：全排列问题.....................................................................................................................129
题型五：元素位置有限制问题.....................................................................................................130
题型六：相邻与不相邻问题.........................................................................................................131
题型七：分组分配问题.................................................................................................................132
题型八：二项展开式及其逆应用.................................................................................................133
题型九：特定项（特定项系数）.................................................................................................134
题型十：二项式系数（含最值问题）.........................................................................................135
题型十一：系数（含系数最大，小项）.....................................................................................136
题型十二：二项式系数和与系数和.............................................................................................138
题型十三：二项式定理应用.........................................................................................................139
题型十四：杨辉三角形.................................................................................................................141
高中数学选择性必修三
计数原理知识点+题型归纳全集
6.1 分类计数原理与分步计数原理
模块一：基础知识
考点一：分类加法计数原理
（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同
的方法,那么完成这件事共有N
m
n
种不同的方法.
（2）推广：如果完成一件事情有n 类不同方案,在第1 类方案中有
1
m 种不同的方法,在第2 类方案中有
2
m
种不同的方法,……在第n 类方案中有
n
m 种不同的方法,那么完成这件事共有
1
2
n
N
m
m
m
种不同
的方法.
考点二：分步乘法计数原理
（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1 步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成
这件事共有N
m n
种不同的方法.
（2）推广：完成一件事需要n 个步骤,做第1 步有
1
m 种不同的方法,做第2 步有
2
m 种不同的方法,……做
第n 步有
n
m 种不同的方法,则完成这件事共有
1
2
n
N
m m
m
种不同的方法.
考点三：两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何
一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有
每一个步骤都完成才算做完这件事
考点四：两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根
据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
模块二：题型分类
题型一：分类加法计数原理
1．某同学逛书店，发现3 本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（
）
A．4 种
B．6 种
C．7 种
D．9 种
2．高二1、2、3 班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3 人，现从中任选2 人参加升旗，则2 人来自不同
班的选法种数为（
）
A．12
B．15
C．20
D．21
3.如图，在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是
．
4.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙
只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以.若甲乙丙丁购物后依次
结账，那么他们结账方式的组合种数共有（
）
A．20 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
5.音乐播放器里存有10 首中文歌曲，8 首英文歌曲，3 首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不
同的选法？
6.某比赛有8 支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4 号队伍，韩国赛区1，2，3 号队伍，欧洲赛区1 号
队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对
战.则会出现
种不同的对局情况.
7.解1 道数学题，有三种方法，有3 个人只会用第一种方法，有4 个人只会用第二种方法，有3 个人只会
用第三种方法，从这10 个人中选1 个人能解这道题目，则不同的选法共有（
）
A．10 种
B．21 种
C．24 种
D．36 种
8.某班有男生13 人，女生17 人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（
）
A．121
B．13
C．30
D．17
9.如图，将钢琴上的12个键依次记为
1a ，
2a ，…，12
a ．设1
12
i
j
k
，若
3
k
j
且
4
j
i
，则称
ia ，
ja ，
ka 为大三和弦；若
4
k
j
且
3
j
i
，则称
ia ，
ja ，
ka 为小三和弦．用这12个键可以构成的大三和弦与小
三和弦的个数之和为（
）
A．5
B．8
C．10
D．15
题型二：分步乘法计数原理
1.某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游
泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（
）
A．
43
B．
34
C．12
D．9
2.一种号码拨号锁有4 个拨号盘，每个拨号盘上有从0 到9 共10 个数字，这4 个拨号盘可以组成
个四位数号码？．
3.同一个宿舍的8 名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其
他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（
）
A．32 种
B．128 种
C．64 种
D．256 种
4.某班4 个同学分别从3 处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（
）
A．
3
4
A 种
B．
3
4
C 种
C．
34 种
D．
43 种
【初学者可能看不懂AB 选项，一般问题不大】
5.现有4 件不同款式的上衣和3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种
数为
种．
6.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5 个学科，4 名同学欲报名参赛，每人必选且
只能选择1 个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是
．
7.若
, ,
3, 2, 1,0,1,2,3,4
a b c
，则符合条件的二次函数
2
y
ax
bx
c
的解析式有
个．
8.将4 封信投入3 个不同的信箱，不同的投信方法有
种.
9.核糖核酸RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA 的碱基有4
种，分别用A，C，G，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子
由100 个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（
）
A．
4
100
B．
100
4
C．
100
2
D．
10
4
10.四名师范生从A，B，C 三所学校中任选一所进行教学实习，其中A 学校必有师范生去，则不同的选法
方案有（
）
A．37 种
B．65 种
C．96 种
D．108 种
题型三：两个计数原理的综合应用
1.在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4 中的某一个数字（可以重复），则顶点
,
A B 处的数字都
大于顶点
,
C D 处的数字的标注方法有（
）
A．36 种
B．48 种
C．24 种
D．26 种
2.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
3.某班班委由2 位女同学、3 位男同学组成，现要从该班委里选出2 人去参加学校组织的培训活动，要求
至少要有1 位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
4.集合
{1
M
，2
，3}，
{ 3
N ，5，6，4}
，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标
在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
5.口袋中装有8 个白球和10 个红球每个球有不同编号，现从中取出2 个球．
(1)至少有一个白球的取法有多少种？
(2)两球的颜色相同的取法有多少种？
6.从a、b、c、d、e 这5 个元素中取出4 个，放在4 个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子里．问：
一共有多少种不同的放法？
7.如果一个整数的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数.例:1 234 321，123 321 等.显然，两位数的
对称数有9 个，即11，22，33，…，99，则三位数的对称数有
个，
*
2
)
1(
n
n
N
位数的对称数有
个.
8.用0,1,2,3,4 五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2 整除的无重复数字的三位数？
题型四：实际问题的计数原理
1.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､
猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，
丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是
自己喜欢的，则不同的选法有（
）
A．90 种
B．80 种
C．60 种
D．50 种
2.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A ，B ，C ，D ，E 五个水闸，若上游有充足的水
源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（
）
A．24 种
B．23种
C．15种
D．7 种
3.现有天平及重量为1，2，4 的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者
右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样
的放法共有（
）种.
A．15
B．13
C．11
D．10
题型五：代数中的计数原理
1.如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6，24，2013 等均为“好数”)，将所有“好数”
从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（
）
A．50
B．51
C．52
D．53
2.已知一个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，若此三位数与37（x+y+z）的大小相同，
则这样的三位数有（
）
A．14 个
B．15 个
C．16 个
D．17 个
3.数字2022 具有这样的性质：它是6 的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三
位正整数中，“吉祥数”的个数为
.
题型六：几何的计数原理
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
2.从正十五边形的顶点中选出3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（
）.
A．105 种
B．225 种
C．315 种
D．420 种
3.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（
）
A．18
B．30
C．36
D．54
题型七：数字的排列原理
1.用数字0，1，2，3，4 组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（
）
A．125 种
B．100 种
C．64 种
D．60 种
2.用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数有
个.（用数字回答）
3.由数字0、1、2、3 组成的无重复数字的4 位数字中，比2020 大的数的个数为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
4.由0，1，2，3，5 组成的无重复数字的五位偶数共有（
）．
A．42 个
B．48 个
C．54 个
D．120 个
5.自然数n 是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把n 叫做“集中数”.那么，
大于600 的“集中数”的个数是（
）
A．30
B．31
C．32
D．33
题型八：涂色(种植)问题
1.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，
欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，
则共有（
）种不同的涂色方法.
A．78
B．66
C．56
D．48
2.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域
涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（
）
A．48 种
B．64 种
C．96 种
D．144 种
3.如图，现要对某公园的4 个区域进行绿化，有4 种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域
不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（
）
A．48 种
B．72 种
C．64 种
D．256 种
4.用6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（
）
A．240
B．360
C．480
D．600
5.某植物园要在如图所示的5 个区域种植果树，现有5 种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种
果树，则共有（
）种不同的方法.
A．120
B．360
C．420
D．480
6.已知集合
{1, 2,3},
{ 4,5,6, 7}
M
N
，从集合M 中选一个元素作为点的横坐标，从集合N 中选一个元
素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
7.某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有
四种颜色可供选择，有（
）种不同的涂色方案.
自由
平等
公正
法制
A．24
B．256
C．108
D．72
8.用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数
是
．（用数字填写答案）
9.如图，用4 种不同的颜色对图中4 个区域涂色，要求每个区域涂1 种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜
色，则不同的涂色方法有
种．
10.如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．
（1）用3 种不同颜色填涂图中A ，B ，C ，D 四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，
有多少种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3 种不同颜色给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂
色方案？
（3）若有3 种不同颜色，恰好用2 种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂
色方案？
11.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)
等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图①，圆环分成3 等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？
（2）如图②，圆环分成4 等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？
12.阅读课上，5 名同学分别从3 种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（
）
A．50
B．60
C．125
D．243
13.一个科技小组中有4 名女同学、5 名男同学，现从中任选1 名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数
为.（
）
A．4
B．5
C．9
D．20
模块三：综合巩固
1.甲､乙两人从3 门课程中各选修1 门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．3 种
D．9 种
2.“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或
消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（
）
A．16
B．12
C．4
D．3
3.有5 名学生报名参加3 项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（
）
A．243
B．125
C．60
D．120
4.完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有4 种不同的方法，在第2 类方案中有5种不同的方法，在
第3类方案中有6种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法，其中N （
）
A．15
B．6
C．24
D．120
5.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
6.有序数对
,a b 满足
1
,
, 1,0,2
2
a b
，且使关于x 的方程
2
2
0
ax
x
b
有实数解，则这样的有序数对
,a b 的个数为（
）
A．15
B．14
C．13
D．10
7.在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4 中的某一个数字（可以重复），则顶点
,
A B 处的数字都
大于顶点
,
C D 处的数字的标注方法有（
）
A．36 种
B．48 种
C．24 种
D．26 种
8.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同
样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0 的两
位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（
）
A．8
9
B．64
81
C．17
81
D．1
9
9．(多选)现有不同的红球4 个，黄球5 个，绿球6 个，则下列说法正确的是（
）
A．从中任选1 个球，有15 种不同的选法
B．若每种颜色选出1 个球，有120 种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2 个球，有31 种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2 个球，有210 种不同的选法
10．(多选)现有4 个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6 人、7 人、8 人、9 人，则下列说法正确的是
（
）
A．选1 人为负责人的选法种数为30
B．每组选1 名组长的选法种数为3024
C．若推选2 人发言，这2 人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3 名学生加入这4 个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35 种
11.某次足球比赛共12 支球队参加，分三个阶段进行
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6 队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场
各赛一场决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛
场．
12.已知直线
0
ax by
c
+
+
=
中的a，b，c 是取自集合{ 2, 1,0,1,2}
中的3 个不同的元素，并且该直线的倾斜
角为锐角，那么，这样的直线的条数是
．
13.已知某容器中，H 有3 种同位素，Cl 有2 种同位素，Na 有3 种同位素，O 有4 种同位素，试问一共可
以组成多少种HCl 和NaOH 的分子？
14.用6 种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.
若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?
15.“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头
山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n 为自然数，且n 的各位数字反向排列所得自然数n与n
相等，这样的n 称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5 位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共
有（
）
A．648 个
B．720 个
C．810 个
D．891 个
16.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，
档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2 中算盘表示整数51）．如
果拨动图1 算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（
）
A．16
B．15
C．12
D．10
17.四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852 年由毕业于伦敦
大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976 年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某
校数学兴趣小组在研究给四棱锥P
ABCD
的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含
公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（
）
A．36种
B．72 种
C．48 种
D．24 种
18.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示
数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，
图中上档的数字和
9
a
. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有
种.
19.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥
的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，求不同的染色方法
种数．
6.2 排列与排列数
模块一：基础知识
考点一：排列概念
1.排列的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从�
不同元素中取出�个元素的一个排列.
2.要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n 个不同元素中取出m 个元素后，再安排这m 个
元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
考点二：排列数
1.排列数的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素的所有排列的个数叫做从�个元素中取出�元素的排列数，用符
号��
�表示.
2.要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，
按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
考点三：排列数公式
1.��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1
(�, �∈�∗, �≤�).
2.要点诠释:第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是�−�+ 1，共有�个因
数.
考点四：阶乘
1．阶乘的概念：�!表示正整数1 到�的连乘积，叫做�的阶乘．规定0 ! = 1．
2.排列数公式的阶乘式：��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1 =
�!
�−�! .
考点五：排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
模块二：题型分类
题型一：排列的概念与定义
1.下面问题中，是排列问题的是（
）
A．由1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40 人中选5 人组成篮球队
C．从100 人中选2 人抽样调查
D．从1，2，3，4，5 中选2 个数组成集合
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从10 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
3.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
4.下列问题属于排列问题的是（
）
①从10 个人中选2 人分别去种树和扫地；
②从10 个人中选2 人去扫地；
③从班上30 名男生中选出5 人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8 中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④
B．①②
C．④
D．①③④
题型二：排列的列举问题
1.写出从a、b、c、d 四个元素中任取两个不同元素的所有排列．
2.请列出下列排列：
(1)从4 个不同元素a b c d
, ,
,
中任取3 个元素的所有排列；
(2)从7 个不同元素, , , , ,
,
a b c d e f g 中任取2 个元素的所有排列．
3.北京、广州、南京、天津4 个城市相互通航，应该有
种机票．
4.从0，1，2，3 这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？
并写出这些三位数．
5.写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
题型三：排列数基础运算
1.
3
9
A 等于（
）
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
2.89 90 91
100
可以表示为(
)．
A．
10
100
A
B．
11
100
A
C．
12
100
A
D．
13
100
A
3.若
3
2
6
5
A
!A
m
，则m （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
4.
6
5
7
6
4
5
A
A
A
＝
．
5.
10
8
7
10
8
7
A
89A
8A
．
6.计算：
2
5
A
3!
（
）
A．30
B．60
C．90
D．120
7.
6
5
4
6
5
4
A
6A
5A
.
8.
(
2)(
3)(
4)
(
15)
N ,
15
x
x
x
x
x
x
可表示为（
）
A．
13
2
Ax
B．
14
2
Ax
C．
13
15
Ax
D．
14
15
A x
9.（多选）下列等式正确的是（
）
A．
!
A
!
m
n
n
n
m
B．
14
16
30
30
A
A
C．
1
1
A
A
m
m
n
n
n
D．
7
6
20
20
A
20A
10.
1998
1999
2023
2024
N,
2024
n
n
n
n
n
n
可表示为（
）
A．
27
1998
An
B．
26
1998
An
C．
27
2024
An
D．
26
2024
An
题型四：排列数方程和不等式问题
【例题】已知
2
2
1
A
A
10
n
n
，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
1.若
3
3
2
A
10A
n
n
，则n （
）
A．1
B．6
C．7
D．8
2.求不等式
2
9
9
A
6A
x
x
的解集．
3.解不等式：
2
8
8
A
6A
x
x
4.不等式
3
2
A
3A
x
x
x
的解集是（
）
A．
3
x x
B．
4,
N
x x
x
C．
3
4
x
x
D．
3,
N
x x
x
5.不等式
2
8
8
A
6
A
x
x
的解集为（
）
A．
2 8,
B．
7,12
C．{ 7
12,
}
x
x
x
N
∣
D．
8
题型五：排列的证明问题
1.求证：
1
1
A
A
2
m
m
n
n
n
n
m
．
2.求证：
(1)
2
2
3
3
A
A
A
n
n
n
n
n
n ；
(2)
1
1
A
A
A
m
m
m
n
n
n
m
．
3.（1）求证：
1 !
!
!
n
n
n n
；
（2）求证：
1
1
1 !
!
1 !
n
n
n
n
；
（3）求和：
1
2
3
2!
3!
4!
1 !
n
n
L
．
题型六：全排列问题
1.A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（
）
A．3 种
B．4 种
C．6 种
D．12 种
2.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（
）
A．24 种
B．23 种
C．12 种
D．11 种
3.5 月12 日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲
座，还要到3 个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（
）
A．3
B．
33
C．9
D．6
4.8 个完全相同的球放入编号1，2，3 的三个空盒中，要求放入后3 个盒子不空且数量均不同，则有
种
放法.
5.将4 名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4 个项目进行培训（每个
项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1 个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方
案共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．18 种
D．48 种
6.今年中秋和国庆共有连续8 天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任
选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2 天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方
法数为
．
题型七：元素有限制的排列问题
1.4 个人排成一排，则甲不站两边的站法有（
）
A．8
B．10
C．12
D．24
2.某班派遣
,
,
,
,
A B C D E 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多
有两位同学去，且
,
A B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有
种.
3.某生产过程有4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6 名工人中安排4 人分别照看
一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则
不同的安排方案有
种．
4.从
, ,
A B C 等7 人中选5 人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若A 必须在内，有多少种排法？
(2)若
, ,
A B C 都在内，且
,
A B 必须相邻，C 与
,
A B 都不相邻，有多少种排法？
5.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必
须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（
）
A．360
B．480
C．600
D．720
6.电视台连续播放6 个广告，其中包含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首位必须播放公
益广告，则共有
种不同的播放方式（结果用数值表示）.
7.老师和学生共10 人一起照相，其中1 名老师、4 名女生、5 名男生，排成一行，要求男生、女生必须分
性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有
种．
8.从7 名运动员中选4 名组成接力队参加4×100 米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的排法有多少
种？
9.甲、乙、丙等6 人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（
）
A．108 种
B．96 种
C．84 种
D．72 种
10.某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D 四个社区做志愿者．每
人安排1 个社区，每个社区安排1 人，则甲没被安排到D 社区的概率为（
）
A．1
24
B．1
6
C．3
4
D．1
4
11.某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对顺序不
变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（
）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
题型八：相邻问题的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法种数共有（
）
A．24
B．120
C．48
D．60
2.第19 届亚运会于2023 年9 月28 日至10 月8 日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”
的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6
个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，现将这6 个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉
祥物相邻，则排法种数共为（
）
A．48
B．24
C．12
D．6
3.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
4.2023 年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3 名运动员与4 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排
在两端，则不同的排法种数有（
）
A．720
B．960
C．1120
D．1440
5.8 名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A 不站在前排，D 不站在后排，E 和F 左右相邻，
则不同的排列方式共有（
）
A．1152 种
B．1728 种
C．2304 种
D．2880 种
6.现有A ，B ，C ，D ，E 五人排成一列，其中A 与B 相邻，C 不排在两边，则共有
种不同的排法
（用具体数字作答）.
7.一排有6 个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（
）
A．10 种
B．12 种
C．72 种
D．144 种
8.某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可
以设置的不同数字密码有（
）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
9.每年5 月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生活的美好见证.某班同学集体合影后有4 位同学邀
请两位老师合影留念.若6 人站成一排，两位老师站在中间位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方
法有
种.（用数字作答）
题型九：不相邻的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（
）
A．72
B．36
C．18
D．64
2.（多选）5 人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（
）
A．
3
2
3
4
A A
B．
5
4
5
4
A
2A
C．84
D．
5
5
1 A
2
3.老师排练节目需要4 个男生和2 个女生，将这六名学生随机排成一排，2 个女生不相邻的排法
为
.
4.某班联欢会原定3 个节目已排成节目单，开演前又增加了2 个节目，现将这2 个新节目插人节目单中，
要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（）
A．6
B．12
C．20
D．72
5.“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花
房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6 色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝
牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（
）
A．24 种
B．20 种
C．12 种
D．22 种
6.杭州第19 届亚运会火炬9 月14 日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8
公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6
人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（
）
A．288 种
B．360 种
C．480 种
D．504 种
7.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
8.已知来自甲、乙、丙三个学校的5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要
求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（
）
A．40
B．36
C．56
D．48
9.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学
不与老师相邻，则不同的站法种数为（
）
A．
5
4
5
4
A
A
B．
4
1
3
4
2
3
A
C A
C．
1
1
3
1
2
3
C C A
D．
4
4
1 A
2
10.琼中中学一条校道路边有7 盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3 盏路灯，但要求点
亮的3 盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（
）种
A．5
B．10
C．15
D．20
题型十：其他的排列模型
1.把2 个相同的红球､1 个黄球､1 个蓝球放到
, ,
A B C 三个盒子里，每个盒子中至少放1 个球，则不同的放法
种数为（
）
A．18
B．20
C．21
D．24
2.现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有（
）．
A．128 种
B．36 种
C．72 种
D．84 种
3.某次数学竞赛获奖的6 名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序
种数为（
）．
A．20
B．120
C．360
D．720
题型十一：相邻与不相邻排列综合
1.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战
役胜利做出重要贡献的故事，现有4 名男生和3 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连
在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
2.有甲、乙、丙、丁、戊5 位同学，求：
(1)5 位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
(2)5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
3.有六位同学A，B，C，D，E，F 站成一排照相，如果：
(1)A，B 两人不排在一起，有几种排法？
(2)C，D 两人必须排在一起，有几种排法？
(3)E 不在排头，F 不在排尾，有几种排法？
4.4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
5.4 名男生和4 名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
6.有4 名男生，3 名女生，共7 个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男生､女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
题型十二：数字排列问题
1.用数字1、2 、3、4 、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2 整除的数共有
个．（用
数字作答）
2.用0,1,2,3,4,5,6 可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5 整除的五位数有多少个？
3.用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数．
(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
(2)要求3 和4 相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
4.用1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
5.由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有多少个？
6.将0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123 大的数？
题型十三：排列的综合问题
1.五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲
与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．96 种
2.根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023 年11 月24 日上映，某数学组有3 名男教师
和2 名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2 名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2 名女教师互不相邻的坐法有多少种？
3.某中学进行数学竞赛选拔考试，A ，B ，C ，D ，E 共5 名同学参加比赛，决出第1 名到第5 名的名次. A
和B 去向教练询问比赛结果，教练对A 说：“你和B 都没有得到冠军．”对B 说：“你不是最后一名.”从这两
个回答分析，5 人的名次排列方式共有（
）
A．54 种
B．72 种
C．96 种
D．120 种
4.有4 名男生，4 名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间．
5.分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4 名男生4 名女生中选出2 男2 女组成一个队伍；
(2)8 个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8 个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
6.3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲､乙两人中间必须有3 人.
7.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和
英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3 名男
生和4 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
8.（1）配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2 种无机染料和2 种添加剂，其中有机染料的添加顺序
不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？
（2）某展览馆计划展出10幅不同的画，其中水彩画1幅、油画4 幅、国画5幅．现排成一排陈列，要求同
一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？
模块三：综合巩固
1.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从8 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
3.甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（
）
A．6
B．4
C．8
D．10
4.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（
）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．60 种
5.将4 张相同的博物馆的参观票分给5 名同学，每名同学至多1 张，并且票必须分完，那么不同的分法的
种数为（
）
A．54
B．45
C．5×4×3×2
D．5
6.某学习小组共5 人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（
）
A．20
B．15
C．10
D．5
7.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（
）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
8.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这
六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（
）
A．15
B．30
C．12
D．36
9.从5 本不同的书中选两本送给2 名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（
）
A．5
B．10
C．20
D．60
10.由1，2，3，4 这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(
)
A．9
B．12
C．15
D．18
11.下列各式中，不等于!
n 的是（
）
A．An
n
B．
1
1
1
A
1
n
n
n
C．
1
An
n
D．
1
1
An
n
n
12.有4 名司机，4 名售票员要分配到4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配
方法有（
）
A．
8
8A 种
B．
4
8A 种
C．
4
4
4
4
A A 种
D．
4
4
2A 种
13.现有10 名学生排成一排，其中4 名男生，6 名女生，若有且只有3 名男生相邻排在一起，则不同的排
法共有（
）种.
A．
2
2
6
7
A A
B．
3
2
4
7
A A
C．
3
2
2
3
6
7
A A A
D．
3
6
2
4
6
7
A A A
14.要从a，b，c，d，e 5 个人中选出1 名组长和1 名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是（
）
A．20
B．16
C．10
D．6
15.“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到
如图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相同，若中间空格已填数
字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，
则不同的填法种数为（
）
4
A．70
B．120
C．140
D．144
16.甲、乙，丙、丁，戊5 名同学进行劳动技术比赛，决出第1 名到第5 名的名次．甲和乙去询问成绩，裁
判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5 人的名次排列的不同情况可能
有（
）
A．27 种
B．72 种
C．36 种
D．54 种
17.现要从6 名学生中选4 名代表班级参加学校的4 100m
接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1 棒或第4
棒，乙不能跑第1 棒，则合适的选择方法种数为（
）
A．84
B．108
C．132
D．144
18.甲､乙､丙､丁等7 人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（
）
A．576 种
B．448 种
C．288 种
D．224 种
19．(多选)用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（
）
A．
4
6
A
B．
4
5
A
C．
1
5
A
3
5
A
D．
4
6
A －
3
5
A
20．（多选）A、B、C、D、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（
）
A．若A、B 两人站在一起有48 种方法
B．若A、B 不相邻共有12 种方法
C．若A 在B 左边有60 种排法
D．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72 种方法
21.从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1 人
入选的不同参赛方案共有
种.
22.某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，
活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
种(用数字作答)．
23.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
．设
2
2
2
2
25
a
b
c
d
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
．
24.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
.设
2
2
2
2
36
a
b
c
d
，其中a b c d
, ,
,
均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
.
25.解不等式：
3
2
2
1
2
1
3A
2A
6A
x
x
x
；
26. 4 名男生和5名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
27.如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC
A B C
的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
28.求证：（1）
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
A
A
n A
；
（2）(
1)!
!
(
1)
! (
)
!
(
1)!
!
n
n
n
k
n
k
n
k
k
k
.
6.3 组合与组合数
模块一：基础知识
考点一：组合概念
一般地，从�个不同元素中取出�(�≤�)个元素并成一组，叫做从�个不同元素中取出m 个元素的一个组
合.
考点二：组合数
从�个不同元素中取出�(�≤�)个元素的所有组合的个数，叫做从�个不同元
素中取出�个元素的组合数．用符号��
�表示．其中
��
�= ��
�
��
�= �−1
�−2 ⋯(�−�+ 1)
�!
=
�!
�! �−�! ( �≤�)
考点三：排列与组合的区别
1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”．
2.从�个元素中取出�个元素的排列(排列数��
�)，可以理解为分为两步：
第一步，从�个元素中取出�个元素组合，得到组合数��
�；
第二步，再对�个元素进行排列，得到排列数��
�，根据分步乘法计数原理得到��
�= ��
���
�⇒��
�=
���
��
�．
考点四：组合数的性质
1.规定:��0 = 1．
2.��
�= ��
�−�．
3.��+1
�
= ��
�+ ���−1．
4.���
�= ���−1
�−1．
模块二：题型分类
题型一：组合概念的理解
1.下列四个问题属于组合问题的是（
）
A．从4 名志愿者中选出2 人分别参加导游和翻译的工作
B．从1、2 、3、4 这4 个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出3 名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出2 名同学分别担任班长、副班长
2.下列问题中不是组合问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9 个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
3.（多选）下列是组合问题的是（
）
A．平面上有5 个点，其中任意三个点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
B．10 支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10 个人中选出3 个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10 个人中选出3 个为不同学科的课代表，有多少种选法？
4.判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合
, , ,
A
a b c d
，则集合A 的含有3 个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4 个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7 本不同的书中取出5 本给某同学；
(4)三个人去做5 种不同的工作，每人做1 种，有多少种分工方法？
(5)把3 本相同的书分给5 个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
5.以下四个问题，属于组合问题的是（
）
A．从3 个不同的小球中，取出2 个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100 位幸运观众中选出2 名幸运之星
D．从13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
题型二：组合数与方程的计算
1.计算
5
2
7
5
2
+
C
A 的值是（
）
A．62
B．102
C．152
D．540
2.计算：
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
10
11
C
C
C
C
C
C +C
．
3.已知
3
6
34
34
C
C
x
x
，则x=（
）
A．3 或10
B．3
C．17
D．3 或17
4.（1）计算：①
4
3
3
10
7
3
C
C
A
＝
；
②
38
3
3
21
C
C
n
n
n
n
＝
．
5.求值：
（1）
3
2
8
5
3
2
C
C
；
（2）
38
3
3
21
n
n
n
n
C
C
.
题型三：组合数的性质及应用
1.若
3
9
9
C
Cx
，则x 的值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．3 或6
2.
2
3
4
5
6
6
6
7
8
9
C
C
C
C
C
（
）
A．84
B．120
C．126
D．210
3.（多选）若
2
1
1
8
7
7
C
C
C
x
x
x
，则正整数x 的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.若
2
6
2
20
20
C
C
n
n
（
N
n
），则n
.
5.若
6
6
7
1
C
C
C
n
n
n
，则n 的值为（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
6.（多选）若
2
2
5
21
21
C
C
m
m
，则m 的值可以是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
7.若
10
9
C
C
n
n
，则
21
Cn 的值为
.
8.若
2
22
22
C
C
m
m
，则
2
2
2
2
2
3
4
C
C
C
C m
的值为（
）
A．45
B．55
C．120
D．165
9.已知
4
4
5
*
1
C
C
C
N
n
n
n n
，则n （
）
A．6
B．7
C．8
D．9
10.关于x 的方程
2
3
4
11
11
C
C
x
x
的解为（
）
A．
3
x
B．
4
x
C．
3
x
且
4
x
D．
3
x
或
4
x
题型四：组合数解不等式与证明
1.不等式
3
2
10
10
C
C
n
n
的解为
．
2.若
1
8
8
C
3C
m
m
，求m.
3.（1）解关于x 的不等式
2
8
8
A
6A
x
x
．
（2）求等式
5
3
1
3
3
3
C
C
19
C
5
n
n
n
中的n 值．
4.（1）解不等式
2
6
6
A
4A
x
x
．
（2）若
2
2
2
2
3
4
5
C
C
C
C
55
n
，求正整数n．
5.证明：
1
1
C
C
m
m
n
n
m
n
6.证明：C
C
C
C
k
m k
m
k
n
n k
n
m
．
7.证明：
1
C
C
m
m
n
n
n
n
m
.
题型五：有限制条件的组合问题
1.甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读3 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相同的选法共有
（
）
A．30 种
B．60 种
C．180 种
D．240 种
2.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5 名
航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（
）
A．60
B．66
C．72
D．80
3.用2 个0，2 个1 和1 个2 组成一个五位数，则这样的五位数有（
）
A．8 个
B．12 个
C．18 个
D．24 个
4.2020 年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景
可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为
O
C
O
.已知氧有16O、17O、18O 三种天然同位素，碳有12C、13C 、14C 三种天然同位素，则由上述同位
素可构成的不同二氧化碳分子共有
个.
5.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、
丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位
同学选择数学竞赛课程的报名方法数为
．
6.从1，2，3，4，5，6 中选取4 个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记
四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求a
b
c
d
，则满足条件的四位数的个
数为
.
题型六：实际问题中的组合计数问题
1.某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现要选派划
左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有
2.如图为某地街道路线图，甲从街道的A 处出发，先到达B 处与乙会和，再一起去到C 处，则可以选择的
最短路径条数为（
）
A．20
B．18
C．12
D．9
3.某同学寒假期间想到咸阳市的9 个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革
命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3 个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口
活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概
率是（
）
A．5
7
B．5
21
C．16
21
D．2
7
4.有7 种不同的颜色给下图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，
若最多使用3 种颜色，则不同的涂色方法种数为（
）
A．462
B．630
C．672
D．882
题型七：代数中的组合计数问题
1.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9
的奇数，则不同的取法有（
）种.
A．54
B．53
C．47
D．46
2.在100，101，102，…，999 这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排
列的数的个数是（
）
A．120
B．204
C．168
D．216
3.在0 ，1，2 ，3，4 ，5，6这7 个数中任取4 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比
4351大的数共有（
）
A．54个
B．62 个
C．74 个
D．82 个
题型八：几何组合计数问题
1.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A．18
B．24
C．30
D．32
2.四面体的顶点和各棱的中点共10 个点．在这10 点中取4 个不共面的点，则不同的取法种数为（
）
A．141
B．144
C．150
D．155
3.有两条平行直线a 和b，在直线a 上取4 个点，在直线b 上取5 个点，以这些点为顶点作三角形，这样
的三角形共有（
）
A．70 个
B．80 个
C．82 个
D．84 个
4.圆周上有8 个等分点，任意选这8 个点中的4 个点构成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（
）
A．10
35
B．12
35
C．14
35
D．16
35
5.（多选）在某城市中，
,
A B 两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地
出发到B 地，则下列结论正确的是（
）
A．不同的路径共有31 条
B．不同的路径共有41 条
C．若甲途经C 地，则不同的路径共有18 条
D．若甲途经C 地，且不经过D 地，则不同的路径共有8 条
6.某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿
四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有
种不同的涂色方法.
题型九：分组分配问题
【基础原理】
类型一：
．．．．平均分组先乘后除
．．．．．．．．
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n 为均分的组数)避免重复计数。
说明：若将m 个元素分组，其中有r 组元素个数相同，则不同种分组方法有
r
r
c
m
c
m
b
a
m
a
m
P
C
C
C
1、将4 人平均分成两组，有多少种不同的分法？
分析：如果象例1 一样，则有C
2
4=6 种。但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD、AC-BD、AD-BC
三种。为什么呢？我们不难发现，从4 人中选2 人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD
应是同一组，即每种分法都重复了2 次。故正确的分组种数为
2
2
4
2
2
2
3
C C
A
种。
2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）
(2)一组一本，一组二本，一组三本
(3)一组四本，另外两组各一本
分析：（1）
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
(2) C
1
6C
2
5C
3
3=60
(3)
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C =15
A
类型二：非平均分组只用乘法
．．．．．．．．．．．．．(．分步为每个小组按数量取物）
．．．．．．．．．．．．．
说明：若将m 个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有
a
b
m c
m
m a
m c
C C
C
1、将6 人分成1 人、2 人、3 人三组，有多少种不同的分法？
解：由乘法原理不难得到不同的分法有C
1
6C
2
5C
3
3=60 种。
说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。
类型三
．．．：．定向分配
．．．．（．小组要分给指定的对象
．．．．．．．．．．）．------
．．．．．．用分步乘法
．．．．．(．分步为每个对象按数量取物
．．．．．．．．．．．．）
．
1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)
甲两本、乙两本、丙两本.
(2)
甲一本、乙两本、丙三本.
(3)
甲四本、乙一本、丙一本.
分析：（１）法一：先平均分组：
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
；再分给三人：
3
3
A ；共
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C
A
3
3
A =90
此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：
2
6
C ,再为乙选两本：
2
4
C ，最后为丙选两本：
2
2
C ；
共
2
6
C
2
4
C
2
2
C =90
（2）先为甲选1 本：
1
6
C ,再为乙选两本：
2
5
C ，最后为丙选两本：
3
3
C ；
共
1
6
C
2
5
C
3
3
C =60
（３）先为甲选1 本：
4
6
C ,再为乙选两本：
1
2
C ，再为丙选两本：
1
1
C ；共
4
6
C
1
2
C
1
1
C =30
类型四：不定向分配（小组可分给任一对象）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．-----
．．．．．先分组，再排列
．．．．．．．
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)
每人两本（平均分给甲乙丙三人）
(2) 一人一本、一人两本、一人三本
(3) 一人四本、一人一本、一人一本
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人且未指明具体
的分配对象，那么同一组书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将
这三组分给甲、乙、丙三人”，
因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６，即
（１）先分组（平均分组）：
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C
A
；再分配给三人（排列）：
3
3
A ；总方法为：
2
2
2
3
6
4
2
3
3
3
C C C A =90
A
（２）先分组（非平均分组）：C
1
6C
2
5C
3
3，再分配给三人（排列）
3
3
A ，总方法为：C
1
6C
2
5C
3
3
3
3
A =360(种)
（３）先分组（含非平均分组和平均分组）：
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C
A
，再分配给三人（排列）
3
3
A ，总方法为：
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C
A
3
3
A =90
(种)。
2、6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。
先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，
另一组四本。所以根据加法原理，分组法是15+60 +15 =90(种)。再考虑排列，即再乘以
3
3
A 。所以一共有
90×6=540 种不同的分法。
3、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分
为三组，两组各1 个，另一组2 个，分组方法有
1
1
1
4
3
2
2
2
C C C
A
(种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给
四个小盒(不同对象)中的3 个的排列问题，即共有
1
1
1
3
4
3
2
4
2
2
C C C A
A
=144(种)。
【基础练习】
1.3 名医生和6名护士被分配到3 所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有
（
）
A．90 种
B．180种
C．270 种
D．540种
2．4 名大学生被分配到3 所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（
）
A．12
B．24
C．36
D．72
3.将甲、乙等8 名同学分配到3 个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2 人，则不同的安
排方法有（
）
A．2720
B．3160
C．3000
D．2940
4.某班拟选派包括甲、乙在内的六名同学参加四场同一时间举行的比赛，每场比赛至少一名同学参加，且
甲、乙两名同学必须参加同一场比赛，则不同的参赛方案种数为（
）
A．180
B．240
C．360
D．480
5.将5 本不同的书（2 本文学书、2 本科学书和1 本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1 本书，
每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（
）
A．78
B．92
C．100
D．122
6.位同学报名参加2022 年杭州亚运会4 个不同的项目（记为
, , ,
A B C D ）的志愿者活动，每位同学恰报1
个项目.
(1)6 位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少
种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目A ，同学乙不参加项目D ，求一共有多少种不同录用
方式？
7．某公司将5 名员工分配至3 个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分
配在同一个部门的不同分配方法数为（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
8.将四个小球放入编号为1、2、3、4 的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
9.2023 年12 月6 日上午，2023 世界5G 大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G 大会是全球5G 领域
国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G 变革共绘未来”为主题，以持续推动5G 不断演进创新为
目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研
讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6
人中选派4 人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、
乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有
种．（用数字作答）
10.某医疗小组有4 名男性，2 名女性共6 名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2 人参加A，B 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医
护人员甲不参加A 项救护活动的选法种数；
(2)这6 名医护人员将去3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2 人前往，若2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
11.（1）将5 个不同的小球放入3 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将5 个不同的小球放入3 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
题型十：x+y+z=n 的整数解的个数
1.若方程
1
2
3
4
8
x
x
x
x
，其中
2 2
x ，则方程的正整数解的个数为（
）
A．10
B．15
C．20
D．30
2.已知
*
N
x
，
*
N
y
，
*
N
z
，则关于x ，y ，z 的方程
10
x
y
z
共有（
）组不同的解.
A．
2
9
C
B．
3
9
C
C．
2
10
C
D．
3
10
C
3.方程
18
x
y
z
的非负整数解有（
）
A．
17
2 组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
题型十一：其它组合计数问题
1.如图，一圆形信号灯分成
, , ,
A B C D 四块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里
选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（
）
A．18
B．24
C．30
D．42
2.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天
员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击
五项.若这五项测试每天进行一项，连续5 天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐
力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（
）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．60 种
3.某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明
同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（
）
周一
周二
周三
周四
周五
演讲、绘画、舞蹈、
足球
编程、绘画、舞蹈、
足球
编程、书法、舞蹈、
足球
书法、演讲、舞蹈、
足球
书法、演讲、舞蹈、
足球
注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.
A．15 种
B．10 种
C．8 种
D．5 种
题型十二：组合的综合问题
1.（1）求值：
2
2
2
2
3
10
C
C
C
．
（2）己知
3
2
2
*
17
17
C
C
N
x
x
x
，求x．
2.某学校有男运动员4 名，女运动员6 名共10 名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4 名运动员参加全
市中学生运动会．
(1)共有多少种选法；
(2)若要求至少有1 名队长参加，有多少种方法．
3.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学
生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4
张卡片，则额外获得2 分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4 张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得7 分的不同的抽法种数．
4.从包含甲、乙2 人的8 人中选4 人参加4×100 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结
果用数字作答）
(1)甲、乙2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2 人只有1 人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2 人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
模块三：综合巩固
1.
2
5
7
7
A
C
（
）
A．63
B．10
C．21
D．0
2.第33 届夏季奥运会预计2024 年7 月26 日至8 月11 日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2 个竞赛项
目和3 个表演项目．现有三个场地A，B，C 分别承担这5 个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一
个项目，则不同的安排方法有（）
A．150 种
B．300 种
C．720 种
D．1008 种
3.《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14 种算法，分别是：积算（即
算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计
数.某学习小组有甲､乙､丙3 人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6 种算法相关
资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（
）
A．240
B．300
C．420
D．540
4.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新
疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两
位女教师分派到同一个地方的方法种数为（
）
A．18
B．150
C．36
D．54
5.“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花
房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6 色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝
牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（
）
A．24 种
B．20 种
C．12 种
D．22 种
6.科技博览会需从5 个女生（分别记为A ，B ，C ，D ，E ）中选2 人参加志愿者服务，已知这5 个人被
选中的机会相等，则A 被选中的概率为（
）
A．0.25
B．0.4
C．0.5
D．0.75
7.盒子中有红球3 个，黄球4 个，任取3 个球，则抽到2 个红球的概率是（
）
A．
2
1
3
4
3
7
C
C
C
B．
2
1
3
4
3
7
A
A
A
C．
2
1
4
3
3
7
C
C
C
D．
2
1
4
3
3
7
A
A
A
8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从
这10 个数中任取3 个数，已知3 个数中至多有1 个阴数，则取出的3 个数之和是5 的倍数的概率是（
）
A．1
5
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
9.(多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、
“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（
）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有15 种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480 种排法
10.(多选)下列人员的坐法种数为24 的是（
）
A．4 把椅子排成一排，4 人随机就座
B．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻
C．4 人均不坐在写着自己名字的座位上
D．4 把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻
11.“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足
同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，
拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1 个项目.则甲、乙、丙、丁这
4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有（
）
A．135 种
B．720 种
C．1080 种
D．1800 种
12.某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选
择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要
求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节
为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该
天课表有（
）.
A．444 种
B．1776 种
C．1440 种
D．1560 种
13.(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（
）
A．不同的摆放方法共有120 种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36 种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72 种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36 种
14.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，
多次为祖国赢得荣誉．现有6 支救援队（含甲、乙）前往A，B，C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援
队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1 支救援队，其中A 受灾点至少需要2 支救援队，且甲、
乙2 支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是
．
15.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3 个歌唱类节目和2 个语言类节目，现
要排出一个节目单，若前2 个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有
种．
16.某迷宫隧道猫爬架如图所示，B ，C 为一个长方体的两个顶点，A ，B 是边长为3 米的大正方形的两个
顶点，且大正方形由完全相同的9 小正方形拼成.若小猫从A 点沿着图中的线段爬到B 点，再从B 点沿着长
方体的棱爬到C 点，则小猫从A 点爬到C 点可以选择的最短路径共有
条.
17.现有10 个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5 个组，每组2 人，有多少种分配方案？
(2)分成7 个组，每组最少1 人，有多少种分配方案？
18.将4 个编号分别为1，2，3，4 的小球放入4 个编号分别为1，2，3，4 的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）把4 个不同的小球换成4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
19.（1）已知
3
2
6
6
C
C
1
m
m
m
，计算：
1
2
3
6
6
7
8
C
C
C
C
m
m
m
m
；
（2）解方程：
7
2
3
4
3C
5A
x
x
x
．
20.安排6 名教师
,
,
,
,
,
A B C D E F 到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.
(1)有14 个相同的口罩全部发给这6 名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
(2)六名教师站一排照相，求
,
A B 不相邻，且C 在D 的左边（可以不相邻）的概率？
6.4 二项式定理
模块一：基础知识
考点一：知识链接
（1）
2
2
2
0
2
1
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
C a
C ab
C b
（2）
3
3
2
2
3
0
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
C a
C a b
C ab
C b
考点二：二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：
0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b
的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b
做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n
叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b
的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点三：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
模块二：题型分类
题型一：求(a±b)
n型展开式
1.利用二项式定理展开下列各式：
(1)
5
1
x
；
(2)
4
2
x
．
2.写出
5
2
x
的展开式．
3.二项式
3
2
x
的展开式为（
）
A．
3
2
6
6
8
x
x
x
B．
3
2
6
12
8
x
x
x
C．
3
2
12
6
8
x
x
x
D．
3
2
12
12
8
x
x
x
4.求
5
1
(
)
x
x
的二项展开式．
5.求
4
2
x
y
的展开式．
6.求
4
1
3 x
x
的展开式
7.若
1
n
x
x
的二项展开式共有8 项，则n=
.
题型二：二项式定理逆向应用
1.设
*
nN ，化简
1
2
2
3
3
1
10
10
10
10
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
______.
2.求值：
1
2
2019
2019
2019
2019
2019
1 2
4
( 2)
C
C
C
________
3.化简
4
3
2
1
4
1
6
1
4
1
1
x
x
x
x
的结果为（
）
A．x4
B．
4
1
x
C．
4
1
x
D．
4
1
x
4.化简多项式
5
4
3
2
2
1
5 2
1
10 2
1
10 2
1
5 2
1
1
x
x
x
x
x
的结果是（
）
A．
5
2
1
x
B．
5
2x
C．
5
2
1
x
D．
5
32x
5.
1
2
3
4
2022
2022
2022
2022
2022
2022
C
2C
3C
4C
2022C
（
）
A．
2021
2
1
B．
2024
2
1
C．
2021
1011 2
D．
2022
1011 2
6.化简：设n
N ，则
0
1
1
C 2
C 2
1
C 2
1
C
k
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n
．
7.已知
0
1
2
2
3
3
C
4C
4 C
4 C
( 1) 4 C
729
n
n
n
n
n
n
n
n
，则n的值为
．
题型三：求展开式常数项
1.二项式
6
2
x
x
的展开式中常数项为（
）
A．60
B．60
C．210
D．210
2.求
6
2
x
x
展开式中的常数项为______．
3.求
6
1
2
x
x
的展开式中的常数项为___________.
4.求
10
2
1
x
x
的展开式中的常数项为______.
5.
6
2
x
x
的展开式中常数项为第（
）项
A．4
B．5
C．6
D．7
题型四：求展开式中指定项
1.二项式
5
2
x
展开式中的含
3x 项的系数为
．
2.在二项式
6
2
x
x
的展开式中，含
2x 项的二项式系数为（
）
A．15
B．15
C．10
D．10
3.求
8
2
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为______．（用数字作答）
4.求
5
8
9x
x
的展开式中含
2x 的项为（
）
A．
2
2
3
5
C
9
8
B．
4
4
5
C
9 8
C．
1
4
5
C
9
8
D．
2
3
2
5
C
9
8
5.在
2
3
4
9
10
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
展开式中，
2x 项的系数为
.
题型五：求展开式中有理项
1.二项式
50
3
( 2
3 )
x
的展开式中系数为有理数的项共有（
）
A．6 项
B．7 项
C．8 项
D．9 项
2.在
7
2
3
4
1
2
3
x
x
的展开式中，系数为有理数的项是（
）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
3.求
8
3
1
x
x
的展开式中所有有理项的系数和为（
）
A．85
B．29
C．27
D．84
4.（多选）在
*
3
1
(
) (
N )
n
x
n
x
的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（
）
A．8
B．12
C．13
D．15
5.在二项式
7
1
2
1
2
x
x
的展开式中x 的指数为整数的项的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.若
2
3
1
3
2
n
x
x
的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型六：两个二项式相乘问题
1.
7
(
1)(
1)
x
x
的展开式中含
2x 的项的系数是（
）
A．21
B．14
C．－14
D．－21
2.
2
6
1
(1
)
x
x
x
的展开式中
2x 的系数为（
）
A．9
B．10
C．24
D．25
3.
5
2
1
1
1
x
x
的展开式中，常数项为________．
4.
2
6
2
b
a
a
b
a
的展开式中
3
4
a b 的系数为（
）
A．50
B．100
C．150
D．300
方法技巧：
求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路：
1．若m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项，综合考虑．
5.
6
3
2
1
1
2
x
x
x
的展开式中的常数项为（
）
A．240
B．240
C．400
D．80
6.二项式
2
10
(1
)(1
)
x
x
x
展开式中
4
x 的系数为（
）
A．120
B．135
C．140
D．100
7.已知
5
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1
1
x
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
a x
，则
3
a 的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
8.
5
7
2
2
x
y
x
y
的展开式中
9
3
x y 的系数为（
）
A．160
B．80
C．160
D．80
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项
1.
5
2
2
x
y
的展开式中，
4
2
x y 的系数为（
）
A．60
B．60
C．30
D．30
2.
5
2
1
x
y
展开式中含
2x y 项的系数为______．
3.
10
2
2
1
x
x
的展开式中
3x 项的系数为______.
方法技巧
求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法：
1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方
法求解．
2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情
形．
3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．
4.
4
3
2
x
x
的展开式中，含x 的项的系数为______．
5：
5
2
1
x
y
展开式中含
2x y 项的系数为______．
6.
2
1 2
n
x
x
展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的
3x 项的系数为（
）
A．60
B．30
C．100
D．160
7.
4
2
1
x
y
x
的展开式中
2
2
y
x
的系数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
8.已知
6
2
1
0
x
a
a
x
展开式的常数项为76，则
a
（
）
A．1
B．61
C．2
D．3 61
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题
1.在
7
8
1
1
x
x
的展开式中，含
3x 的项的系数是______．
2：若
4
7
2
7
0
1
2
7
(
1)
2
(
2)
(
2)
x
x
a
a
x
a x
a x
，则
2a （
）
A．45
B．27
C．15
D．3
3：在
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
4：在
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
模块三：综合巩固
1.
6
(2
)x
的展开式中，
4
x 的系数为（
）
A．30
B．60
C．120
D．32
2.
6
(1
)
x
展开式中
2x 项系数为
3
,a x 项系数为b ，则a
b
（
）
A．0
B．24
C．35
D．64
3.
6
2
2
x
x
展开式中的第四项为（
）
A．
3
160x
B．
3
160x
C．240
D．240
4.
4
2
3
a
b
c
的展开式中
2
abc 的系数为（）
A．208
B．216
C．217
D．218
5.
6
2
1
1
x
x
x
的展开式中，含
2x 的项的系数是（
）
A．20
B．5
C．15
D．35
6.设n
N ，化简
0
1
1
2
2
3
3
C
C 6
C 6
C 6
C 6
n
n
n
n
n
n
n
L
（
）．
A．6n
B．6
1
n
C．7n
D．7
1
n
7.已知
1
2
n
x
x
的二项式系数和为256，则
1
2
n
x
x
的展开式中常数项为（
）
A．1120
B．1120
C．70
D．70
8.在(
1)(
2)(
3)(
4)
x
x
x
x
的展开式中，含
3x 项的系数为（
）
A．50
B．35
C．24
D．10
9.
6
4
1
1
1
x
x
的展开式的常数项为（
）
A．6
B．10
C．15
D．16
10.已知多项式
1
2
n
x
x
展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为
．
11.已知
1
2
n
x
x
的展开式中存在常数项，则n 的可能取值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
12.已知
10
2
1
ax
a
x
的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（
）
A．第2 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
13.
4
2
2
2
1
1
1
x
x
x
的展开式中
6x 的系数为（
）
A．1
B．4
C．1
D．4
14.（1）求
8
2
x
y
的二项展开式；
（2）求
12
1
3
x
x
的二项展开式中的常数项；
（3）求
9
2
x
x
的二项展开式中
3x 的系数；
（4）在
20
2
1
x
的二项展开式中，如果第4r 项和第
2
r
项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r 项．
15.已知在
3
3
1
2
n
x
x
的展开式中，第6 项为常数项．
(1)求n 的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
(2)求含
2x 的项的系数.
16.已知在
3
2
2
n
x
x
（
*
nN ）的展开式中，第4 项的二项式系数与第3 项的二项式系数的比值为2.
(1)求n 的值；
(2)求展开式中含
4
x 的项.
17.
7
2
1
2
5
2
x
x
x
的展开式中含x 项的系数为（
）
A．1984
B．960
C．660
D．704
18.用二项式定理展开下列各式：
(1)
6
3 a
b
；
(2)
7
3
2 x
x
．
19.（1）求
5
5
2
1
1
x
x
x
的展开式；
（2）化简
5
4
3
2
1
5
1
10
1
10
1
5
1
x
x
x
x
x
．
6.5 二项式系数及性质
模块一：基础知识
考点一：二项式定理
1.定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：
0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b
的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b
做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n
叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b
的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点二：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
考点三：二顶式系数及其性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n 有关的n＋1 个组合数，与a，b 无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由Cmn
＝C n－m
n
得到. 直线r＝n
2将函数f(r)＝C rn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<n＋1
2
时，C kn随k 的增加而增大；当k>n＋1
2
时，C kn随k 的增加而减少. 如果二项
式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项，即
1
2
n
T
的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式
中间两项
1
2
n
T 与
1 1
2
n
T 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
注意：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第
1
r 项
r
n r
r
n
C a
b
的二项式系数是组合数
r
n
C ，展开式的系数是单项式
r
n r
r
n
C a
b
的系数，二
者不一定相等．
考点四：求二项展开式的解题策略
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1 项，再由特定项的特点求出r 值即可；
②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1 项，由特定项得出r
值，最后求出其系数.
考点五：求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=��
�an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等
式(组),解出r;
探究1：
n
b
a
展开式的二项式系数的和是多少？【不详细列出计算过程，可以自己试试】
方法1：赋值法：已知
n
n
n
a
c
b
a
0
+
n
n
n
n
n
n
n
b
c
b
a
c
b
a
c
......
2
2
2
1
1
令a=b=1，则
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
n
b
a
展开式的各二项式系数之和等于
n
2 。
方法2：从含n 个元素的集合子集个数来研究（两个计数原理）
分类计数原理：
n
n
n
n
n
c
c
c
c
......
2
1
0
，分步计数原理：n 个2 相乘，即
n
2
所以
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
探究2：你能求
.......
5
4
3
2
1
0
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
吗?
赋值法：在展开式
0
1
(
)
(
)
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a b
C a
b
C b
n
N
中，令
1,
1
a
b
，则
0
1
2
3
(1 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
0
2
1
3
0
(
)
(
)
n
n
n
n
C
C
C
C
，
∴
0
2
1
3
n
n
n
n
C
C
C
C
，
即在(
)n
a
b
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1 知
0
2
1
3
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
第三步,把r 代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1 或者其他量.
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：
①两次利用二项式定理的通项公式求解；
②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到
特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
公式展示：
(
)n
a
b
c
展开式中
p
q
r
a b c 的系数求法( , ,
0
p q r
的整数且
)
p
q
r
n
(
)
[(
)
]
(
)
n
n
r
n r
r
r
q
n r q
q
r
n
n
n r
a
b
c
a
b
c
C
a
b
c
C C
a
b c
考点七：赋值法的使用
“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)
n，(ax
2＋bx
＋c)
m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1 即可；对形如(ax＋by)
n(a，b∈R)的式
子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1 即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x
2＋…＋anx
n，则f(x)展开式中
各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）
2
，偶数项系数之和为a1＋a3
＋a5＋…＝f（1）－f（－1）
2
.
注意：赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，
如要求常数项，应赋x 为0；求所有项系数之和，应赋x 为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需
赋x 为-1，再通过联立方程组求得.
考点八：二项式系数与项的系数的区别
二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求(
)n
a
bx
展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k 项系数最大,
应用��≥��-�,
��≥��+�,从而解出k 来,即得.
模块二：题型分类
题型一：二项式系数的和问题
1.已知(1
3 )n
x
（n 为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
.
2.已知1
n
x
x
的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（
）
A．252
B．252
C．210
D．210
3.已知二项式
*
2
N
n
x
n
x
的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n =
.
4.已知
2
N
n
x
n
x
的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为
.（用数字作答）
5.已知
(1 3 )
N
n
x
n
的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
，展开式中
3x 的系数
为
.
6：
4
1 2x
的展开式中二项式系数和为（
）
A．24
B．24
C．16
D．16
7：已知1
(
2 )
2
n
x
的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
8.对于二项式
4
1
2
n
x
x
：
(1)若展开式的第4 项与第8 项的二项式系数相等，求展开式中
2x 的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
9.已知
3
(
)n
x
x
的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则
3
4
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中
2x 项的系数为__________.
10.若
3
1
1
2
n
x
x
x
的展开式中各项系数之和为1
32 ，则展开式中
3x 的系数为______.
题型二：二项展开式中项的系数及和问题
1.在
2
3
n
x
x
的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（
）
A．16
B．32
C．1
D．32
2.已知二项式
3
1
ax
a
R 的展开式所有项的系数之和为8，则
10
2
a
x
x
的展开式中的常数项为
___________.
3.已知
5
1 (2
1)
0
ax
x
a
x
，若其展开式中各项的系数和为81，则
a
．
4.知
2
3
6
1
2
x
a
x
x
的展开式中各项系数的和为1
，则该展开式中的常数项为________.
题型三：二项式系数的最值问题
1.在
1
2
n
x
x
的展开式中，只有第7 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
2.
2n
a
b
n
N
展开式中第6项的二项式系数最大，则
2
n
x
x
展开式中x 的系数为（
）
A．10
B．10
C．5
D．5
3.
6
2
x
x
的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（
）
A．20
B．160
C．180
D．240
4.
3
2
n
x
展开式中，只有第4 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
5.设m 为正整数，
2
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大值为a，
2
1
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大
值为b，若7
4
a
b
，则
2
2
1
m
x
x
展开式中的常数项为
．
6.
8
2
2
x
x
的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
7.已知
2
1
n
x
展开式中各项系数之和等于16.
(1)求
2
1
n
x
展开式的第二项；
(2)若
2
2
1
n
a x
的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值.
8.在
1
n
x
x
的展开式中，第3 项和第4 项的二项式系数最大，则展开式中含
2x 项的系数为_____.
题型四：项的系数的最值问题
1.
8
2x
y
的展开式中各项系数的最大值为（
）．
A．112
B．448
C．896
D．1792
2.已知
6
(1 2 )x
的二项展开式中系数最大的项为
．
3.
8
2
x
的二项展开式中系数最大的项为
.
4.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
5.已知
1
(2
) n
x
x
的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n 的值；
(2)系数最大的项．
6.已知
3
2
n
x
x
的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255 .
(1)求
3
2
n
x
x
展开式所有的有理项；
(2)求
3
2
n
x
x
展开式中系数最大的项.
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和
1.设
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
(1
2 )
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
．求：
(1)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值；
(2)
1
3
5
a
a
a
的值；
(3)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值．
2.已知
2
5
2
10
0
1
2
10
(
3
2)
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
2a ；
(2)求
1
2
10
a
a
a
；
(3)求
2
2
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
3.设设
2022
2
0
1
2
(1
2 )
x
a
a x
a x
十
2022
2022
(
R)
a
x
x
．
(1)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
3
5
2021
a
a
a
a
的值；
(3)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值．
4.已知
9
2
9
0
1
2
9
2
1
x
a
a x
a x
a x
.
方法技巧
赋值法原理：
n
0
1
2
2
*
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
f ( )
1
x
C
C x
C x
...
C x
...
C x
N
a
a x
a x
a x
f (1)
a
a
a
a
f ( 1)
a
a
a
1 a
f (1)
f ( 1) .
2
f (1)
f ( 1) .
2
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
（
）
。。。
则
。。。
。。。（
）
则奇数项系数和
偶数项系数和为
(1)求
3
9
2
1
2
8
2
2
2
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
2
3
9
2
3
9
a
a
a
a
的值.
5.若
5
2
2
10
0
1
2
10
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
0
1
2
3
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值；
(2)求
2
4
6
8
10
a
a
a
a
a
的值；
(3)求
1a 的值.
6.已知
7
2
7
0
1
2
7
5
2
x
a
a x
a x
a x
，则
0
1
2
7
a
a
a
a
（
）
A．128
B．2187
C．78125
D．823543
7.
4
2
3
4
0
1
2
3
4
1
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．0
D．3
8.已知
4
5
2
9
0
1
2
9
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2
4
6
8
a
a
a
a
（
）
A．40
B．8
C．16
D．24
9.若
5
5
0
1
5
3
4
1
1
x
a
a
x
a
x
，则
1
2
3
4
5
2
3
4
5
a
a
a
a
a
.
10.（多选）已知
8
2
8
0
1
2
8
( )
(2
)
f x
x
a
a x
a x
a x
，则（
）
A．
0
1
2
8
1
a
a
a
a
B．
8
1
2
3
8
3
a
a
a
a
C．
( 1)
f
除以5 所得的余数是1
D．
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
11.已知
3
4
2
3
4
0
1
2
3
4
2
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
2
4
a
a
a
___________.
12.若
4
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
a
a
a
a
_________.
题型六：换元法求各项系数的和
1
n
0
n
n
2
2
a
b
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
形如
可以通过令x+1=t，化为简单形式
1.若
10
2
10
0
1
2
10
(
1)
(
)
(
)
)
2
1
1
(
1
x
a
a x
a
x
a
x
，求下列各式的值.
(1)
10
a ；
(2)
1
2
9
a
a
a
；
(3)
1
2
3
9
10
2
3
9
10
a
a
a
a
a
.
2.已知
1011
1012
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，下列说法：
①
2023
n
，②
2023
3
na
，③
0
1
2
1
n
a
a
a
a
，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.已知
3
6
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，则
1
2
n
a
a
a
（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
4.已知(
1)n
x
的二项展开式的奇数项二项式系数和为64 ，若
2
0
1
2
(
1)
1
(
1)
(
1)
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，则
1a 等于（
）
A．192
B．448
C．192
D．448
题型七：整除和余数问题
整除和余数问题的解题技巧：
1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的
形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
2
解决求余数问题
必须构造
个与题目条件有关的二项式
1：
92
91 除以100 的余数是
．
2：
2023
3
被8 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
3.用二项式定理证明
55
55
9
能被8 整除．
4：
10
99 被1000 除的余数是（
）
A．1
B．99
C．1
D．901
5：
20
20 被7 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．6
6：（1）试求
10
2019 除以8 的余数；
（2）求证：
2
2
*
3
8
9
n
n
n
N
能被64 整除.
7.设
Z
a
，且7
0
a
，若
2023
15
a
能被7 整除，则
a
（
）
A．-4
B．-5
C．-6
D．-7
8.如果今天是星期三，经过7 天后还是星期三，那么经过
2022
8
天后是（
）
A．星期三
B．星期四
C．星期五
D．星期六
9.设4 258 的小数部分为x，则
4
3
2
16
96
256
x
x
x
x
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10.设
1
1
2
2
1
3
C 3
C 3
C
3
n
n
n
n
n
n
n
a
，则当
2023
n
时，a 除以15 所得余数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
11.设n∈N ，且
2022
19
n
能被6 整除，则n 的值可以为
.(写出一个满足条件的n 的值即可)
12.二项式
2023
5
x
展开式的各项系数之和被7 除所得余数为
．
题型八：利用二项式定理近似计算
1：
7
1.95 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106
B．107
C．108
D．109
2：求
5
1.02 的近似值．(精确到两位小数)
3.估算
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
的结果，精确到0.01 的近似值为（
）
A．30.84
B．31.84
C．30.40
D．32.16
4：
7
0.99 的计算结果精确到0.001 的近似值是（
）
A．0.930
B．0.931
C．0.932
D．0.933
5：
6
(1.05) 的计算结果精确到0.01 的近似值是
．
6.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义
二项式定理：对于任意实数，
2
(
1)
(
1)
(
1)
(1
)
1
1
2 1
(
1)
2 1
k
k
x
x
x
x
k
k
，当x 比
较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：(1
)
1
x
x
，并且x 的值越小，所得结果就
越接近真实数据．用这个方法计算5 的近似值，可以这样操作：
5
4 1
1
1
1
1
4 1
2 1
2
1
2.25
4
4
2
4
，用这样的方法，估计3 25 的近似值约为（
）
A．2.922
B．2.928
C．2.926
D．2.930
题型九：证明组合恒等式
1.求证：
0
1
2
3
C
C
C
C
1
C
0
n
n
n
n
n
n
n
．
2.求证：
1
1
2
2
1
1
2
2
2
( 1)
2
( 1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
.
3.（1）设m 、
*
nN ，m
n
，求证：
1
1
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m
；
（2）请利用二项式定理证明：
2
*
3
2
1
3,
n
n
n
n
N
.
题型十：与导数的综合问题
1.设
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1a ＝________，
2
3
4
2
3
4
a
a
a
＝________.
2.若
5
2
2
10
0
1
2
10
3
1
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2a ______，
1
2
3
10
2
3
10
a
a
a
a
___________.
题型十一：与数列的综合问题
1.已知等差数列
na
，对任意n
N
都有
0
1
2
1
1
2
3
1
C
C
C
C
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
成立，则数列
1
2
1
n
n
a
a
的
前n 项和
nT
．
2.已知
2
3
*
0
1
2
3
(1
2 )
(
3,
N )
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
a x
n
n
.
(1)若
1
2
3
2 ,
,
a a a ，成等比数列，求n 的值；
(2)若
8
n ，求
2
2
0
2
4
6
8
1
3
5
7
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
的值（用数字作答）．
3.记Sn 为数列
na
的前n 项的和，已知
1
1
a ，
n
S
n
是公差为
1
2 的等差数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为Tn，试求
2
1
n
T
除以3 的余数．
4.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
1
1,
2
n
n
n
n
S
S
a
a
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，试求
2
1
n
T
除以3 的余数.
5.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，若
2023
2
2023
0
1
2
2023
(1
2 )
x
b
b x
b x
b
x
，数列
na
的首项
2023
1
2
1
1
1
2
2023
2
2
2
n
n
n
b
b
b
a
a
S
S
，
，则
2023
S
（
）
A．
1
2023
B．
1
2023
C．2023
D．2023
6.已知数列
na
前n 项和
2
3
2
n
n
n
S
，
nb
的前n 项之积
(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式.
(2)把数列
na
和
nb
的公共项由小到大排成的数列为
nc
，求
1
2
20
c
c
c
的值.
模块三：综合巩固
1：
5
(
1)
x
的展开式中含
2x 的项是（
）
A．
2
5x
B．
2
5x
C．
2
10x
D．
2
10x
2.若n 为一组从小到大排列的数1，2 ，4 ，8，9，10的第六十百分位数，则二项式
3
1
2
n
x
x
的展开式
的常数项是（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
3：在
6
1 (
)
x
x
y
的展开式中，含
4
3
x y 项的系数为（
）
A．20
B．20
C．15
D．15
4：若
5
1
kx
的展开式中
2x 的系数为40，则k （
）
A．2
B．2
C．4
D．4
5．若
9
2
9
0
1
2
9
(1
)
x
a
a x
a x
a x
，则
1
2
3
9
a
a
a
a
（
）
A．1
B．513
C．512
D．511
6：
12
(1
)x
展开式中，系数最大的项是（
）
A．第5，6 项
B．第6，7 项
C．第6 项
D．第7 项
7：
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1 3x
a
a x
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
（
）
A．31
B．1023
C．1024
D．32
8.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
9．（多选）下列说法正确的是（
）
A．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为6
B．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为7
C．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是84
D．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是504
10．（多选）若
5
2
5
0
1
2
5
(1
)
(1
)
(1
)
x
a
a
x
a
x
a
x
，其中
(
0,1,
,5)
ia i
为实数，则（
）
A．
0
1
a
B．
3
10
a
C．
1
3
5
16
a
a
a
D．
1
2
5
1
a
a
a
11.若
6
0
b
a x
b
x
的展开式中含x 的项的系数为60，则
2
a
b
的最小值为
．
12．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”
与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023 年是癸卯年，
则
8
13
2
年以后是
年.
13.已知
2
3
4
1
3
n
x
x
展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中
3x 的系数为________．
14.已知
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，若
7
8
0
a
a
.
(1)求n 的值；
(2)求
1
2
n
a
a
a
的值.（结果可以用幂指数表示）
15.己知
1
2
n
x
x
的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16.已知
1 2
n
x
的展开式中前3 项的二项式系数之和为29，则
3
1
2
3
n
x
x
x
的展开式中1
x 的系数为
（
）
A．294
B．826
C．840
D．854
17：
5
2
2
3
x
x
a
的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含
7x 项的系数是（
）
A．600
B．840
C．1080
D．2040
18.若
6
b
ax
x
的展开式中常数项为160
，则
2
2
2
a
b
ab
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
19.
1
2
n
x
x
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
1
2
n
x
x
的展开式中所有项系数的绝对
值之和为
．
20.（1）求证：
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
；
（2）利用等式
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
可以化简：
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1 C
2 C
2
C
2
C
C
2
C
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
C
2
C
2
C
2
1 2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
；类比上述方法，化简下式：
0
1
2
2
3
1
1
1
1
C
3
C
3
C
3
C
3
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
.
（3）已知等差数列
na
的首项为1，公差为
0
d d
，求证：对于任意正整数n ，函数
1
1
0
1
1
1
1
2
1
C
1
C
1
C
1
C
1
,
N
n
n
n k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
y
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
k
n k
总是关于x 的一次
函数.
6.6 杨辉三角的性质及应用
模块一：基础知识
考点一：杨辉三角简介
杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化.阅读《详解九章算法》
一书中的开方作法本源图，如图，其中蕴藏着许多数学的奥秘.
此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的
《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产.《详解九章算法》由杨辉所著,他在书中提到“出释锁算书，
贾宪用此术”.这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形.关于贾宪的生平，所知甚少.根
据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023 年至1050 年这段时期.
考点二：二项式系数的性质
1.各二项式系数和：
0
1
*
2
k
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
；
2.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
0
2
1
3
1
*
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
考点三：杨辉三角性质
从函数角度，
r
n
C 可以看成以r 为自变量的函数f(r )，其定义域是｛0,1,···,n｝。
当n=6 时，二项式系数
r
n
C （0≤r≤6）用图象表示
总结：一般地，
n
b
a
展开式的二项式系数
0
n
C 、
1
n
C 、
2
n
C
、……、
k
n
C 、……、
n
n
C 有如下基本性质：
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1
（2）对称性：
m
n
n
m
n
C
C
（3）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
（4）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即
2
n
n
C
最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相
等且最大，即
2
1
2
1-
n
n
n
n
C
C
最大
（5）当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变大的；当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变小的．
模块二：题型分类
题型一：二项展开式的系数问题
1.已知
2
2
(
)n
x
x
(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含
3
2
x 的项．
2.已知二项式
1
2
n
x
x
的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为
．
3.设整数
4
n
，(
2
1)n
x
y
的展开式中
4
nx 与xy 两项的系数相等，则n 的值为
.
4：
4
2
(1
2 )
4
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为
.
5.设
2
0
1
2
1
4
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，已知
0
1
35
a
a
，则n
，
1
2
1
n
x
x
的展开式中含
7
x的
系数为
.
6.已知在
1
n
ax
的展开式中，第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
3x 的系数为80
，则
a
.
题型二：杨辉三角实际应用及延伸
1.我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》里，出现了图1 这张表.杨辉三角的发现比欧洲
早500 年左右.如图2，杨辉三角的第n 行的各数就是(
)n
a
b
的展开式的二项式系数.
则第10 行共有
个奇数；第100 行共有
个奇数.
2.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10,，
记此数列的前n项之和为
n
S ，则
23
S 的值为
.
3.（多选）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的
排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1 形成三角形；随后
的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.
那么下列说法中正确的是（
）
A．第n 行的第
r r
n
个位置的数是
1
Cr
n
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3 个位置的数依次组织一个新的数列
na
，则数列
na
是两项
奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70 在杨辉三角中共出现了3 次
D．210 在杨辉三角中共出现了6 次
4.（多选）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同
杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n 是行数，r 是列数，r
n
）下面关于莱
布尼茨三角形的性质描述正确的是（
）
A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B．第10 行从左边数第三个数为1
360
C．
1
0
0
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
C
n
C
nC
D．
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
r
r
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
5.在杨辉三角形中，从第2 行开始，除1 以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵
开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几
行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r 为正整数，且
3
n
r
，求证：任何四个相邻的组合数
1
2
3
r
r
r
r
n
n
n
n
C
C
C
C
，
，
，
不能构成等差
数列.
6.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详
解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是
其“肩上”的两个数之和，+
例如第4 行的6为第3 行中两个3 的和．则下列命题中正确的是(
)
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7 个数是84
B．在“杨辉三角”中，当
12
n
时，从第1行起，每一行的第2 列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为
ia ，则
1
1
1
1
2
3
n
i
n
i
i
a
7.在
2
0
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
D
D x
D x
D
x
D x
L
的展开式中（其中
0
2n
D ，
1
2n
D ，…，
2
2
n
n
D
叫做项式
系数），当
1
n ，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在
5
2
1
1
ax
x
x
的展开式中，
8x 的系数为75，则实数a 的值为
；
（2）
0
0
1
1
2
2
3
3
18
18
36
18
36
18
36
18
36
18
36
18
D C
D C
D C
D C
D C
L
（可用组合数作答）.
8.如图，我们在第一行填写整数0 到
1
n n
，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉
三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是
.
0
1
2
3
1
1
3
5
2
1
4
8
n
n
n
L
L
L
L
题型三：二项展开式中的系数最大项问题
1.已知n 为正整数，在二项式1
2
2
n
x
的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则n 的值为
，
展开式中第
项的系数最大.
2.已知二项式
2
3
n
x
x
．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若
3,
2020
x
n
，求二项式的值被7 除的余数．
3.（多选）在
9
1
2
x
x
的展开式中（
）
A．常数项为21
2
B．
3x 项的系数为
9
2
C．系数最大项为第3 项
D．有理项共有5 项
4.若
2
0
n
ax
a
的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6 项的系数最大，则a 的取值范围为（
）
A．
,0
2,3
B．
1 1
,0
,
3 2
C．
2,3
D．1 1
,
3 2
5.已知
6
(1 2 )x
展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b
a
.
6.已知二项式
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，（
3
n
且
N
n
）．若
2
na
、
1
na 、
na 成等差数列．
（1）求1
2
n
x
展开式的中间项；
（2）求
ia
0,1,2,
,
i
n
的最大值．
7.已知
1
(2
) n
x
x
展开式中第3 项和第7 项的二项式系数相等
（1）求展开式中含
2x 的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？
8.（1）已知
3
4
2
2
2
14
0
1
2
14
1
1
2
x
x
x
a
a x
a x
a x
，求
1
3
5
13
a
a
a
a
的值.
（2）已知
3
2
2
3
n
f x
x
x
的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大
的项.
题型四：二项式定理的综合应用
1.从1,2,3,
,100
这100 个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为M ,随机抽取四
个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为N ,则
M
N
的后两位数字为（
）
A．89
B．51
C．49
D．13
2.对于n
N ，将n 表示为
1
1
0
1
2
2
2
2
k
k
k
n
a
a
a
L
1
0
1
2
2
k
k
a
a
，当
0
i
时，
1
ia .当1
i
k
时，
ia 为0 或1.记
I n 为上述表示中
ia 为0 的个数，（例如
0
1 1 2
，
2
1
0
4
1 2
0
2
0
2
，故
1
0
I
，
4
2
I
）.若
1
2
1
i
n
i
n
a
a
a
a
L
，则
127
1
2
I n
n
.
3.给定数列
,
n
n
a
b
.对于任意的
*
,
m nN ，若
m
n
a
b
恒成立,则称数列
,
n
n
a
b
是互斥数列.
(1)若数列
1
2
,
2
1
n
n
n
a
b
n
，判断
,
n
n
a
b
是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列
na
与
nb
都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若
na
与
nb
不是互斥数列，求证:
存在无穷多组正整教对
,k l ，使
l
ka
b
成立；
(3)若
3
2,
n
n
n
a
n
b
c d
( ,c d 是正整数)，试确定,c d 满足的条件，使
,
n
n
a
b
是互斥数列.
4.伟大的数学家欧拉28 岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当
*
nN 时，
sin x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
9
x
x
x
x
n
，又根据泰勒展开式可以得到
3
5
sin
3!
5!
x
x
x
x
1
2
1
1
2
1 !
n
n
x
n
，根据以上两式可求得
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
n
（
）
A．
2
6
B．
2
3
C．
2
8
D．
2
4
5.已知函数
2
1
f x
x
，记
2
2 2
1
1
4
3
f
x
f
f x
x
x
为函数
f
x 的2 次迭代函数，
3
4 2
1
3
8
7
f
x
f
f
f x
x
x
为函数
f
x 的3 次迭代函数，…，依次类推，
n
n
f
x
f
f
f
f
x
个
为函数
f
x 的n 次迭代函数，则
n
f
x
；
100 32
f
除以17 的余数
是
．
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S 满足
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
，
*
N
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
2
2
n
a
nb
，记
nT 为数列
nb
的前n 项和，
x
表示x 除以3 的余数，求
2
1
n
T
．
6.7 排列组合17 种策略总结
题型一：特殊元素和特殊位置优先策略
【例题1】由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
1
3
C
然后排首位共有
1
4
C
最后排其它位置共有
3
4
A
由分步计数原理得
1
1
3
4
3
4
288
C C A
1：7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同
的种法？
2.用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24 个
B。30 个
C。40 个
D。60 个
3.数字“ 2016 ”中，各位数字相加和为9 ，称该数为“长久四位数”，则用数字
6,5,4,3,2,1,0
组成的无重复数
字且大于2016 的“长久四位数”有（
）个
A．39
B．40
C．41
D．42
4：7 人站成两排队列，前排3 人，后排4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，
其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（
）
A．120
B．240
C．360
D．480
题型二：相邻元素捆绑策略
【例题】7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相
邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
5
2
2
5
2
2
480
A A A
种不同的排法
乙
甲
丁
丙
1．5 个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（
）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．72 种
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起
作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
第一步
首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；
第二步
然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；
第三步
得出结论.
2.有两排座位，前排11个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且
这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（
）
A. 234
B. 363
C. 350
D. 346
3.有6 个座位连成一排，现有3 人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（
）
A．36
B．48
C．72
D．120
4．2020 年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘
坐6 架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6 号，要求到达武汉天河飞机场时，
每五分钟降落一架，其中1 号与6 号相邻降落，则不同的安排方法有（
）
A．60
B．120
C．144
D．240
5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不
同的站法共有(
)
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
6．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两
位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（
）
A．8 种
B．12 种
C．20 种
D．24 种
7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，
程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（
）
A．144 种
B．96 种
C．48 种
D．34 种
8.从6 名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者
都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（
）
（A）
280 种
（B）240 种
（C）180 种
（D）96 种
9.7 个人站成两排，前排3 人，后排4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
）种
站排方式．
A．672
B．864
C．936
D．1056
10.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每
项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A 活动，则不同的分配方法有
种．（用数字作答）
题型三：不相邻问题插空策略
【例题】一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2 个相声和3 个独唱共有
5
5
A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空
位共有种
4
6
A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
5
4
5
6
A A
种
1.七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？
2.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
3.某人射击8 枪，命中4 枪，命中的4 枪中恰有3 枪连在一起的情形有多少种？
4.马路上有8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的
两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
5.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化
学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（
）
A．72 种
B．144 种
C．288 种
D．360 种
6.只用1,2,3,4 四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样
的五位数有（
）
A．96
B．144
C．240
D．288
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
第一步
可先把无位置要求的几个元素全排列；
第二步
再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；
第三步
得出结论.
7.楼道里有9 盏灯，为了节约用电，需关掉3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，
则关灯方案的种数为(
)
A．10
B．15
C．20
D．24
8.某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安
排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（
）
A．60
B．48
C．36
D．24
9.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同
的站法共有(
)
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从
包括甲、乙、丙在内的7 名学生中选派4 名学生参加，要求甲、乙、丙这3 名同学中至少有1人参加，且当
这3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4 名学生不同的朗诵顺序的种数为（
）
A．720
B．768
C．810
D．816
11.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相
同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）
A．48 种
B．72 种
C．78 种
D．84 种
12.某中学话剧社的6 个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2 个演员，则高一与高二两个年级
中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（
）
A．48
B．144
C．288
D．576
13.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方
法数为（
）.
A．432
B．576
C．696
D．960
14.中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周
六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程
讲座活动的不同排课顺序共有(
)
A．18 种
B．36 种
C．72 种
D．144 种
15.电影院一排10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有
空位且甲坐在中间的坐法的种数为（
）
A．40
B．36
C．32
D．20
16.某公共汽车站有6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228 路公交车的到来，由于
市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2 个连
续空座位的候车方式的种数是(
)
A．48
B．54
C．72
D．84
题型四：平均分组
【方法技巧与总结】
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以
n
n
A ；
如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以
m
m
A
.
【例题1】将4 人平均分成两组，有多少种不同的分法？
分析：如果象例1 一样，则有C
2
4=6 种。但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD、AC-BD、AD-BC
三种。为什么呢？我们不难发现，从4 人中选2 人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD
应是同一组，即每种分法都重复了2 次。故正确的分组种数为
2
2
4
2
2
2
3
C C
A
种。
【例题2】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）
(2)一组一本，一组二本，一组三本
(3)一组四本，另外两组各一本
分析：（1）
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
(2) C
1
6C
2
5C
3
3=60
(3)
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C =15
A
1.有6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（
）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2 本，有15 种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4 本，另两人各1 本，有180 种分法；
C．分给甲乙每人各2 本，分给丙丁每人各1 本，共有90 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2 本，另两人各1 本，有1080 种分法；
2.将6 名实习教师分配到3 所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1 个学校，每个学校至少分配1 名
实习教师，则不同的分配方案共有（
）
A．240 种
B．360 种
C．450 种
D．540 种
3.某社区为了做好疫情防控工作，安排6 名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸
三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（
）
A．450 种
B．72 种
C．90 种
D．360 种
4.将4 名新招聘的工人分配到A，B 两个生产车间，每个车间至少安排1 名工人，则不同安排方案有（
）
A．36 种
B．14 种
C．22 种
D．8 种
5.某班开展阅读比赛，老师选择了5 本不同的课外书，要求每位同学在3 天内阅读完这5 本课外书，每天
至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（
）
A．540 种
B．300 种
C．210 种
D．150 种
6.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C 三个企业的调研工作，每个企业去2 人，且
甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（
）
A．42 种
B．30 种
C．24 种
D．18 种
7.将5 名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4 个项目参加志愿活动，每名志愿
者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
8.2023 年8 月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5 支志愿团队中任选1 支救援物资接收点服
务，另外4 支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到
1 个项目，且每个项目至少分配1 个志愿团队，则不同的分配方案种数为（
）
A．36
B．81
C．120
D．180
9.若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅
能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（
）种安排方法
A．335
B．100
C．360
D．340
10.将5 名女老师和5 名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，
且有男老师的社区至少有2 名女老师，则不同的分配方法有（
）
A．1880 种
B．2940 种
C．3740 种
D．5640 种
11.有5 人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有
一个参会人入住，则这样的安排方法共有（
）
A．96 种
B．124 种
C．150 种
D．130 种
12.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个
社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（
）
A．540种
B．180 种
C．360种
D．630 种
13.佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6 名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、
中门3 个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，
若每个楼门至少分配1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1 个楼门进行服务，则不同的分配方法
种数为（
）
A．240
B．180
C．690
D．150
14.一支医疗小队由3 名医生和6 名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1 名和护
士1 至3 名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.
15.A、B、C、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同
一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.
16.安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，
著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6 个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座
山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2 个班级选择黄山的方案有__________种．
17.按下列要求分配6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1 份1 本,1 份2 本,1 份3 本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2 本,一人得3 本;
（3）平均分成三份,每份2 本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2 本;
（5）分成三份,1 份4 本,另外两份每份1 本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外两人每人得1 本;
（7）甲得1 本,乙得1 本,丙得4 本.
题型五：部分平均分组
1.将甲、乙等5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路
口的分配方案共有（
）
A．81 种
B．72 种
C．63 种
D．36 种
2.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友
谊．现有6 支救援队前往
, ,
A B C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每
个受灾点至少安排1 支救援队，其中A 受灾点至少需要2 支救援队，则不同的安排方法种数是（
）
A．180
B．240
C．320
D．360
3.教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5 名
教师到A、B、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1 人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法
数有（
）种
A．25
B．60
C．90
D．150
4.某高校大一新生中的6 名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲
团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1 个社团且每个社团至多两人参加，则这6 个
人中至多有1 人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680
B．4770
C．5040
D．5200
题型六：不平均分组
1.安排4 名男生和3 名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3 人，且社团甲的男生数不
少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（
）
A．31
B．53
C．61
D．65
2.第24 届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于2022 年2 月4日开幕，共设7 个大项．现将甲、乙、
丙3名志愿者分配到7 个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人
被分到同一大项的情况有（
）
A．42 种
B．216 种
C．96种
D．126种
3.甲乙丙丁4 位大学生前往A ，B ，C 3 个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少
安排1 人，其中甲只能去B ，C 两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（
）
A．36
B．12
C．24
D．18
题型七：相同元素隔板法模型
【例题】有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把
名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
6
9
C 种分法。
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班
1.某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（
）
A．15
B．20
C．10
D．30
2.学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别
的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2 个名额，……，则分配方案有（
）
A．8种
B．10种
C．165种
D．495 种
将n 个相同的元素分成m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1 块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1 个空
隙中，所有分法数为
1
1
m
n
C
3.现有9 个相同的球要放到3 个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不
同放法的种数是（
）
A．28
B．24
C．18
D．16
4.学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1 个名额，则有（
）种分配
方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
5.方程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的正整数解共有（
）组
A．165
B．120
C．38
D．35
6.有10 个运动员名额分给7 个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.
7.现有15 个省三好学生名额分给1、2、3、4 共四个班级，其中1 班至少2 个名额，2 班、4 班每班至少3
个名额，3 班最多2 个名额，则共有_________种不同分配方案.
8：6 个志愿者的名额分给3 个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.
9.泗县一中举行“建党100周年朗诵比赛”，学校给了高二7 个文科班10个参赛名额，要求每班至少一个同学
参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
10.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20 个参赛名额，现将这20 个参赛名额分配给A，B，C，D 四个班，
其中1 个班分配4 个参赛名额，剩下的3 个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
11.将10 个学生干部的培训指标分配给7 个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有
_______种．
12.将6 个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3 个球，共有_________种不同的
放法.
13.不定方程
12
x
y
z
的非负整数解的个数为_______.
14.将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案种
数为__________.
15.某校准备参加高中数学联赛，把16 个选手名额分配到高三年级的1～4 班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
16.将20 个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5 的五个盒子中．
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
17.方程
1
2
n
x
x
x
k
（,
*
k n
N
，k
n
）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？
题型八：倍缩法解决定序问题
1.将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(
)
A．480
B．360
C．120
D．240
2.由数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（
）
A．120 个
B．100 个
C．300 个
D．600 个
3.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A B C D E F
､､､､､
共6 项成果要汇报，如果B 成果不能最先
汇报，而A､C､D 按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（
）
A．100
B．120
C．300
D．600
4.某学校组织6×100 接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F 等6 位同学参加比赛．在安排这6
人的比赛顺序时要保证A 要在B 之前，D 和F 的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（
）
A．240 种
B．180 种
C．120 种
D．150 种
5.现有5 名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，
站法种数为（
）
A．36
B．24
C．20
D．12
6.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香
菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡
脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．36 种
D．72 种
7.小武是1993 年12 月18 日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8 个数
字进行排列得到一个8 位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（
）
A．2760
B．3180
C．3200
D．3360
题型九：排队问题
1.街头篮球比赛后，红、黄两队共6名队员（红队3人，黄队3人）合照，要求6人站成一排，红队3人中
有且只有2 名队员相邻，则不同排队的方法共有（
）
A．432 种
B．216 种
C．144 种
D．72 种
2.七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（
）
A．48 种
B．72 种
C．90 种
D．144 种
3：5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（
）
A．
5
2
5
4
A A 种
B．
5
2
5
5
A A 种
C．
5
2
5
6
A A 种
D．
7
6
7
6
4
A
A
种
4.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排
队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（
）
A．240 种
B．120 种
C．188 种
D．156 种
5.新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有
关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有A 、
B 、C 、D 、E 、F 六个班排队吃饭，A 班必须排在第一位，且D 班、E 班不能排在一起，则这六个班排
队吃饭的不同方案共有（
）
A．20 种
B．56 种
C．72 种
D．40 种
6.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（
）
A．48
B．72
C．90
D．120
7.（多选题）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（
）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
8、3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5 名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2 个人；
(9)排成前后两排，前排3 人，后排4 人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
9、有4 个男生，3 个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7 个人排成一列，4 个男生必须连排在一起；
(2)7 个人排成一列，3 个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7 个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7 个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.
10.若A ，B ，C ，D ，E 五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数
(1) A ，B 两人不站在一起；
(2) A 不站在最左边，B 不站最右边；
(3)如果又来了一位F 同学，六个人站一排，C 、D 站在中间，A 站在B 的右边；
(4)若5 个人站成两排，其中一排站2 个人，另一排站3 个人．
题型十：多排问题
1、6 个人站成前后两排照相，要求前排2 人，后排4 人，那么不同的排法共有（
）
A．30 种
B．360 种
C．720 种
D．1440 种
2、6 个人站成前、中、后三排，每排2 人，则不同的排法有
种．
3.毕业季，6 位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同
排法共有（
）
A．40 种
B．20 种
C．180 种
D．90 种
4、10 名同学拍照，站成前排3 人后排7 人，现摄影师要从后排7 人中抽2 人调整到前排，若其他人的相
对顺序不变，则不同调整方法的总数是（
）
A．168
B．420
C．840
D．20160
5.某次数学获奖的6 名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有
多少种站法（
）
A．36
B．90
C．360
D．720
题型十一：错位排列
【方法技巧与总结】
错位排列公式
1
( 1)
(
1)
!
!
i
n
n
i
D
n
n
1.“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到如
图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字
5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，
则不同的填法种数为（
）
A．72
B．108
C．144
D．196
2.编号为1、2、3、4、5 的5 个人分别去坐编号为1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个人的编
号与座位号一致的坐法有（
）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
3.将编号为1、2 、3 、4、5、6的小球放入编号为1、2 、3、4、5 、6的六个盒子中，每盒放一球，若
有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（
）
A．90
B．135
C．270
D．360
4.将编号为1､2､3､4､5､6 的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6 的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有
且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（
）
A．20
B．40
C．120
D．240
5.同室4 人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4 张贺卡不同分配方式
有
A．8 种
B．9 种
C．10 种
D．12 种
6.元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张
贺卡不同的分配方式有（
）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
7.若5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5 张卡片放入一个不透明的箱子里，并
搅拌均匀，再让这5 人在箱子里各摸一张，恰有1 人摸到自己写的卡片的方法数有（
）
A．20
B．90
C．15
D．45
8：5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（
）
A．42
B．44
C．46
D．48
9.若5 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（
）
A．45 种
B．40 种
C．55 种
D．60 种
10.若4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.
A．4
B．8
C．12
D．24
11．5 个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若5 个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､
大小均相同），并将这5 张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有
1人需回答自己问题的种数为___________.
12．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的
帽子方案总数为____________.（用数字作答）
13．一辆小客车上有5 个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客
1P ,
2P ,
3P ,
4P ,
5P 的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照
座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以
下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5 个座位
的剩余空位中任意选择座位.
乘客
1P
2P
3P
4P
5P
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
（1）若乘客
1P 坐到了3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4 种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填
入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
（2）若乘客
1P 坐到了2 号座位,其他乘客按规则就座,求乘客
5P 坐到5 号座位的概率.
14.将4个编号为1、2 、3 、4的不同小球全部放入4个编号为1、2 、3 、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多
少种不同的放法？
15.n 个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下
列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
16.将用1～6 编号的六张卡片，插入用1～6 编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：
(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；
(2)恰好有3 张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.
题型十二：环排问题
【方法技巧与总结】
在圆排列数中：
（1）n 个元素围成一圈其圆排列数为(
1)!
n
（2）在n 个元素中，每次取出m 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为
m
n
A
m
．
（3）当从n 个相异的元素中，每次取出m 颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环
时完全相同，故圆环数为
2
m
m
A
m
．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理．
1：21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的人出来表演
节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（
）
A．19
B．38
C．51
D．57
2.A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，
C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（
）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
3.现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（
）
A．
3
5
6
5
A
A
B．
8
6
3
8
6
3
A
A
A
C．
3
3
5
3
A
A
D．
7
5
3
7
5
3
A
A
A
4.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课
题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（
）．
A．6 种
B．8 种
C．12 种
D．16 种
5.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，
且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（
）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
6.已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的
排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60
种，那么这m 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（
）
A．24
B．48
C．60
D．120
7：8 人围桌而坐，共有______种坐法.
8：5 个女孩与6 个男孩围成一圈，任意2 个女孩中间至少站1 个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
9：10 位男生10 位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________
10：4 个人围坐在如图所示的8 张椅子中的4 张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相
对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
11：7 颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
12：8 名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．
13.一个圆桌有十二个座位，编号为1 至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与
其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.
14.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学
课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
15.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，
且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．
16.有5 对夫妇和A ，B 共12 人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12 个座位的圆桌上就餐（旋转之后算
相同坐法）．
（1）若5 对夫妇都相邻而坐，A ，B 相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5 对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A ，B 不相邻，共有多少种坐法？
题型十三：间接法（正难则反）
1.用1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.
2.如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则
从A 到B 的最短路径有（
）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
3.某老师一天上3 个班级的课，每班一节，如果一天共9 节课，且老师不能连上3 节课（第5 节和第6 节
不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种．
4.从2，4，6，8，10 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg
lg
a
b
-
的不同值的个数
是（
）
A．20
B．18
C．10
D．9
5.某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽
培”“蔬菜种植”“3D 打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3 名学生至少有2 名学生所选劳动课全不
相同的方法种数共有（
）
A．2080
B．2520
C．3375
D．3870
6.2022 年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村
BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6 个与此相关的短视
频a ，b ，c ，d ，e，f ，准备从这6 个短视频中再选出3 个向学生推荐，则a ，b ，c 至少选1 个的方
法种数为（
）
A．8
B．18
C．19
D．24
7.甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学
科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（
）种不同的参加方法
A．72
B．144
C．216
D．240
8.四面体的顶点和各棱的中点共10 个点．在这10 点中取4 个不共面的点，则不同的取法种数为（
）
A．141
B．144
C．150
D．155
9.某校组织一次认识大自然的活动，有10 名同学参加，其中有6 名男生､4 名女生，现要从这10 名同学中
随机抽取3 名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（
）
A．192 种
B．120 种
C．96 种
D．24 种
10.现有16 张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这3 张卡片不
能是同一颜色，且绿色卡片至多1 张，则不同的取法种数为（
）
A．484
B．472
C．252
D．232
11.中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10月31
日15:37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天
和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕. 2023年，中国空间站
将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等4 名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、
乙两人不同舱，则不同的安排方法有（
）
A．24 种
B．30 种
C．66 种
D．以上都不对
题型十四：涂色问题
【方法技巧与总结】
涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情
形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
k 种颜色圆周染色问题
如图，把一个圆分成(
2)
n n
个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有
(
1)
(
1)
( 1)
n
n
na
k
k
种方法.
正常着色定理
如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：
,
(
1)
( 1) (
1),
2
n
n
n k
F
k
k
n
，
1,k
F
k
.
1.用红、黄、蓝3 种颜色给如图所示的6 个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2 个圆，且相邻2 个圆所涂
颜色不能相同，则不同的涂法种数为（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
2.如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出
的5 种不同的颜色中最多可以选择4 种不同的颜色给这5 个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，
每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（
）种
A．120
B．240
C．300
D．360
3.用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法
有（
）
A．96种
B．48 种
C．144 种
D．72 种
4.用6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B 所示区域）用相同颜色，则不同的
涂法共有________种．（用数字作答）
5.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄
荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区
域内，则共有______种不同的涂色方法.
6.如图，节日花坛中有5 个区域，现有4 种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，
则符合条件的种植方案有_____________种.
7.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的
两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
A．288 种
B．264 种
C．240 种
D．168 种
8.如图，用5 种不同的颜色给图中A，B，C，D 四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的
涂法共有__________种.
9．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分.现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且
相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）
10.如图，用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，
且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
题型十五：多面手问题
【方法技巧与总结】
解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，
做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．
1.我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其
余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（
）种不同的选法．
A．675
B．575
C．512
D．545
2.某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，
现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（
）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
3.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临
近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，
2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方
法共有（
）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
4.某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现要选派划
左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（
）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
5.某龙舟队有8 名队员，其中3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨.现要选派划
左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（
）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
6.在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工,
4人当车工,则共有（
）种不同的选法.
A．120
B．125
C．180
D．185
7.某公园有P，Q，R 三只小船，P 船最多可乘3 人，Q 船最多可乘2 人，R 船只能乘1 人，现有3 个大人
和2 个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36 种
B．33 种
C．27 种
D．21 种
8.我校去年11 月份，高二年级有9 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余
4 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有______种不同的选法
9.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙
舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨.现要选派
3 人划左桨、3 人划右桨共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.
10：6 名工人，其中2 人只会电工，3 人只会木工，还有1 人既会电工又会木工，选出电工2 人木工2 人，
共有______种不同的选法．
11.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，
有___________种选派方法（填数字）.
12.在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7 人能唱歌，6 人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2 人唱歌2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？
考点十六：分解与合成模型和最短路径问题
【方法技巧与总结】
分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解
决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．
1.有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一
个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不
同走法？
A．6
B．8
C．10
D．12
2.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一
段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M
处，学校在N 处，AB 段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（
）条．
A．23
B．24
C．25
D．26
3.图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从
A 到B 的最短路径有（
）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
4.方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中
国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体
（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A 点出发，沿着竹棍到达B 点，则蚂蚁选择的不同的最
短路径共有（
）
A．48 种
B．60 种
C．72 种
D．90种
5.蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18 世纪初，法国学者
马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是
109 28
，所有的锐角都是70 32
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，
如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学
家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相
遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向
右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路
径数为
,
A n m . 例如：
3,1
1
A
，
4,2
3
A
. 则不等式
10,
81
A
m
的解集为（
）
A．
1,2,3,7,8,9
B．
1,2,3,8,9,10
C．
1,2,3,9,10,11
D．
4,5,6,7,8
6.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中
1A 、
2
A 、
3
A 、
4
A 、
5
A 是道路网中的5
个指定交汇处. 今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短
路径，以相同的速度同时出发直到到达N ､M 处为止. 则下列说法正确的是（
）
A．甲从M 到达N 处的方法有30种
B．甲从M 必须经过
3
A 到达N 处的方法有6种
C．甲、乙两人在
3
A 处相遇的概率为6
225
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为81
225
7.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（
）
A．6 种
B．8 种
C．36 种
D．48 种
8.下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）
A．14 条
B．12 条
C．9 条
D．7 条
9.（多选）如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中
1
2
3
4
5
,
,
,
,
A A A A A 是道路网中位
于一条对角线上的5 个交汇处，今在道路网M，N 处的甲、乙两人分别要到N，M 处，他们分别随机地选
择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M 处为止，则（
）
A．甲从M 到达N 处的走法有70 种
B．甲从M 必须经过
3
A 到达N 处的走法有12 种
C．若甲、乙两人途中在
3
A 处相遇，则共有144 种走法
D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810 种走法
10.某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走
的路程最短，有多少种不同的走法？
考点十七：构造法模型、递推模型与化归策略
【方法技巧与总结】
化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问
题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，
可使问题迎刃而解．
1.将33 33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格
的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（
）
A．33
B．56
C．64
D．78
2.几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知
（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；
（2 ）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；
（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；
（4 ）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；
（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根
树枝不同的撞击次序有（
）种．
A．23
B．24
C．32
D．33
3.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝
A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，
A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，
E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（
）
A．23
B．24
C．32
D．33
4.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年
的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九
连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1 个圆环最少需要移动圆环1 次，解下2 个圆环最少需要移动圆
环2 次，记
*
3
9
na
n
nN
，
- -
为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且
1
2
2n
n
n
a
a
，则解下8 个
圆环所需要移动圆环的最少次数为（
）
A．30
B．90
C．170
D．341
5.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的
传球方式共有（
）
A．4 种
B．10 种
C．12 种
D．22 种
6.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向前跳1 格或2 格，那么人从格子
外跳到第8 个格子的方法种数为
A．8 种
B．13 种
C．21 种
D．34 种
7.蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18 世纪初，法国学者
马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是
109 28
，所有的锐角都是70 32
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，
如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学
家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相
遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向
右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路
径数为
,
A n m . 例如：
3,1
1
A
，
4,2
3
A
. 则不等式
10,
81
A
m
的解集为（
）
A．
1,2,3,7,8,9
B．
1,2,3,8,9,10
C．
1,2,3,9,10,11
D．
4,5,6,7,8
8.（多选）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向前跳1 格或2 格，那么
下面说法正确的是（
）
A．进入第二个格子走法有2 种
B．进入第二个格子走法有1 种
C．进入第三个格子走法有2 种
D．进入第八个格子走法有21 种
9.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九盏路灯，现要关掉其中的3 盏，但不能关掉相邻的2
盏，也不能关掉两端的2 盏，满足条件的关灯方法有______种.
10.马路上有编号为1，2，，2011 的2011 只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300 只灯，但不能同时
关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）.
11.从1，2，3，…，15 中选取三个不同的数组成三元数组
, ,
x y z ，且满足
5
x
y
，
4
y
z
，则这样的
数组共有______个.（用数字作答）
12.从集合{1,2,3,
,10}
中选出4 个数组成的子集，使得这4 个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的
子集个数是________.
13：16 名社区志愿者组成4 行4 列的方阵，现从中选出2 人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不
同的选法种数为______________.
14：
2
n 个人排成一个n 行，n 列的方阵，现要从中选出n 个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有
___________种不同的选法.
15.某活动中，有42 人排成6 行7 列，现从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3 人中的任意2 人不同行也
不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．
16：一只蚂蚁从一个正四面体ABCD的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次
还在点A 的爬行方法种数是__________．
17.将圆周2
1
n + 等分于点
1
2
2
1
,
,
,
n
A A
A
，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为
__________．
18.如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有
一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运
动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第n 层的第m 个竖直通道（从
左向右计）的不同路径数为
,
A n m ．
（1）求
2,1
A
，
3,1
A
，
4,2
A
的值；
（2）猜想
,
A n m 的表达式（不必证明），并求不等式
9,
28
A
m
的解集．
6.8 计数原理数学思想与重难点方法总结
模块一：数学思想方法
思想一：分类讨论思想
1.部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，
国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，
某高等院校7 名男生和5 名女生报名参军，经过逐层篮选，有5 人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2 名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
2. 有9名歌舞演员，其中7 名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有（
）
A．19种
B．26 种
C．32种
D．72 种
3.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（
）
A．18
B．36
C．72
D．48
4.武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意
拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器
上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（
）
A．19840 种
B．16000 种
C．31360 种
D．9920 种
5.“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首
回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文
数”，如232，251152 等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有
个.
思想二：函数思想
1.已知(1 2 )n
x
的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
2.设m 为正整数，
2
(
) m
x
y
展开式的二项式系数的最大值为a ，
2
1
(
) m
x
y
展开式的二项式系数的最大值为
b ，若13
7
a
b
，则m
A．5
B．6
C．7
D．8
3.已知
2
2
*
9
2A
C
4!
n
n
N
，则n （
）
A．5
B．4
C．3
D．2
思想三：整体思想
1. 有9名歌舞演员，其中7 名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有（
）
A．19种
B．26 种
C．32种
D．72 种
2.某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，活
动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
种(用数字作答)．
3. A ，B ，C ，D ，E ，F ，6 名同学站成一排参加文艺汇演，若A 不站在两端，B 和C 必须相邻，则不
同的排列方式共有
种．
4.将5 个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
5.用1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1 和2
相邻．问：有多少个这样的六位数？
6.现有8 个人（5 男3 女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法?
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法?
思想四：主元思想
1.某医院选派甲、乙等4 名医生到3 个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、
乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有
种．
2.现有包括甲、乙在内的5 名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要
求的排列方法共有
种
3.为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6 位乡村振兴指导员到A，B，C，3
地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中
张指导员不安排到C 地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（
）
A．180 种
B．240 种
C．480 种
D．540 种
4.2022 年10 月16 日至10 月22 日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，
某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织
,
,
,
,
A B C D E 去甲、乙、丙、丁4 个村开展二十大宣讲
工作，每村至少1 人，其中A 不去甲村，且
,
A B 不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（
）
A．216
B．198
C．180
D．162
5.学校安排甲乙丙丁4 名运动员参加4 100
米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有
种不同的接力方
式.
思想五：“正难则反”思想
1.平面上有10 个点，其中有4 个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定
多少条直线？
2.（1）从10 男8 女中任选5 人，共有多少种不同的选法？
（2）从10 男8 女中任选5 人（男女都有）担任5 项不同的工作，共有多少种不同的选法？
3.某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织
委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（
）.
A．15
B．11
C．14
D．23
4．将2 个男生和4 个女生排成一排，要求2 个男生都不与女生甲相邻的排法有
种.
5.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3 位同学报名，高二年级有5 位同学报名，现要从报名的学
生中选取4 人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为
.（结果用数值表示）
模块二：重难点方法总结
题型一：两个计数原理的综合应用
1.用0，1，2，…，9 这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
2.安排5 名志愿者完成
, ,
,
A B C D 四项工作，其中A 项工作需2 人，B 项工作不安排5 人中的甲完成，5 名
志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（
）
A．66 种
B．60 种
C．54 种
D．48 种
3.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（
）
A．216 种
B．384 种
C．408 种
D．432 种
4.2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热
门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门
所选旅游地全不相同的方法种数共有（
）
A．1800
B．1080
C．720
D．360
5.为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举
＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的
形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种
植”“3D 打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4 名学生中至少有3 名所选劳动课全不相同的
方法共有
种．
6.在由数字1，2，3，4，5 组成的数字不重复的五位数中，小于50000 的奇数有
个．
题型二：数字排列问题
1.已知0，1，2，3，4，5 这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000 的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000 且小于5 421 的四位数？
2.在0 ，1，2 ，3，4 ，5，6这7 个数中任取4 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比
4351大的数共有（
）
A．54个
B．62 个
C．74 个
D．82 个
3.由数字0，1，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为
．
4.若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有
个．
5.将0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123 大的数？
6.用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于2018 的正整数？
题型三：涂色问题
1.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，
欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，
则共有（
）种不同的涂色方法.
A．78
B．66
C．56
D．48
2.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图，现有5 种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，
不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方
法种数有（
）
A．3125
B．1000
C．1040
D．1020
3.如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种
颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有
种（用数字作答）.
4.某植物园要在如图所示的5 个区域种植果树，现有5 种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种
果树，则共有（
）种不同的方法.
A．120
B．360
C．420
D．480
5.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨
分成8 个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域
涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1 与区域5）所涂颜色相同.若有
7 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（
）
A．1050 种
B．1260 种
C．1302 种
D．1512 种
6.（多选）用n 种不同的颜色涂图中的矩形
, ,
,
A B C D ，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数
记为
s n ，则（
）
A．
3
12
s
B．
4
36
s
C．
5
120
s
D．
6
600
s
题型四：全排列问题
1.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课
程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排
法种数为
2.班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2 个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加1个魔术节目，要求重新编排节目单，要求2 个相声节目不相邻且2 个魔术节目也不相邻，
有多少种排法？
3.求下列问题的排列数:
(1)3 名男生和3 名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3 名男生和3 名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
4.有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数
字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
5.毕业典礼期间，国际班的7 名师生站成一排拍照留念，其中老师1 人，男学生4 人.在下列各种情况下，
有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3 人，后排站4 人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
6.如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由8 块相同的区域组成的，用7 种颜色分别涂在伞蓬的8个区域内，且恰
有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
题型五：元素位置有限制问题
1.2023 杭州亚运会于9 月23 日至10 月8 日举办，组委会将6 名志愿者随机派往黄龙体育中心､杭州奥体
中心､浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1 名
志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（
）
A．180
B．300
C．360
D．380
2.2023 年10 月23 日，杭州亚运会历时16 天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排
合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（
）
A．18 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
3.第19 届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的
机器人，组合名为“江南忆”.现有6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，将这6 个吉祥物
排成前后两排，每排3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有
.（用数字作答）
4.某班在一次班团活动中，安排2 名男生和4 名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生
之间不超过1 人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（
）
A．168
B．192
C．240
D．336
5.已知A、B、C、D、E 为0﹣9 中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD
共有
个．
6.甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动技能比赛，决出第1 名到第5 名的名次，已知甲没有得到冠军，
并且甲和乙都不是第5 名，则这5 个人名次排列的可能情况共有
种．
题型六：相邻与不相邻问题
1、7 个人站成两排，前排3 人，后排4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
）
种站排方式．
A．672
B．864
C．936
D．1056
2.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3 项
开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6 项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1 与2 不
相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（
）
A．144
B．120
C．108
D．96
3.（1）现有4 男2 女共6 个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8 个体育生名额，分配给5 个班级，每班至少1 个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4 个不同的朗诵节目和3 个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且
任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7 名，其中3 名女医生，有外科医生5 名，其中只有1 名女医生．现选派6 名去
甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2 名男医生1 名女医生，且每队由2 名外科医生1 名内科医生
组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
4.某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对顺序不
变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（
）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
5.唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、
欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪
潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末
开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至
少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有
种.（用数字作答）
6.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战
役胜利做出重要贡献的故事，现有4 名男生和3 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连
在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
题型七：分组分配问题
1.2023 年杭州亚运会志愿者第一小组有5 人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1 人，
至多2 人，则不同的分配方法有多少种（
）
A．90 种
B．150 种
C．180 种
D．240 种
2.2023 年7 月28 日至8 月8 日，第31 届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，
举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5 位同学报名参加3 个项目，每人只报名1 个项目，每
个项目至少1 人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（
）
A．72 种
B．114 种
C．120 种
D．144 种
3.2023 年成都大运会期间，5 名同学到3 个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，每个场馆至少安排1
名同学，则不同的安排方法共有
种．
4.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教
师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学
校支教，则不同的安排方案有（
）
A．18种
B．24 种
C．36种
D．48 种
5.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新
疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两
位女教师分派到同一个地方的方法种数为（
）
A．18
B．150
C．36
D．54
6.将六名志愿者分配到
,
,
,
A B C D 四个场所做志愿活动，其中A 场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各
至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有
种．（用数字作答）
题型八：二项展开式及其逆应用
1.设数列
na
的通项公式为
1
2
2
3
3
*
1
2C
2 C
2 C
2 C
N
n
n
n
n
n
n
n
a
n
，其前n 项和为
n
S ，则使
2023
n
S
的最小n 是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.化简
5
4
3
2
1
5
1
10
1
10
1
5
1
x
x
x
x
x
．
3.若对
x
R ，
5
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
ax
b
x
x
x
x
x
恒成立，其中a ，
R
b
，
则a
b
（）
A．3
B．2
C．0
D．1
4.若对
x
R ，
5
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
ax
b
x
x
x
x
x
恒成立，其中,a bR ，则
a
b
（
）
A．1
B．0
C．2
D．3
题型九：特定项（特定项系数）
1.已知
4
2
n
x
x
的展开式中第4 项与第6 项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项
．
2.
8
2
1
2
x
x
x
展开式中的常数项为
．
3.已知
4
5
A
40C
n
n
，设
3
1
n
f x
x
x
．
(1)求n 的值；
(2)求
f
x 的展开式中的有理项．
4.
6
3
1
2
3
x
x
x
x
的展开式中常数项为
（用数字作答）．
5.在
4
1
2x
x
的展开式中，x 的系数为
．
6.已知
3
3
3
n
x
x
的展开式中，第6 项为常数项.
(1)求含
2x 项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
题型十：二项式系数（含最值问题）
1.（多选）若
3
2
n
x
（n
N ）的展开式中第5 项的二项式系数最大，则n 的可能取值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
2.若
2
n
x
x
展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为
.
3.已知在
1
n
ax
的展开式中，第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
3x 的系数为80
，则
a
.
4.已知
1
(2 +
)n
x
x
展开式前三项的二项式系数和为22 .
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
5.已知
2
2
n
x
x
展开式中第3 项和第5 项的二项式系数相等，则n
，且展开式中的常数项为
.
6.
3
2
n
x
x
的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4 项，则展开式中
6
x 的系数为
．
7.已知
1 2
n
x
的展开式中第7 项和第8 项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最
大的项．
8.若
1
3
n
x
x
展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
题型十一：系数（含系数最大，小项）
1.
2
1
2
n
x
x
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
2
1
2
n
x
x
的展开式中系数最大的项的系数
为
.
2.在
8
2
2
x
x
的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
3.已知
2
2
(
,
1)
N
n
x
n
n
x
的展开式中，二项式系数和为256.
(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
(2)求展开式中系数最小的项.
4.已知在
3
1
2
n
x
x
的展开式中，前三项的系数分别为
1a ，
2a ，
3
a ，且满足
2
1
3
2a
a
a
．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中所有有理项．
5.求
9
3
2x
的二项展开式中系数最大的项．
6.(1)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x 的项；
(2)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n 的值；
(3)已知在
3
2
1
n
x
x
的二项展开式中，第六项的系数最小，求n 的值．
题型十二：二项式系数和与系数和
1.若
10
2
10
0
1
2
10
2
1
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
，则
1
2
10
2
10
a
a
a
（
）
A．
10
3
B．
10
3
1
C．
9
20 3
D．
9
10 3
2.（多选）已知
2023
2
2023
0
1
2
2023
1
2x
a
a x
a x
a
x
，则（
）
A．展开式中所有二项式的系数和为
2023
2
B．展开式中二项式系数最大项为第1012 项
C．
1
2
3
2023
2
3
2023
1
2
2
2
2
a
a
a
a
D．
1
2
3
2023
2
3
2023
4046
a
a
a
a
3.在
3
2
n
x
x
的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为
．
4.已知二项式
0
1
2
1
n
n
n
x
a
a x
a x
，且满足
4
5
A
30C
n
n
.
(1)求n 的值；
(2)求
1
2
3
n
a
a
a
a
的值.
5.已知
2023
2
2023
0
1
2
2023
3
2
x
a
a x
a x
a
x
，则下列结论不正确的是（
）
A．
2023
0
2
a
B．
0
1
2
2023
1
a
a
a
a
C．
2023
1
3
5
2023
5
1
2
a
a
a
a
D．
1
2
3
2023
0
2
3
2023
1
3
3
3
3
a
a
a
a
a
6.已知
2
3
2
n
x
x
展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中
4
x 的系数为
.（用数字作
答）
7.已知
2
0
1
2
(3
2)
(
1)
(
1)
(
1)
n
n
n
x
a
a x
a
x
a
x
，若(3
2)n
x
展开式各项的二项式系数的和为1024，
则
4a 的值为
．
8.已知(1 2 )n
x
的二项式系数和为256，则展开式中含
2x 项的系数为
．
题型十三：二项式定理应用
1.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a 和b 被
m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
mod
a
b
m
.若
1
2
2
18
18
18
18
18
C
2
C
2
...
C
2
a
，
mod10
a
b
，则b 的值可以是（
）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
2.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，
有
3
5
7
2
1
1
sin
1
3!
5!
7!
2
1 !
n
n
x
x
x
x
x
x
n
，其中
R
x
，
*
nN ，!
1 2
3
n
n
，0! 1
．现用上
述式子求
2
4
6
2
2
1
4
4
4
4
1
1
2!
4!
6!
2
2 !
n
n
n
的值，下列选项中与该值最接近的是（
）
A．cos49
B．cos41
C．sin49
D．sin41
3.已知
9
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
.
(1)求
2a 的值；
(2)设
9
2
3
f
x
x
，求
(20)
20
f
被6 除的余数.
4.若
1
2
2
3
3
100
100
100
100
100
100
1 3C
3 C
3 C
3
C
S
，且
17
S
m
n
（
,
m nZ ，且0
17
n
），则n （
）
A．1
B．2
C．15
D．16
5.（多选）下列说法正确的是（
）
A．若
10
2
10
0
1
2
10
2
1
x
a
a x
a x
a x
，则
10
1
2
10
3
1
a
a
a
B．
10
1.05 精确到0.1 的近似数为1.6
C．
55
55 被8 整除的余数为1
D．
0
9
1
8
9
9
9
9
9
C 2
C 2
C
3
6.已知正项等比数列
na
中，
2
1
3
,3 ,
a
a a 成等差数列，其前n 项和为
n
S ，若
1
n
n
S
ka
，则
2024
S
除以7 的余
数为
.
题型十四：杨辉三角形
1.我国南宋时期数学家杨辉于1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(
)n
a
b
展开式的系
数规律.
当代数式
4
3
2
12
54
108
81
x
x
x
x
的值为1 时，则x 的值为（
）
A．2 或4
B．2 或4
C．2
D．4
2.（多选）为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古
迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p 行第q个数记为
*
,
,
p q
a
p q N
，并从左腰上
的各数出发，引一组平行的斜线，记第n 条斜线上所有数字之和为
1
2
3
1,
2
n
S
S
S
S
，入场码由两段数
字组成，前段的数字是
4
4
4,
1
10
i
i
i
a
的值，后段的数字是
2021
2023
1
i
i
S
S
的值，则（
）
A．
2023,2
2023
a
B．
4
4
4,
1
10
1331
i
i
i
a
C．
9
34
S
D．该景点入场码为13311
3.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，
杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》给出了如下图1 所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2 是杨
辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中
华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.
性质1：杨辉三角的第n 行就是(
)n
a
b
的展开式的二项式系数；
性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C
C
r
n r
n
n
；
性质3（递归性）：除1 以外的数都等于肩上两数之和，即
1
1
1
C
C
C
r
r
r
n
n
n
；
性质4：自腰上的某个1 开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，
比如：1
2
3
4
5
15,1
3
6
10
20
；
请回答以下问题：
(1)求杨辉三角中第8 行的各数之和；
(2)证明：
1
1
1
C
C
C
r
r
r
n
n
n
；
(3)在
2
3
1
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中，求含
2x 项的系数.
4.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为
n
S ，设
2
5log
1
1
n
n
b
S
，将数列
nb
中的整数项依次取出组成新的数列记为
nc
，则
20
c 的值为（
）
A．545
B．51
C．560
D．48
5.（多选）将杨辉三角中的每一个数Cr
n 都换成
1
1 Cr
n
n
，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角
形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0 行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果
*
2
N
n
n
，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（
）
A．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8 行第2 个数是1
72
C．
1
1
1 C
1 C
r
n r
n
n
n
n
（
N
r
，0
r
n
）
D．
1
1
1
1
1
1 C
1 C
C
r
r
r
n
n
n
n
n
n
（
N
r
，1
r
n
）
6.将杨辉三角中的每一个数Cr
n 都换成
1
1 Cr
n
n
，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布
尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0 行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果
2
n
（n 为
正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是
.
①当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；②第
8 行第2 个数是1
72 ；③
1
1
1 C
1 C
r
n r
n
n
n
n
（r N ，0
r
n
）；
